二項式係數 4.1 | Binomial coefficient 4.1

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人，要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人，而第二輛的載客量是 6 人。換而言之，那 10 人要分成兩組乘車。那樣，總共有多少個分配方法呢？

你只要用二項式係數（binomial coefficient），就可以立刻知道答案。題目所問的，就相當於

「

如果要從那 10 人之中，抽 4 個出來（去乘坐第一輛車），總共有多少種抽法？

」

答案明顯是 10_C_4，即是「10 選 4」，等於 210。結論是，總共有 210 個可能的分配方法。

10_C_4 =

(10!)
——–
(4!)(6!)

另一個看法是，你直接把這題看成「分組問題」，用「多項式係數」（multinomial coefficient）去運算。

總共有 10 個人，所以分子是 (10!)：

(10!)
——–
(＿＿)

總共有兩組，所以分母有兩個因子：

(10!)
——–
(＿)(＿)

第一組有 4 個人，所以第一個因子是 (4!)：

(10!)
——–
(4!)(＿)

第二組有 6 個人，所以第二個因子是 (6!)：

(10!)
——–
(4!)(6!)

結論同樣是，如果第一輛車載 4 名乘客，而第二輛車載 6 名，總共就有 210 個，可能的分配乘客方法。

（CYW：但是，我覺得應該不止有 210 個可能性，因為抽某 4 個人出來時，本身有很多個抽法。假設「甲、乙、丙、丁」四人被抽中，去乘坐第一輛車，「先抽甲出來」和「先抽乙出來」，就已經是兩個不同的可能性。我不太明白，為什麼毋須考慮這一點？）

— Me@2013.06.29

2013.06.29 Saturday (c) All rights reserved by ACHK