微積分 6.4

Posted on March 7, 2013 by rpflee

無限年 3.4 | 0/0 2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：你的意思是，牛頓和萊布尼茲發明「微積分」之初，雖然必須使用「無限小」這個概念，但卻沒有賦予它，一個嚴格的定義。而這個「微積分」的漏洞，是後人幫他們修補的。）

無錯。那些數學後人，用了「(ε, δ)-definition of limit」(“epsilon-delta definition of limit”)，來定義「無限小」。

（安：那樣，「無限小」的嚴格定義是什麼？）

例如，數式

$\frac{x^2-9}{x-3}$

\frac{x^2-9}{x-3}

在 x = 3 時，並沒有數值，因為那會導致分母變成零。分母等於零的分數，沒有任何數學意義。但是，我們卻可以研究，

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

等於什麼。換句話說，雖然 x = 3 並不合法，但是，我們仍然可以追問，「x 非常接近 3」時，這題數式會得到什麼數值。

正式的運算方法是這樣的：

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

$= \lim_{x \to 3} \frac{(x + 3)(x-3)}{x-3}$

= lim_{x \to 3} \frac{(x+3)(x-3)}{x-3}

然後，我們約了分子和分母的(x-3)：

$= \lim_{x \to 3} (x + 3)$

= lim_{x \to 3} (x+3)

= 6

當 x 接近 3 時，(x+3) 很明顯會接近 6。所以，結論是，

$\left( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} \right) = 6$

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

…

— Me@2013.03.07

微積分 6.3

Posted on March 4, 2013 by rpflee

無限年 3.3

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

這個定義，填補了「微積分」原本的漏洞。

（安：「微積分」原本有什麼漏洞？）

原本的漏洞，在於使用了「無限小」這個字眼，而又沒有明確講述，「無限小」究竟是什麼意思。

This work is in the public domain in the United States, and those countries with a copyright term of life of the author plus 100 years or less.

「微積分」的發明者，和早期的使用者，都對「無限小」的意思含糊其詞，例如：

「無限小」小過任何其他數，但它本身又不是零。（簡化起見，這裡不討論負數。）

這個講法的問題，在於自相矛盾：

即使 x = 無限小，x/2（x 的一半）理應仍然會小於 x 本身。但是，你又宣稱，x 會小於任何其他數。結論是，x 既會小於 x/2，又會大於 x/2，自相矛盾也。

— Me@2013.03.04

微積分 6.2

Posted on March 3, 2013 by rpflee

無限年 3.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

「爺爺」=「爸爸的爸爸」

「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」 = 「如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。」

「\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0」 = 「如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。」

還有，這一句仍然只是「簡稱」，還未精確到可以視為數學句子。完整的版本詳盡很多。

詳細一點的版本是，

「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」 = 「只要 x 足夠大，1/x 就會足夠接近零。」

只要具體釐清，在這個上文下理中，何謂「足夠大」和「足夠接近」，你就可以得到「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」的正式數學意思。

「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」 = 「無論 a 的數值是多麼小，你都可以令 1/x 和零的相差小於 a，只要你設定 x 的數值大於 1/a 。」

— Me@2013.03.03

微積分 6.1

Posted on March 2, 2013 by rpflee

無限年 3.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

簡便起見，你可以視「無限份之一」等如「零」。

$\frac{1}{\infty} = 0$

1/infinity = 0

不過，那只是輔助記憶的密碼，而不是正確合法的數學符號，因為，「無限」並不是一個數字，你不可以用「無限」來運算，或者表達任何數量。正確的寫法是，

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$

\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0

而它的真正意思是：

如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。

（安：那為什麼不直接那樣說，而要用複雜的數學符號來誤導人？）

因為那句說話冗長，但在數學中又要時常使用。沒有「簡稱」的話，會十分不便。正如，當我們教一個小朋友，「爺爺」是「爸爸的爸爸」的簡稱時，他同樣可以質疑，為什麼不直接說「爸爸的爸爸」，而要用複雜難寫的文字來誤導人？

「爺爺」=「爸爸的爸爸」

「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」= 「如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。」

還有，這一句仍然只是「簡稱」，還未精確到可以視為數學句子。完整的版本詳盡很多。

— Me@2013.03.01

無理數 2.2

Posted on February 26, 2013 by rpflee

乘法意思 5.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

「有理數」（rational number）的意思是，兩個整數的比例。亦即是話，它是一個分數，而分子和分母都是整數。如果表達成小數，它會是一個「有盡小數」或者「循環小數」。

「有理數」英文「rational number」中的「rational」，在日常生活的意思是「合理的」。但是，在這個數學的情境下，應該解讀成「ratio-nal」。「ratio」即為「比例」。根據現在的上文下理，「rational number」應該翻譯成「比例數」。「比例數」這個詞，比「有理數」直接易明。

— Me@2013.02.26

無理數 2.1

Posted on February 22, 2013 by rpflee

乘法意思 5.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

剛才討論「乘法意思」時，提及過「無理數」。我現在想詳細講述一下。

一般而言，需不需要用小數，要視乎你所用的單位。例如，你用間尺量度一條線，發現長度等於 2.4cm。你需要用小數 2.4，是因為你用了厘米 cm 作為單位。如果轉用毫米 mm，你就可以用整數，來表達同樣的長度。

2.4 cm = 24 mm

但是，有時，無論用整數還是小數，都好像表達不到某些長度。例如，如果你間尺的最小間隔是 1mm，而你所度的長度是介乎 12mm 和 13mm 之間，一方面，你不能用整數來表達那長度，因為那既不是 12mm，又不是 13mm；另一方面，你亦不能用小數來表達，因為憑那把間尺，你並不知道，那長度是 12 點幾。

按常識，只要使用刻度精細一點的間尺，就可以解決這個問題 —— 你就可以用整數，準確表達那個長度。用厘米 cm 作刻度不行的話，就用毫米 mm；用毫米都不行的話，就用十分之一毫米；如此類推。在這個「可以透過縮小單位，來把小數化成整數」的情況下，你所量度的長度數值，如果堅持用原本的單位，就會表達成一個「有理數」（rational number），可以用「有盡小數」或者「循環小數」來表達。

但是，數學世界卻隱藏了，一些不按一般人「常識」的情況。有一些線的長度，無論你間尺的刻度有多精細，它永遠止於兩個刻度之間。例如，如果一個正方形的邊長是一個單位，它的對角線長度，就會是「開方 2」個單位（ $\sqrt{2}$ ）。

This is a file from the Wikimedia Commons.

「開方 2」就為之「無理數」（irrational number）。表達成小數的話，它會「無盡不循環」。

（安：那如果用對角線作為單位呢？

如果用一把刻度間隔，剛好是那條對角線長度的間尺，你就相當於把那長度，定義為「一個單位」。那樣，你就可以用「一」這個數字，來表達那對角線長度，而迴避了「無理數」。）

但是，那樣的話，你就犧牲了那正方形的邊長。你會被迫把它表達成「無理數」 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 。

— Me@2013.02.20

乘法意思 4.3

Posted on February 16, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

乘法第五關：何謂「負數次方」？

如果是正數次方，例如 a^2，即是在原本數字的右邊，乘多兩個 a：

$(a^3) a^2 = (a^3) a a$

$=a^5$

(a^3) a^2 = (a^3) a a = a^5

那樣，按常理，負數次方，例如 a^{-2}，就應該代表，要令到原本的數字，乘少兩個 a：

$(a^3) a^{-2} = a \not a \not a = a$

(a^3) a^{-2} = a a a = a

(a^3) a^{-2} = a a a (but cancel two a’s) = a

然後，你回想一下，一生之中，學過什麼數字或者符號，乘在原本數字的右邊後，會等於「刪除了其中兩個 a」？

$(a^3) a^{-2} = a a a (?) (?) = a$

a a a (?) (?) = a

只有「a 分之一」有這個效果：

$(a^3) a^{-2} = a a a (\frac{1}{a}) (\frac{1}{a}) = a$

(a^3) a^{-2} = a a a (1/a) (1/a) = a

所以，

$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$

a^{-2} = 1/a^2

— Me@2013.02.15

乘法意思 4.2

Posted on February 13, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

乘法的第四個難題是，何謂「二分一次方」。

「a 的 n 次方」的意思是，有 n 個 a 乘在一起。所以，「a 的二分一次方」，就即是有半個 a 乘在一起。但是，何謂「半個 a 乘在一起」呢？

如果你用數學公式 $a^m a^n = a^{m n}$ ，你就可以推斷到：

$a^m a^n = a^{m n}$

$a^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}} = a^{1}$

a^m a^n = a^{m+n}

a^{1/2} a^{1/2} = a^1

留意，「半個 a」如果是在「加法」的上文下理中，是指

$\frac{a}{2}$

a/2

但是，現在討論「乘法」。所以，這裡是指「乘法上的半個 a」。如果有這個概念，即使不用數學公式 $a^m a^n = a^{m n}$ ，你都可以推斷到， $a^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}}$ 是什麼。

a^{1/2} a^{1/2} = ?

試想想，根據「一半」這個詞語的意思，「兩個半」就即是「一個」。所以，「乘以兩次半個 a」，很明顯等於「乘以一個 a」。

$a^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}} = a^{1}$

a^{1/2} a^{1/2} = a^1

然後，你回想一下，一生之中，學過什麼數字或者符號，自乘兩次後，會等於「a 的一次方」？

$(?)(?) = a$

(?)(?) = a

只有「a 平方根」有這個效果：

$\sqrt{a} \sqrt{a} = a$

\sqrt{a} \sqrt{a} = a

所以，

$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$

a^{1/2} = \sqrt{a}

— Me@2013.02.13

乘法意思 4.1

Posted on February 11, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

第三個難解的數學基礎內容是，為何「零次方是一」。

「零次方是一」的意思是，如果一個數本身不是零，它的零次方，就會等如一。

$a \ne 0$

$\to a^0 = 1$

a^0 = 1

要明白這道公式的來源，我們要首先明白，何謂「次方」。「次方」的意思是「重複相乘」。如果聽眾是小學生，我就會說，「次方」就即是「有多少個英文字母乘在一起」。例如，

$a^3 = aaa$

a^3 = aaa

「a 三次方」的意思是，有三個 a 相乘在一起。那樣的話，「『a 三次方』乘以『a 二次方』」的意思則會是，把「三個 a」和「兩個 a」各自乘在一起後，再把兩者乘在一起：

$(a^3)(a^2) = (aaa)(aa) = a^5$

(a^3)(a^2) = (aaa)(aa) = a^5

所以，結果有五個 a 乘在一起，簡稱「a 的五次方」。

另外一個講法是，

(a^3)(a^2)

就即是在 (a^3) 的右邊，再乘兩個 a。

(a^3)(a^2)

= (a^3)(aa)

所以，結果有五個 a 乘在一起，簡稱「a 的五次方」。

根據這個講法，

(a^3)(a^0)

的意思則會是，在 (a^3) 的右邊，乘多零個 a。「乘多零個 a」其實就即是「什麼也不乘」。既然是在 (a^3) 的右邊「什麼也不乘」，(a^3)(a^0) 就會等於 (a^3)：

$(a^3)(a^0) = a^3$

(a^3)(a^0) = a^3

如果要符合這個意思，(a^0) 就要定義為 1：

$a^0 = 1$

a^0 = 1

如果你偏好直接解釋，你可以這樣說：

(a^0) 就是「乘以零個 a 」。「乘以零個 a 」其實就即是「什麼也不乘」。然後你回想一下，一生之中，學過什麼數字，「乘了等如沒有乘」。數字 1 就有這個效果。

$(a^3)(1) = a^3$

(a^3)(1) = a^3

任何數乘以 1，數值都不會有變。「乘以 1 」等如「什麼也不乘」，符合 (a^0) 的目標。

— Me@2013.02.10

乘法意思 3.2

Posted on February 6, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：那「負負得正」又如何解釋呢？

如果是

(-5) x (-3)

= +15，

第一個負數，可以理解為「負的金錢數目」。「-5」代表「5 元的欠債」。第二個負數，則要理解為「負的債主數目」。但是，那又是什麼意思？何謂「有 -3 個債主」？）

剛才說，你向甲乙丙三人借錢，每人借給你 5 元。所以，你的身家是 -15 元：

(-5) x 3

= -15

假設，三人中的「丙」，不知何故，突然說毋須你還錢。那樣，你的身家會變成什麼數目？你的身家會增加還是減少？

（安：身家會由 -15 元，變成 -10 元。那應該算是「增加」，因為欠債減少了。）

無錯。由 -15 元變成 -10 元，即是身家多了 5 元：

– 15 + (+5) = -10

現在，我們可以追究一下，如果要運算，算式會是怎樣的。原本你向甲乙丙三人借錢，每人借給你 5 元：

(-5) x 3

= -15

但是，後來「丙」毋須你還，令你的債主數目，少了 1 個，所以債主的數目改變，是 -1：

(-5) x (3-1)

根據常理，你的新身家是 -10：

(-5) x (3-1) = -10

根據「乘法分配性質」，算式左邊會變成：

(-5) x (3) + (-5) x (-1) = -10

再把算式簡化：

-15 + (-5) x (-1) = -10

(-5) x (-1) = -10 + 15

(-5) x (-1) = +5

那樣，我們就推斷到，負負得正。第一個「負」，代表欠債；第二個「負」，就代表少了債主；而結果是「正」，則代表你的財產增加了。

「負負得正」的實質意思是，「債主數目變小」會導致「欠債減少」。「欠債減少」就等價於「財富增加」。

實情是，「負負得正」這個數學規律，最先發現的，不是數學家，或者物理學家，而是會計師。

— Me@2013.02.06

乘法意思 3.1

Posted on February 5, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

另一個難解的數學基礎內容是，為何「負負得正」。

假設你原本的淨資產總值是零。「淨資產總值」簡稱「身家」。你向甲乙丙三人借錢，每人借給你 5 元的話，你的身家就會變成了-15（負十五），因為

(-5) x 3

= -15

在這題算式中，「-5」的負，代表欠債；而「3」，即是「+3」，則代表債主數目。由於你在身無分文下，問人借錢，借了後的身家，一定會少過「0 元」。所以，借錢後的身家是「負數」。

利用這個例子，我們就可以理解，「正負得負」的意思。你問一個人借 5 元，要導致欠債。你問三個人各自借 5 元，都會是欠債。那就是「正負得負」的由來。

（安：那「負負得正」又如何解釋呢？

如果是

(-5) x (-3)

= +15，

— Me@2013.02.05

乘法意思 2

Posted on February 3, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

詳細一點的說，你計算一個面積的大小時，其實就相當於問，該個面積，總共佔了多少個單位方格。如果所佔方格的數目是整數，「行數」和「列數」都會是整體。那樣，你就毋須逐格點算，也可以知道，該塊面積所佔的方格總數。例如，「3 cm x 2 cm」代表了有三行兩列，而每個網格的大小都是 1 cm x 1 cm。所以，方格總數是 3 x 2，等如 6。

如果格數不是整數，「行數」和「列數」就至少有一個不是整數，例如 3.1 cm x 2.1 cm。那代表了，你用來「點算」面積的網格太大，導致網格數目不是整數。

This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

如果轉用小一點的網格作為單位，你就可以避免小數的出現：

3.1 cm x 2.1 cm

= 31 mm x 21 mm

This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

這樣，我們就可以用面積的概念來理解，為何「小數乘法」都可以視為，「重複加法」的一個特例。

而「無理數」（irrational number）的意思是，無論單位網格縮到多細，小數也一定會出現。

— Me@2013.02.03

乘法意思 1.3

Posted on February 2, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

但是，運算的過程中，你用了乘數表，而乘數表本身，是由加法製成的。換句話說，即使你把「3.1 乘以 2.1」詮釋為「長方形面積」，最終你也要答我，如何把它化成「重複加法」。

3.1 cm x 2.1 cm = ?

如果要把這一道算式化成「重複加法」，唯有將它化成「整數乘法」。我們可以先回顧一下，運算這個面積時，那兩個小數從何而來。小數出現的原因是，單位太大。如果我們轉用小一點的單位，就可以避免小數的出現。

3.1 cm x 2.1 cm

= 31 mm x 21 mm

This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

換句話說，我們用來「點算」面積的網格太大，導致不能密鋪平面。如果我們轉用小一點的網格作為單位，就可以避免「密不鋪面」的情況出現。

This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

— Me@2013.02.02

乘法意思 1.2

Posted on February 1, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：我們可以把「3 乘以 2.1」，看成有三個 2.1 加在一起：

3 x 2.1

= 2.1 x 3

= 2.1 + 2.1 + 2.1

= 6.3

）

都可以。那樣，「3.1 乘以 2.1」呢？

（安：或者，「乘法」的意思不限於「重複加法」。有時，我們可以把「乘法」看成「運算長方形面積」。如果有一個長方形的長闊，分別是 3.1cm 和 2.1cm，他的面積就是「3.1cm 乘以 2.1cm」。）

那即是多少平方厘米呢？

（安：如果用計數機，我們可以立刻知道，

3.1cm x 2.1cm

= 6.51 cm^2

）

但是我現在正正是追問你，「乘法」的真正意思。如果你用計數機，就相當於迴避了問題。

（安：那不難解決。不用計數機的話，我們可以用，小學時所學的「乘法直式」。

    3.1
x   2.1
———
6 2
    3 1
———
6.5 1

）

3.1 x 2.1 = ?

— Me@2013.02.01

乘法意思 1.1

Posted on January 31, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

Young man, in mathematics you don’t understand things. You just get used to them.

— John von Neumann

數學之中，越基礎的內容，有時會越難解釋。那些基礎內容，我們有時會以為自己明白。那只是因為，我們已經習慣了那些東西。「習慣」冒充了「明白」的感覺。例如，「3 乘以 2」是什麼意思？

（安：「3 乘以 2」即是有兩個 3 加在一起，所以是 6。

3 x 2 = 3 + 3 = 6

）

無錯。那「3 乘以 2.1」呢？何謂「有 2.1 個 3 加在一起」？

3 x 2.1 = ?

（安：我們可以把「3 乘以 2.1」，看成有三個 2.1 加在一起：

3 x 2.1

= 2.1 x 3

= 2.1 + 2.1 + 2.1

= 6.3

）

都可以。那樣，「3.1 乘以 2.1」呢？

— Me@2013.01.30

平行宇宙 3.3

Posted on January 28, 2013 by rpflee

西瓜 8.3 | Copy Me, 6.3 | Verification principle, 4.3

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

The difference that makes no difference makes no difference.

無關痛癢的分別，毋須理會。

你這個問題，其實是哲學裡的 problem of identity，即是「同一問題」，或者「身份問題」。「身份問題」追究的是，何謂「同一個人」？

我們在上幾次，討論「時間定義」和「記憶」時，已經探討過這個問題。正如剛才所講，是否「同一個自我」，要視乎你自己的定義。「定義」即是「用法」，並沒有「對錯」可言，只有「恰不恰當」。

一個比較恰當的定義是，根據洛克（John Locke）的標準 —— 有同一個記憶，就為之「同一個自我」。

— Me@2013.01.28

平行宇宙 3.2

Posted on January 26, 2013 by rpflee

西瓜 8.2 | Copy Me, 6.2 | Verification principle, 4.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

我們可以把「同一個宇宙」定義為，一個有「因果關係」的時空區域。「平行宇宙」這個詞語中的「平行」，是指老死不相往來，互不相干。如果有兩個時空區域，完全沒有任何形式的因果連繫，我們就應該把那兩個區域，標籤為「兩個宇宙」。

（安：但是，我問題的前提是，我有一部時光機。我有可能由一個平行宇宙「甲」，走到另一個平行宇宙「乙」。那樣，「宇宙甲」就可以透過我和我的時光機，去影響「宇宙乙」。甲乙就開始有因果關係。原本的兩個「平行宇宙」，亦都不再「平行」。那樣，難道甲乙宇宙，就為之「二合為一」嗎？

另外，即使現實世界只有一個宇宙，由於宇宙膨脹的速度比光速還高，而光速本身，又是宇宙中訊息傳遞的終極最高速度，宇宙中的很多區域之間，自盤古初開，就永世不相往來，不可能有任何「因果關係」。那樣，難道那眾多區域，就為之「多重宇宙」嗎？）

你帶出了問題的重點。那是言辭之爭。

是否「同一個宇宙」，要視乎你自己的定義。「定義」即是「用法」，並沒有「對錯」可言，只有「恰不恰當」。

如果是一個常用的詞語，社會有一個慣常的用法，而你卻在沒有任何理據，和沒有事先聲明的情況下，用了一個極端不同的定義，那就為之「不恰當」。例如，「電腦」的一般意思是解作「運算機器」。如果你卻用這個詞語來指「蘋果」，就會引起很大的誤會。例如，當你說「我每天也會吃一個電腦」時，大家也會覺得你是瘋子。

但是，「同一個宇宙」並不是常用詞語，並沒有一個約定俗成、相對客觀的用法。既然沒有「先天的恰當定義」，那就應該「用者自付」。既然是你帶頭使用這個罕見詞彙，你就應該自己先給予一個清晰的定義。如果大家也接受，我們就可以用它，來繼續討論問題。

換句話說，你應該由自己回答，你原本的問題 —— 怎樣分辨「兩個平行宇宙」和「同一個宇宙的兩個不同區域」？

你要講得出，至少在原則上，「去了另一個平行宇宙」和「去了同一個宇宙的另一個區域」，會有什麼觀察結果上的分別。

如果你講得出有什麼分別 —— 例如「在同一個宇宙，我的薪金不會變；但是在另一個宇宙，我的薪金會加倍」—— 你就毋須問我如何分辨，因為，你只要看看自己的薪金有沒有變，就可以知道，究竟自己是「去了另一個平行宇宙」，還是「去了同一個宇宙的另一個區域」。如果你講不出有什麼分別，你問我如何分辨也沒有意思，因為那代表了，根據你的用法，「兩個平行宇宙」和「同一個宇宙的兩個不同區域」，根本是同義詞。

The difference that makes no difference makes no difference.

無關痛癢的分別，毋須理會。

— Me@2013.01.26

平行宇宙 3.1

Posted on January 23, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：我有另一個問題。假設我乘坐太空船，或者時光機，由一個地方（時空位置），去到另一個地方，見到一個和我原本世界十分相似的環境。在那裡，我還遇到「另一個自己」。

那樣，我究竟去了「同一個宇宙的另一個時間」；去了「同一個宇宙的另一個位置（空間區域）」，而那所謂的「另一個自己」，只不過是一個，和我極度相似的人；還是，我真的是去了「另一個平行宇宙」呢？

這三種情況，有辦法可以分辨到嗎？）

「同一個宇宙」的意思，可以是指遵守同一組物理定律的時空區域。

（安：但是，邏輯上可能，同一個宇宙的不同時空區域，遵守不同的物理定律。而另一方面，邏輯上亦可能，不同的宇宙，遵守同一組物理定律。）

題外話，如果不是同一個宇宙中，所有時空都適用的，就不會叫做「物理定律」。言歸正傳，你的質疑有效。

— Me@2013.01.23

因果網絡

Posted on January 21, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

但是，記住，那只能作比喻，而並不是實情，因為所有的「主觀時間線」，都會同時影響和受制於同一條「客觀時間線」。任何兩個人，即使從不相遇，兩條「主觀時間線」永不相交，他們的人生歷程，也不可能百分百互不相干。任何一條「主觀時間線」，都不如我所講的「平行宇宙」一般，有機會獨立存在。

不過，你這個講法雖然不是鉅細無遺，但是極度有用，因為它帶出了一個超級重點。現實世界的時間，雖然只有一個次元，但那一個次元，就已經足夠難明了。

剛才我把「一次元時間」講成一條「時間線」或者「因果鏈」，只是為了方便簡化。實情是，「時間」是一個「因果網絡」。意思是，「因」和「果」並不是一一對應。一個「因」，可以引發多個「果」；而一個「果」，又可以來自多個「因」。比喻說，一個學生，會有很多老師；而一個老師，又會有很多學生。「一因多果」和「一果多因」，可以統稱為「多重對應」。

你「現實版二次元主觀時間」的講法，雖然不是分毫不差，但是可信可用，因為，現實世界的「因」和「果」，是「多重對應」的。

— Me@2013.01.21

時間者

因果網絡也

— Me@2007.09.17

多重小宇宙

Posted on January 19, 2013 by rpflee

二次元時間 2.5 | Dimension 1.3.5 | Two dimensional time 2.5 | 孖生宇宙 2.5

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：你剛才提到：

「

所以，我剛才視「多重宇宙標籤」為「第二個時間」次元，是建基於「平行宇宙機」的假設。那個科幻故事的主角，發明了「平行宇宙機」，令到自己可以，由原本的宇宙（甲），走到另一個宇宙（乙）行事。那樣，「宇宙甲」的歷史，就可以透過主角，影響到「宇宙乙」的演化，反之亦然。

」

依你這個講法，除了在科幻小說外，日常現實生活中 —— 如果用比喻 —— 都會有「二次元時間」的現象。）

什麼意思？

（安：那是我將今天討論過的句子，重新組合後的化學作用，奇幻想法：

1. 一個宇宙，有一個「時間次元」，即是有一條「時間線」。「時間線」又可以稱為「因果鏈」。

2. 宇宙的次元數目是「三加一」，即是「『三次元空間』加『一次元時間』」。

3. 我剛才視「多重宇宙標籤」為「第二個時間」次元，是建基於「平行宇宙機」的假設。那個科幻故事的主角，發明了「平行宇宙機」，令到自己可以，由原本的宇宙（甲），走到另一個宇宙（乙）行事。那樣，「宇宙甲」的歷史，就可以透過主角，影響到「宇宙乙」的演化，反之亦然。

雖然，這個宇宙，客觀的時間次元只有一個，即是「客觀時間線」只有一條；但是，這個宇宙中的每一個人，其實各自都有一條「主觀時間線」，因為每人都有自己的歷史發展進程。例如，如果甲乙二人，老死不相往來，他們的「主觀時間線」就永不相交。他們各自的「因果鏈」，就可以視為兩個互不相干的微型「宇宙」，簡稱「平行小宇宙」。

但是，如果甲乙相遇，而相處起來，他們每人的說話和行動，就會影響到對方未來的人生演化。「因」和「果」，未必再局限於同一個人，同一條「主觀時間線」上出現。原本的「平行小宇宙」，不再完全「平行」。所以，要改稱為「多重小宇宙」。

那樣，要指清一件事件時，除了要指出它發生的時間 —— 例如「2013 年 1 月 14 日 5 時 20 分」—— 外，還要講清楚，它發生在哪一個「小宇宙」的「2013 年 1 月 14 日 5 時 20 分」。換句話說，你要講清楚，哪個人做了哪件事（因），而導致另一個人去做哪件事（果）。原本的時間標籤 —— 哪時 —— 是「第一個時間次元」；而多重宇宙的標籤 —— 哪人 —— 則可以視為「第二個時間次元」。

例如，醫生甲在 2013 年 1 月 14 日，開了藥給病人乙。病人乙於一星期後，2013 年 1 月 21 日痊癒：

… –> （2013 年 1 月 14 日，醫生甲）開藥 –> （導致）（2013 年 1 月 21 日，病人乙）痊癒 –> …

）

可以這樣說。但是，記住，那只能作比喻，而並不是實情，因為所有的「主觀時間線」，都會同時影響和受制於同一條「客觀時間線」。任何兩個人，即使從不相遇，兩條「主觀時間線」永不相交，他們的人生歷程，也不可能百分百互不相干。任何一條「主觀時間線」，都不如我所講的「平行宇宙」一般，有機會獨立存在。

— Me@2013.01.19

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