二項式係數 3.2 | Binomial coefficient 3.2

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

假設要把 15 個蘋果分成 3 袋。第一袋有 3 個，第二袋有 2 個，而第三袋有 10 個。那樣，有多少個分配方法呢？

你可以用比「二項式係數」更先進的「多項式係數」（multinomial coefficient）去運算。「多項式係數」公式的結構，和「二項式係數」公式的結構一模一樣。即使你沒有刻意背誦，亦會很容易記得。

{15 \choose 3, 2, 10} =

(15!)
————- =
(3!)(2!)(10!)

30030

分子的「15!」代表總共有 15 個蘋果。分母有三個因子，代表要分成三袋。第一個因子是（3!)，代表第一袋要有 3 個蘋果。第二個因子是（2!)，代表第二袋要有兩個。第三個因子是（10!)，代表第三袋要有 10 個。

— Me@2012.02.19

2012.02.19 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

Binomial coefficient 3.1

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

nCr 的數值代表，如果要從 n 件物件中選 r 件出來，有多少個可能性。例如，從 5 個蘋果中，選 3 個出來的話，有多少種選擇呢？答案是 5C3，即是「5 選 3」，等於 10。

nCr 的另一個詮釋是，如果要把 n 件物件分成兩組，一組有 r 件，而另一組有 (n – r) 件的話，有多少個可能性。例如，假設要把 5 個蘋果分成兩袋。一袋有 3 個，而另一袋有 2 個。那樣，有多少個分配方法呢？答案是 5C3，即是「5 選 3」，等於 10。

只要你把 5C3 的公式寫出來，「分成兩組」的意思會格外明顯。　

5C3 =

(5!)
——–
(3!)(2!)

分子的「5!」代表總共有 5 個蘋果。分母有兩個因子，代表要分成兩袋。第一個因子是（3!)，代表第一袋要有 3 個蘋果。第二個因子是（2!)，代表第二袋要有兩個。

在這個 nCr 的詮釋下，「 nCr = nC(n-r) 」的原因一目了然。

— Me@2012.02.17

2012.02.17 Friday (c) All rights reserved by ACHK

Binomial coefficient 2.1

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

假設，有一個 3 乘 4 的長方形，由 9 個小正方形組成。

A
_ _ _ _
|_|_|_|_|
|_|_|_|_|
|_|_|_|_|
                    B
       
如果你要沿著格線，由長方形的左上角（A） 走到去右下角（B），總共有多少條可能的路線？

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無論你走哪一條路線，你總共要走 7 步。而那 7 步當中，一定有 4 步是水平，3 步垂直的。所以，我們可以把原本的問題化成：7 步當中，要選擇 4 步走水平的話，總共有多少個可能性？

答案明顯是 7C4，即是「7 選 4」，等於 35。結論是，總共有 35 條可能的路線。
   
— Me@2012.02.13

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