DSE 數學補邊個好？（神器六）

Posted on October 27, 2024 by rpflee

這篇文章繼續討論，選擇數學補習老師的一些準則。而這裡的數學，是指香港中學文憑試的數學科，包括核心，M1 及 M2。

如果你問我物理補習推介，特別是物理補習天王的話，我會答：「補 physics，補 Ken Chan！」但是，如果你問我數學補習天王的話，恕沒有推介，因為本人沒有遇過。

那樣，數學科補習界如果有 Ken Chan，他又必須具備，什麼條件呢？

上文提到：

……

3. 星期時間篇

他會告訴你，如何從平衡到駕馭，各科溫習時間之爭。

……

4.0 分秒時間篇

除了日常生活中的，溫習時間管理外，他亦會教你，考試答題時的時間策略。

……

4. $\infty$ 數學考試

＝兩成數學＋八成人格（速度＋準確度＋表達）

……

5. 超時空準備

他會持續教導你，比考試要求，還深一倍的題目。目的就是令你，有奪取滿分的機會。

作為「附加數學」的 M1 或 M2，主要作用是令你覺得，作為「普通數學」的核心數，簡單而容易。

水平提高了，原地就會在你之下。再困難的迷宮，如果有直升機的協助，就不用再怕。一來，你可以直升離開；二來，即使必須降回原地，單單是在直升機的那幾分鐘，足以讓你鳥瞰原地全境。

同理，如果要令自己「附加數」本身，有機會滿分的話，則要熟習「附加附加數」，即是大學一年級程度的數學。

迷宮必勝法，用直升機也；簡稱「降維打擊」。其先決條件是，你要花大量時間，預先「升維」。

— Me@2024-10-26 11:23:52 PM

DSE 數學補邊個好？（神器五）

Posted on October 12, 2024 by rpflee

這篇文章繼續討論，選擇數學補習老師的一些準則。而這裡的數學，是指香港中學文憑試的數學科，包括核心，M1 及 M2。

那樣，數學科補習界如果有 Ken Chan，他又必須具備，什麼條件呢？

上文提到：

1. 背誦篇

理科是文科，但不是一般的文科，而是極超巨大級的文科。

1.1 他會提醒你，數學其實是，極超大量的背誦。

……

1.2 極超大量的背誦，來自極端深刻的理解。

……

2. 年月時間篇：歷屆試題

2.1 他會提議你，考試前要操練 10 年、20 年或 30 年的歷屆試題。

……

2.1.2 他會告訴你「八二法則」——頭八十分，只需兩成的付出；而尾二十分，則需佔八成的努力。亦即是話，付出和收穫，不成比例。

……

2.2 最近五年的題目，則從來不要看，因為你要保留它們，在公開試前的休假月時，來作模擬考試用。

2.3 最近五年以前的題目，則可以在課程的那三年間，隨時隨地做。

留意，做試題有兩大主要方法：「分課題」或「分年份」。

……

2.4 而歷屆試題的來源是：……

3. 星期時間篇

他會告訴你，如何從平衡到駕馭，各科溫習時間之爭。

……

4.0 分秒時間篇

除了日常生活中的，溫習時間管理外，他亦會教你，考試答題時的時間策略。那都是要在事先，學習和訓練的。

有關詳情，請點擊本綱誌之文章分類

exam time | 戰鬥意志

然後於網址結尾，加以下字串：

?order=asc

例如，剛才提到的「八二原則」指出了：同樣的分數，在不同的部分，難易不同。所以，考試時應先做最易的題目。

留意，題目的預設次序，未必是由易至深。其中一個原因是，各人對即使是同一道題目，深淺的感覺，未必相同。所以，必須在考試前鐵定，「唔識就飛」的好習慣：遇到不懂的題目時，不要思考，改為立刻跳過，去先做懂做的題目；最後還有時間剩餘時，才回到不懂的題目。

4.1 他會教你如何高速作答。

留意，高速不是急促。高速的原因在於，你掌握的數學知識，深於常人所及；繼而，你駕馭的運算技巧，高過他人所能。

每個課題的深知識，和對應的速算技巧，也可以不同，也可以是該課獨家。亦即是話，每種題目的速算技巧，都要遠在考試前就，事先學習和訓練好。

4.2 同理，每課題目的驗算技巧，亦都是那樣。

4.3 他亦會教你，考試作答時的表達技巧。自以為「數學和理科，毋須語文能力」的，是狂妄。

4. $\infty$ 為了方便記憶，背了這公式：

數學考試

＝兩成數學＋八成人格（速度＋準確度＋表達）

公式中的「準確度」，是指「數字準確度」或「運算準確度」。而「表達」，則指「文字準確度」或「語文準確度」。數學考試成績反映的，大概而言，只有兩成是數學中的，所謂「純知識」；其餘八成，都是人格的考驗。

有些數學知識，只在考試有益；而人格才能，則一生受用。

……

— Me@2024-10-10 08:01:07 PM

多項選擇題 6

Posted on May 22, 2018 by rpflee

Multiple Choices 6

這段改編自 2010 年 8 月 24 日的對話。

有時，一題物理 MC（多項選擇題）會，同時有數學做法和物理做法。

那時，你就先用物理方法做一次，再用數學方法做多一次，以作驗算。

（問：哪有那麼多的時間？）

之前講過，那些做法，必須透過考試前，平日多加收集和練習而來；並不是在考試中途，才花額外時間發明。

— Me@2018-05-22 06:02:40 PM

背誦量

Posted on October 6, 2014 by rpflee

全像記憶 3

這段改編自 2010 年 8 月 11 日的對話。

（TK: 運算機會率題目時，如何提升準確度？）

九成九是靠背誦 —— 背誦眾多運算方法，和萬千驗算技巧。當然，我不是要你「死背」，而是要你「生背」，即是明白以後才背。

千萬不要企圖，自己發明任何方法。一來，你未有那些智力。二來，即使有，你也負擔不到那些時間。

只有數學家才會，負擔得起那些智力，和那些時間。

（TK: 其實我是有背的，但是，時常也誤中副車，差一點才能想中正確方法。）

或者說，你背得不夠多，或者不夠詳細。我所指的「背」，其實份量是十分驚人的。

例如，假設考試有可能出現的機會率題目，總共有 5 類。我並不是說，你每類也背誦一題的方法，就可以奪得好成績。

實際上，你的背誦量，並不只是 5 題，而隨時可能是 50 題，因為，同一種題目，可以有（例如）10 種不同的問法。

那 10 種題形的應對方法（和對應的驗算技巧），你都要背誦，因為，同一種題目，你要背誦了它，很多不同的版本，才會領略到，背後的精髓。那你才可以做到「明白以後才背」，即是「生背」。

如果你一定要成績奪 A，背誦量是十分驚人的。所以，我多次提醒你，你在每次做 past paper（以往試題），或其他練習之前，也一次要先背誦你的「魔法筆記」。

「背」的意思並不是說，你把「魔法筆記」，由頭至尾，閱讀一次就算。「背」的真正意思是，要你做到「過目不忘」，即是，在平日做練習，或者考試時，你都可以在心裡翻查，筆記上的每一頁，每一個細節。

— Me@2014.10.05

機會率驗算 1.2

Posted on December 24, 2013 by rpflee

這段改編自 2013 年 12 月 16 日的對話。

（問：在運算機會率題目時，怎樣可以知道，自己的思路有沒有錯呢？）

一方面，你盡量在每一題的機會率題目，也同時使用「P 方法」和「S 方法」，互作驗算。

另一方面，在用「P 方法」時，如果面對的是稍為複雜的題目，你要重點留意的，是畫好 Tree Diagram（樹形圖）。Tree Diagram 雖然是最原始，但同時亦是最有效的，機會率思考工具。

— Me@2013.12.24

機會率驗算 1.1

Posted on December 21, 2013 by rpflee

這段改編自 2013 年 12 月 16 日的對話。

有一個箱子，內裡有三顆骰子。三顆之中，只有一顆是「公平骰子」，有 1、2、3、4、5、6 六面。另外的兩顆，每一顆有 0、0、1、1、2、2 六面。假設對於三顆骰子中的每一顆而言，每一面出現的機會率都是六分之一。那樣，如果從那箱子中，隨機抽兩顆出來，然後再擲的話，擲到兩顆都是 2 的機會率是多少？

做機會率題目的主要難處是，好像沒有步驟可言，導致很難檢驗，自己的思考有沒有漏洞。所以，做機會率的題目時，一定要驗算。而驗算的方法就是，用兩個完全不同的方法去做。如果它們都得出同樣的答案，錯的機會就很微。對於機會率題目而言，建議同時使用「P 方法」和「S 方法」，互作校對。

「P 方法」的意思是 Probability（機會率）方法，即是將幾個 probability 分數乘在一起，從而得到最終的機會率分數。

「S 方法」的意思是 Statistics（統計學）方法，即是透過 counting（點數）去運算；由此至終，只寫一個分數 —— 將所有可能性放在分數，然後再將你想要的可能性，放在分子。

以這題為例：

~~~

P 方法：

透過 Tree Diagram（樹形圖），可以得出：

P（三顆骰抽兩顆，然後兩顆都擲到 2）

= (1/3)(1/6)(1)(1/3) + (2/3)(1/3)[(1/2)(1/6) + (1/2)(1/3)]

= …

= 2/27

~~~

S 方法：

一個大分數

= (分子)/(分母)

= 想要的可能性/所有的可能性

所有的可能性 = 三顆骰子選兩顆 x 每顆有六面 = (3C2)(6)(6) = 108

（「3C2」即是「3 選 2」；「3 選 2」有 3 個可能性。

$C_2^3 = 3$ ）

想要的可能性 = 二粒都是 2

= 1×2 （抽到一顆骰子正常，一顆不正常）+ 1×2（抽到一顆正常，和抽到另一顆的不正常骰子）+ 2×2（兩顆骰子也不正常）

= 8

所以，

P（三顆骰抽兩顆，然後兩顆都擲到 2）

= 8/108

= 2/27

「S 方法」所得出的答案

= 2/27

= 「P 方法」所得出的答案

所以，這題機會率的運算，錯的機會就很微。

— Me@2013.12.20

逃避問題 1.2

Posted on December 4, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

例如，有一隻獅子，正在追殺你。你總不能說：「千萬不要逃避問題。我一定面對問題，和獅子搏鬥一番。」

如果有獅子正在追殺你，最恰當的「面對」方法應該是，立刻逃走。

又例如，這一題微分題目，正常來說，要用 quotient rule（除法定則）才能完成。但是，quotient rule 的外表，又異常複雜。那樣，你可以考慮避開它，改為使用 product rule（乘積法則）。凡是 quotient rule 可以處理的東西，原則上，product rule 都可以處理得到。例如，你可以把

$\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right)$

\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right)

看成

$\frac{d}{dx} \left[ (\sin x) \left( \frac{1}{x} \right) \right]$

\frac{d}{dx} \left[ (\sin x) \left( \frac{1}{x} \right) \right]

。

但是有些時候，即使你可以逃避，都應該刻意不逃避，因為有些時候，quotient rule 雖然會複雜一點，但又的確會快過 product rule 很多。

而最理想的情況是，你兩種方法也駕馭自如，在處理同一題時，可以兩種方法也用，各自運算一次，互作驗算。

— Me@2013.12.04

逃避問題

Posted on November 30, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

一般人云亦云的所謂「做人道理」，很多也是錯的。其中一個是：「千萬不要逃避問題。」

這句說話未必正確，因為，我可以追問，為什麼不可以逃避問題？

正確的講法應該是，問題有兩種。一種是不可以逃避的，一種是可以逃避的。不可以逃避的問題，你就不要逃避。可以逃避的，為什麼不逃避？

例如，有一隻獅子，正在追殺你。你總不能說：「千萬不要逃避問題。我一定面對問題，和獅子搏鬥一番。」

如果有獅子正在追殺你，最恰當的「面對」方法應該是，立刻逃走。

— Me@2013.11.30

驗算校對 2.7

Posted on November 15, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

近乎每種題目，都有對應的高速驗算方法。而那些驗算方法背後的精神，或者大方向，就是做完每一小題後，立刻用另一個完全不同的方法，去做多一次。記住，驗算時千萬不要，用原本的思路重做一次，因為如果原本有錯，你驗算時很可能會錯在同一個步驟。

如果不幸遇上了一題，當時沒有「另一個方法」的題目，你就唯有在運算時格外小心 —— 寫完每一行的運算時，就立刻望一望、瞥一瞥，看看有沒有寫錯東西。而這個「望一望」，如果要做到快而準，是一種「超能力」。換而言之，沒有平日的反覆訓練的話，你考試時不會做得到。

留意，這個「每步也驗」的方法比較費時，應該在逼不得已時，才拿出來使用。

— Me@2013.11.15

驗算校對 2.6

Posted on November 12, 2013 by rpflee

活在當下 6.6 | 唔識就飛 10.5

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

所以，有很大的機會，「完成了一題的一個部分後，就立刻作校對」這個策略，會令你的考試成績好一點。

那様，你怎樣可以肯定，對你來說，「每題即驗」是否真的好過「做完卷才驗」呢？

你一定要在平時先行測試。你在「按年份、計時間、計分數」做 past paper（歷屆試題）時，就應留意一下，兩個驗算策略之中，哪個對你最有利。

即使假設你選定了「每題即驗」，你還要研究，面對各種情境時，應該如何自處。例如，每種題目有何高速驗算方法？甚至，有哪些題目，你根本不應該驗算？

近乎每種題目，都有對應的高速驗算方法。例如，一題如果需要三分鐘運算，通常 15 秒內就可以完成驗算。那些高速驗算方法，你一定要在平時先行收集，因為，你不可能在考試的緊迫時間之中，即製即用。

但是，有時候，你會遇到一些新奇一點的題目，沒有你已知的高速驗算技巧，只能靠低速。例如，那一題運算需要五分鐘，而驗算亦需要五分鐘。那樣，你就要立刻取捨，決定值不值得花那額外的五分鐘，去驗算校對。

如果那一題是某長題目的第一部分，你就應該花，因為，那長題目之後幾部分的對錯，會建基於第一部分答案的正確與否。相反，如果那一題是某長題目的最後一部分，你就可以考慮，在題號上寫一個「C」字，代表暫時擱置驗算。

要掌握這些隨機應變的能力，就要靠試前日積月累的修行。考試時的清晰頭腦，來自平日的混亂心靈。

— Me@2013.11.12

活在當下 6.5

Posted on November 8, 2013 by rpflee

驗算校對 2.5 | 唔識就飛 10.4

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

如果你在平日先行收集和鍛鍊了，各類題目的驗算技巧，考試時就很難會遇上，不懂驗算或者緩慢驗算的情況。

每題每部後，就即時驗算，除了可以避免沒有時間驗算外，還有其他重大的好處。例如，你考試時的心理壓力會小很多，因為，大部分你已經完成的題目，你都有即時作驗算，導致正確的機會非常大。那樣，做往後的題目時，你就不會再擔憂 —— 究竟之前的題目，我會不會錯了很多運算，導致損失了大量分數？

即使到最後，你只完成了，整份試卷中九成的題目，至起碼，那九成的題目之中，你會得到幾乎全部的分數。相反，在沒有驗算的情況下，即使完成了所有題目，你也很可能會因為運算錯誤，導致只得到大概五成的分數；因為，如果一題長題目第一部分的答案數值錯了，該題的其他部分，就自然沒有什麼可能會正確。

還有，如果你從來都打算，完成所有題目後才驗算的話，你在做題目時，就會格外焦急，因為你很怕完成不了全部題目，導致沒有機會驗算；或者，你怕即使完成了所有部分，剩餘的時間仍然不足夠，去校對全部題目。格外的焦急，只會為你在運算時，帶來加倍的誤差。

所以，有很大的機會，「完成了一題的一個部分後，就立刻作校對」這個策略，會令你的考試成績好一點。

— Me@2013.11.08

活在當下 6.4

Posted on November 4, 2013 by rpflee

驗算校對 2.4 | 唔識就飛 10.3

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

所以，如果你打算，做完所有題目後，才開始作驗算，那就相當於打算了，從來不作驗算。

在那個根本沒有時間「返回來」的情況下，我就索性在完成任何一題的任何一部分後，都立刻作校對。

（✓）完成驗算的題目部分，我會在旁邊剔一剔（✓）。

（Q）如果某一題我暫時想不到，我就會在題號上圈一個「Q」字，示意立刻要去做下一題或者下一部分；如果完成了所有其他題目後，竟然還有時間剩餘的話，才回去再想再試。

（C）如果某一題完成了，但是發覺驗算過份花時間，我則會在題號上寫一個「C」字，代表暫時擱置，有緣再見。

如果你在平日先行收集和鍛鍊了，各類題目的驗算技巧，考試時就很難會遇上，不懂驗算或者緩慢驗算的情況。

— Me@2013.11.04

驗算校對 2.3

Posted on October 31, 2013 by rpflee

活在當下 6.3 | 唔識就飛 10.2

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

留意，驗算校對有兩個大方向。其一是做了所有題目後，才開始作驗算。其二是完成了一題的一個部分後，就立刻作校對。有時候，第一個進路會好一點；有時候，第二個進路會較合適。

大部分情況下，我會建議使用第二個進路 —— 每題每部後，就即時驗算，因為這方法特別適合用於，時間緊迫的公開試。

例如，我當年高考 Pure Maths（純數學）試卷的結構，會令人在考試時，繁忙到不會有時間「返轉頭」 —— 完成了的題目，不可能第二次閱讀修正的機會；除非，中途我有很多題目，也因為不懂做而留空跳過，導致「節省」了大量時間。那絕對是一件，非常不幸事件。

所以，如果你打算，做完所有題目後，才開始作驗算，那就相當於打算了，從來不作驗算。

— Me@2013.10.31

活在當下 6.2

Posted on October 29, 2013 by rpflee

驗算校對 2.2 | 唔識就飛 10

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

而我慣常使用的，是這方法一個絕一點的版本。即使是對於同一題而言，如果它分了例如 a，b，c，d 四部分，做 a 部分時，我不會容許自己看到 b 部分；做 b 部分時，我亦不會容許自己看到 c 部分；如此類推。因為在每一步，我也只專心閱讀那一個部分、那一句句子，錯誤理解題目的機會，就會大大減少。

完成了 a 部分後，我會立刻驗算該部分。驗算完畢，我就會在 a 部分旁邊剔一剔（✓）。那樣，即使在運算 b 部分時，我仍然和必須看到 a 部分，我也不會覺得煩擾，反而，我會覺得愉快滿足。

大部分情況下，我會建議使用第二個進路 —— 每題每部後，就即時驗算。

— Me@2013.10.29

活在當下 6

Posted on October 27, 2013 by rpflee

驗算校對 2.1

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

還有另一個方法，可以令你在閱讀長題目時，快一點和準一點，你可以同時使用。

對我來說，考試是一個十分厭惡的過程，尤其是數學科。在數學科的考試中，每每有十幾題有很多文字的長短題目，而即使精確地明白了那堆文字，亦不代表你知道，如何運算作答；即使知道如何作答，你又不知道，中途有沒有運算錯誤。所以，為了減低厭惡程度，我習慣在做第一題時，用答案紙順勢遮蓋住，第二題和其他題目。那會令我舒服一點。

到要做第二題時，我才會讓自己看到第二題。在我的視線範圍內，就只有第一和第二題，而第三題或以後的，就會仍然遮蓋著。雖然，在運算第二題時，我會看到第一題，但是，因為那時的第一題是「已答之題」，所以並不會構成，我額外的心理壓力。

而我慣常使用的，是這方法一個絕一點的版本。即使是對於同一題而言，如果它分了例如 a，b，c，d 四部分，做 a 部分時，我不會容許自己看到 b 部分；做 b 部分時，我亦不會容許自己看到 c 部分；如此類推。

— Me@2013.10.27

速度準確表達

Posted on May 11, 2013 by rpflee

人格考試 1.2 | 學科用處

這段改編自 2010 年 6 月 29 日的對話。

這些都要靠平日，長年累月的習慣訓練，導致考試時可以條件反射；並沒有任何直接的「溫習」方法，可以「溫習人格」。換而言之，考試是兩分考學問，八分考能力。如果你只是「知識多」但是「能力差」，考試不會有好結果。

「速度」、「準確度」和「語言」這三項性格特點，其實是同一樣東西的三個方面，而不是三樣各自獨立的東西。例如，如果你運算不準確，就即是花了時間，也拿不到分數。得分效率等如零，沒有任何速度可言。又例如，如果你的語言表達欠佳，閱卷員不能明白你的思想，那就等價於你的作答不準確。你亦會損失大量分數。

這三樣處事效能，統稱為「人格」；「人格」就那「同一樣東西」。

有了「人格考試」這個概念後，你不應該再投訴，中學的學術科目，對你沒有用處；你亦不應該再追問，既然數學科中所學的數學，在日常生活中甚少應用，為什麼我們要花那麼多的時間去學呢？

其實，數學科中的數學，只佔整個「數學科」課程目標的兩成。其餘的八成，都是考驗你的人格。你大概不能說，「人格」不會在日常生活中應用到。

— Me@2013.05.11

人格考試 1.1

Posted on May 9, 2013 by rpflee

萬事俱備 1.2

這段改編自 2010 年 6 月 29 日的對話。

年青時，我怕考試時忘記帶計數機。所以，我會有一部計數機，長駐於我的書包之中。那樣，即使我忘記了帶計數機，也會帶了計數機。

（LMC：那你平時豈不是沒有計數機可用？）

我書包內的那一部，並不是平時用的那一部。反正你在考試時，都要帶兩部計數機。

（LMC：我在公開試時會那麼小心。但是，在校內試就不會那麼認真，真的每次也帶兩部計數機。）

你應付「校內試」時，就應該好像面對「公開試」那麼認真。那樣，「校內試」才會有「公開試演習」的功用。如果你在「校內試」得過且過，它就喪失了訓練你「考試心理質素」的效果。

考試不單會考驗你的具體知識，而且會測試你的整體人格。以數學科為例，大概只有兩成是考你的數學知識。其餘八成，則是考你的人格。人格之中，數學科主要考你三方面 —— 速度、準確度和語言。

「速度」的意思是，你能否在作答試題時，妥善管理時間，完成所有題目？

「準確度」的意思是，你對題目指示的理解，是否鉅細無遺？然後，你的推理運算，是否分毫不差？

「語言」的意思是，你能否用最簡單清晰的語言，來表達你的數學思想？

— Me@2013.05.07

無限蘋果 1.6

Posted on February 27, 2013 by rpflee

無限年 2.6 | 微積分 4.6 | Process, not a state, 7

大概而言，接受不到「無限」的話，你可以把它看成「超大」。「超大」只是一個模糊的印象，而不是一個明確的數字。　

準確而言，「無限」不是一個數字，而是一個過程。它是「不停地增長」這個過程，的一個簡稱。

— Me@2013.02.27

無限蘋果 1.5

Posted on February 24, 2013 by rpflee

無限年 2.5 | 微積分 4.5

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

換句話說，這個高速心算方法，其實就是由 x 次方的大小，來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方法」，你在作正式的運算前，就可以直接知道答案。所以，除了剛才提及，「用計數機代 x = 100,000」的方法外，你還可以用這個方法，來驗算牽涉「無限」的極限題目。

而你得到的答案，有三種可能。

第一種情況是，因為分母中 x 的最大次方，大過分子中 x 的最大次方，所以當 x 趨向「無限大」時，整個分數會趨向「無限小」，即是零。例如，

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6} \right) = \hspace{5mm} \dots \hspace{5mm} = 0$

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= …

= 0

第二種情況是，由於分母中 x 的最大次方，小過分子中 x 的最大次方，導致當 x 趨向「無限大」時，整個分數都趨向「無限大」，即是「沒有極限」。例如，

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2 + 6} \right) = \hspace{5mm} \dots \hspace{5mm} \to \infty$

lim_{x -> infinity} x^3/(x^2 + 6)

= …

-> infinity

最後一種情況是，分母中 x 的最大次方，和分子中 x 的最大次方相同。那樣，當 x 趨向「無限大」時，整個分數都趨向一個「有限數」。至於那個「有限數」是什麼，你只要看看分子和分母中， x 最大次方的係數（coefficients），就可以判斷到。例如，

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 x^3 + 3 x + 7}{5 x^3 + 3 x^2 + 6}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{2 x^3 + \hspace{5mm} \dots}{5 x^3 + \hspace{5mm} \dots}$

$= \hspace{5mm} \dots$

$= \frac{2}{5}$

lim_{x -> infinity} (2 x^3 + 3 x + 7)/(5 x^3 + 3 x^2 + 6)

= lim_{x -> infinity} (2 x^3 + …)/(5 x^3 + …)

= …

= 2/5

— Me@2013.02.24

無限蘋果 1.4

Posted on February 17, 2013 by rpflee

無限年 2.4 | 微積分 4.4

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

這個 limit（極限值）的正式運算方法是：

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \frac{x^2}{x^3} \right)}{\left(\frac{x^3 + 6}{x^3}\right)}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \frac{1}{x} \right)}{\left(1 + \frac{6}{x^3}\right)}$

$= \frac{\left( 0 \right)}{\left(1 + 0 \right)}$

$= 0$

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= lim_{x -> infinity} (1/x)/(1 + 6/x^3)

= (0)/(1 + 0)

= 0

這個方法的的精髓是，雖然，因為「無限」（ $\infty$ ）並不是一個數，你不可以代它於任何變數 x 之中；但是， $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$ 是卻一個數，而且等於零，所以，你可以把「零」代於所有（1/x）出現的地方。

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$

( lim_{x -> infinity} 1/x ) = 0

剛才講過，如果分子和分母同時趨向「無限」，整個分數究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」，要視乎分子中 x 次方比較大，還是分母。例如在這一題中，分子的 x 是二次方（x^2），而分母的 x 是三次方（x^3），所以，分母的「無限大」高級過分子的「無限大」。結果，整個分數趨向零。

以下只是輔助記憶的密碼，並不是正確合法的數學符號：

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

$= \frac{\infty^2}{\infty^3 + 6}$

$= \frac{\infty^2}{\infty^3}$

$= 0$

你可以在心裡運用，但不可以寫出來。

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= （無限）^2/（（無限）^3 + 6）

= 0

換句話說，這個高速心算方法，其實就是由 x 次方的大小，來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方法」，你在作正式的運算前，就可以直接知道答案。所以，除了剛才提及，「用計數機代 x = 100,000」的方法外，你還可以用這個方法來驗算，牽涉「無限」的極限題目。

— Me@2013.02.17

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多項選擇題 6

背誦量

機會率驗算 1.2

機會率驗算 1.1

逃避問題 1.2

逃避問題

驗算校對 2.7

驗算校對 2.6

活在當下 6.5

活在當下 6.4

驗算校對 2.3

活在當下 6.2

活在當下 6

速度準確表達

人格考試 1.1

無限蘋果 1.6

無限蘋果 1.5

無限蘋果 1.4