乘法意思 6

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果，你要選 3 個出來，總共有多少個選法？

答案是 7C3（「7 選 3」），即是總共有，35 個可能的組合。

（A：那我可不可以把題目看成，分兩次抽 3 個蘋果出來？

首先，我由那 7 個蘋果中，抽兩個出來，即是 7C2。然後，我由餘下的 5 個蘋果中，再抽 1 個出來，即是 5C1。所以，答案應該可以寫成「7C2 乘以 5C1」。

但是，「7C2 x 5C1」卻是 105，不是 35 。錯在那裡呢？）

「7C3」和「7C2 x 5C1」，所表達的情況不同。

「7C3」是指由 7 個蘋果之中，任意選 3 個出來，總共有多少個可能。

而「7C2 x 5C1」則是指，由一箱 7 個蘋果之中，任意選 2 個出來；然後，再由另一箱 5 個蘋果之中，抽一個出來，即是 5C1，總共有多少抽法。

留意，「7C2 x 5C1」根本不是你所指，代表「首先由 7 個蘋果中，抽兩個出來；然後，再由同一箱餘下的 5 個蘋果中，抽 1 個出來」。

（A：但是我仍然不太明白，「7 選 3」和「7 選完 2 後再選 1」，為何有所不同。）

互相獨立的因素，才會用乘法。你記不記得，在學習「機會率」時，學過這一點？

其實，歸根究底，「互相獨立的因素，如果一併考慮，總共有多少個組合」，就是乘法的根本意思，即是定義。

例如，一個長方形的長度增減，並不會影響闊度的大小，反之亦然。所以，長方形面積等於「長乘闊」的其中一個原因是，長和闊，是互相獨立的因素。

如果你把「7C2 x 5C1」看成，「由第一箱 7 個蘋果之中，任意選兩個出來；然後，再由另外箱 5 個蘋果中，抽 1 個出來，即是 5C1，總共有多少個抽法」，那就正確，因為，你由第一箱 7 個蘋果之中，抽了哪兩個出來，並不會影響到，你由第二箱 5 個蘋果之中，抽了 1 個出來時，會抽到哪 1 個。

但是，如果你把「7C2 x 5C1」看成，「由 7 個蘋果中，抽兩個出來；然後，再由同一箱餘下的 5 個蘋果中，抽一個出來」，那就不正確，因為，這兩個步驟，並不是互相獨立。第一個步驟結果，會影響到第二個步驟的結果。

你在「由 7 個蘋果中，抽兩個出來」時，抽了哪兩個，會影響到那箱中，將會餘下哪 5 個蘋果，給你第二個步驟去選。

— Me@2014.04.01

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