微積分 6.4

Posted on March 7, 2013 by rpflee

無限年 3.4 | 0/0 2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：你的意思是，牛頓和萊布尼茲發明「微積分」之初，雖然必須使用「無限小」這個概念，但卻沒有賦予它，一個嚴格的定義。而這個「微積分」的漏洞，是後人幫他們修補的。）

無錯。那些數學後人，用了「(ε, δ)-definition of limit」(“epsilon-delta definition of limit”)，來定義「無限小」。

（安：那樣，「無限小」的嚴格定義是什麼？）

例如，數式

$\frac{x^2-9}{x-3}$

\frac{x^2-9}{x-3}

在 x = 3 時，並沒有數值，因為那會導致分母變成零。分母等於零的分數，沒有任何數學意義。但是，我們卻可以研究，

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

等於什麼。換句話說，雖然 x = 3 並不合法，但是，我們仍然可以追問，「x 非常接近 3」時，這題數式會得到什麼數值。

正式的運算方法是這樣的：

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

$= \lim_{x \to 3} \frac{(x + 3)(x-3)}{x-3}$

= lim_{x \to 3} \frac{(x+3)(x-3)}{x-3}

然後，我們約了分子和分母的(x-3)：

$= \lim_{x \to 3} (x + 3)$

= lim_{x \to 3} (x+3)

= 6

當 x 接近 3 時，(x+3) 很明顯會接近 6。所以，結論是，

$\left( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} \right) = 6$

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

…

— Me@2013.03.07

微積分 6.3

Posted on March 4, 2013 by rpflee

無限年 3.3

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

這個定義，填補了「微積分」原本的漏洞。

（安：「微積分」原本有什麼漏洞？）

原本的漏洞，在於使用了「無限小」這個字眼，而又沒有明確講述，「無限小」究竟是什麼意思。

This work is in the public domain in the United States, and those countries with a copyright term of life of the author plus 100 years or less.

「微積分」的發明者，和早期的使用者，都對「無限小」的意思含糊其詞，例如：

「無限小」小過任何其他數，但它本身又不是零。（簡化起見，這裡不討論負數。）

這個講法的問題，在於自相矛盾：

即使 x = 無限小，x/2（x 的一半）理應仍然會小於 x 本身。但是，你又宣稱，x 會小於任何其他數。結論是，x 既會小於 x/2，又會大於 x/2，自相矛盾也。

— Me@2013.03.04

微積分 6.2

Posted on March 3, 2013 by rpflee

無限年 3.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

「爺爺」=「爸爸的爸爸」

「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」 = 「如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。」

「\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0」 = 「如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。」

還有，這一句仍然只是「簡稱」，還未精確到可以視為數學句子。完整的版本詳盡很多。

詳細一點的版本是，

「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」 = 「只要 x 足夠大，1/x 就會足夠接近零。」

只要具體釐清，在這個上文下理中，何謂「足夠大」和「足夠接近」，你就可以得到「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」的正式數學意思。

「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」 = 「無論 a 的數值是多麼小，你都可以令 1/x 和零的相差小於 a，只要你設定 x 的數值大於 1/a 。」

— Me@2013.03.03

微積分 6.1

Posted on March 2, 2013 by rpflee

無限年 3.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

簡便起見，你可以視「無限份之一」等如「零」。

$\frac{1}{\infty} = 0$

1/infinity = 0

不過，那只是輔助記憶的密碼，而不是正確合法的數學符號，因為，「無限」並不是一個數字，你不可以用「無限」來運算，或者表達任何數量。正確的寫法是，

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$

\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0

而它的真正意思是：

如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。

（安：那為什麼不直接那樣說，而要用複雜的數學符號來誤導人？）

因為那句說話冗長，但在數學中又要時常使用。沒有「簡稱」的話，會十分不便。正如，當我們教一個小朋友，「爺爺」是「爸爸的爸爸」的簡稱時，他同樣可以質疑，為什麼不直接說「爸爸的爸爸」，而要用複雜難寫的文字來誤導人？

「爺爺」=「爸爸的爸爸」

「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」= 「如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。」

還有，這一句仍然只是「簡稱」，還未精確到可以視為數學句子。完整的版本詳盡很多。

— Me@2013.03.01

無限蘋果 1.6

Posted on February 27, 2013 by rpflee

無限年 2.6 | 微積分 4.6 | Process, not a state, 7

大概而言，接受不到「無限」的話，你可以把它看成「超大」。「超大」只是一個模糊的印象，而不是一個明確的數字。　

準確而言，「無限」不是一個數字，而是一個過程。它是「不停地增長」這個過程，的一個簡稱。

— Me@2013.02.27

無限蘋果 1.5

Posted on February 24, 2013 by rpflee

無限年 2.5 | 微積分 4.5

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

換句話說，這個高速心算方法，其實就是由 x 次方的大小，來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方法」，你在作正式的運算前，就可以直接知道答案。所以，除了剛才提及，「用計數機代 x = 100,000」的方法外，你還可以用這個方法，來驗算牽涉「無限」的極限題目。

而你得到的答案，有三種可能。

第一種情況是，因為分母中 x 的最大次方，大過分子中 x 的最大次方，所以當 x 趨向「無限大」時，整個分數會趨向「無限小」，即是零。例如，

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6} \right) = \hspace{5mm} \dots \hspace{5mm} = 0$

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= …

= 0

第二種情況是，由於分母中 x 的最大次方，小過分子中 x 的最大次方，導致當 x 趨向「無限大」時，整個分數都趨向「無限大」，即是「沒有極限」。例如，

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2 + 6} \right) = \hspace{5mm} \dots \hspace{5mm} \to \infty$

lim_{x -> infinity} x^3/(x^2 + 6)

= …

-> infinity

最後一種情況是，分母中 x 的最大次方，和分子中 x 的最大次方相同。那樣，當 x 趨向「無限大」時，整個分數都趨向一個「有限數」。至於那個「有限數」是什麼，你只要看看分子和分母中， x 最大次方的係數（coefficients），就可以判斷到。例如，

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 x^3 + 3 x + 7}{5 x^3 + 3 x^2 + 6}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{2 x^3 + \hspace{5mm} \dots}{5 x^3 + \hspace{5mm} \dots}$

$= \hspace{5mm} \dots$

$= \frac{2}{5}$

lim_{x -> infinity} (2 x^3 + 3 x + 7)/(5 x^3 + 3 x^2 + 6)

= lim_{x -> infinity} (2 x^3 + …)/(5 x^3 + …)

= …

= 2/5

— Me@2013.02.24

無限蘋果 1.4

Posted on February 17, 2013 by rpflee

無限年 2.4 | 微積分 4.4

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

這個 limit（極限值）的正式運算方法是：

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \frac{x^2}{x^3} \right)}{\left(\frac{x^3 + 6}{x^3}\right)}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \frac{1}{x} \right)}{\left(1 + \frac{6}{x^3}\right)}$

$= \frac{\left( 0 \right)}{\left(1 + 0 \right)}$

$= 0$

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= lim_{x -> infinity} (1/x)/(1 + 6/x^3)

= (0)/(1 + 0)

= 0

這個方法的的精髓是，雖然，因為「無限」（ $\infty$ ）並不是一個數，你不可以代它於任何變數 x 之中；但是， $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$ 是卻一個數，而且等於零，所以，你可以把「零」代於所有（1/x）出現的地方。

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$

( lim_{x -> infinity} 1/x ) = 0

剛才講過，如果分子和分母同時趨向「無限」，整個分數究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」，要視乎分子中 x 次方比較大，還是分母。例如在這一題中，分子的 x 是二次方（x^2），而分母的 x 是三次方（x^3），所以，分母的「無限大」高級過分子的「無限大」。結果，整個分數趨向零。

以下只是輔助記憶的密碼，並不是正確合法的數學符號：

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

$= \frac{\infty^2}{\infty^3 + 6}$

$= \frac{\infty^2}{\infty^3}$

$= 0$

你可以在心裡運用，但不可以寫出來。

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= （無限）^2/（（無限）^3 + 6）

= 0

換句話說，這個高速心算方法，其實就是由 x 次方的大小，來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方法」，你在作正式的運算前，就可以直接知道答案。所以，除了剛才提及，「用計數機代 x = 100,000」的方法外，你還可以用這個方法來驗算，牽涉「無限」的極限題目。

— Me@2013.02.17

無限蘋果 1.3

Posted on February 14, 2013 by rpflee

無限年 2.3 | 微積分 4.3

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

由於「無限」不可以用來比較大小，它不是一個數字。所以，例如

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

\lim_{x -> infinity} (x^2)/(x^3+6)

的意思，並不是要你把「無限」代落 x 之中。換句話說，這個極根值題目並不是問你，當 x 的數值是「無限」時，整個分數的數值是多少，因為，「無限」根本不是一個「數值」。題目真正問你的是，如果分子是一個「超大」的數，而「分母」又同時是一個「超大」數的話，整個分數的數值會是多少。

留意，這個問題並不能直接回答，因為，如果不作詳細一點的分析，我們知道的只是，當 x 是「超大」時，分子的 x^2 會變成「超大」，而分母的 (x^3+6) 又會變成「超大」。整個分數會變成「超小」、「正常」還是「超大」，則暫時不知道。

它究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」，要視乎分子的「超大」，還是分母的「超大」，會大過對方。在這個例子中，由於分母中 x 的次方，比分子中 x 的次方大，所以分母的「超大」，會遠遠大過分子的「超大」。例如，當 x = 100,000 （十萬）時，x^2 = 10^10（一百億），而 x^3 卻已經變成 10^15（一千兆）。結果，(x^2)/(x^3+6) 會非常接近零。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6} = 0$

— Me@2013.02.14

無限蘋果 1.2

Posted on February 12, 2013 by rpflee

無限年 2.2 | 微積分 4.2

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

其實，並不是真的有一樣東西，或者一個數字，叫做「無限」。它只是一個語言的技巧，說話的方法。每逢我們說「無限」時，即是沒有那樣東西。

例如，甲問乙：「你欠我的錢，什麼時候會歸還呢？」

乙答：「無限年之後。」

乙的意思，並不是真的有一個時間長度，叫做「無限年」。他等「無限年」之後，會把錢還給甲。乙的真正意思是，他不肯還錢。

再例如，「無人跑得快過我」，並不是指有一個人名叫「無人」，他跑得快過我。「無人」只是一種說話的方法。「無人跑得快過我」的真正意思是，「我是所有人之中，跑得最快的。」

「只是一種說話方法」的意思是，凡是有「無人」這個詞語的句子，你都可以改成沒有「無人」的版本，而又百分百保存到原本的意思。

— Me@2013.02.12

無限蘋果

Posted on February 9, 2013 by rpflee

無限年 2.1 | 微積分 4.1

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

…

（CYW：那是不是無限？）

不一定。如果一個分數的分子和分母，各自都是趨向「無限大」，那個分數整體，就未必會趨向「無限大」。它可能是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」。

留意，「無限」並不是一個數字。凡是「數字」，都可以用來表達大小，比較份量。例如，

3 + 1 > 3

4 > 3

的意思是，「4 個蘋果」多於「3 個蘋果」。而「4 > 3」的理由是，「4 個蘋果」等於「3 個蘋果再額外加多 1 個」。

對於任何稱得上為「數字」的東西，都會遵守

x + 1 > x

這個規則。換言話說，從來沒有一個「數字」會，加了 1 之後，仍然等於原本的數字，因為

x + 1 = x

的話，x 就不能用來比較大小。

試想想，「無限 + 1」是多少？

— Me@2013.02.09

無限年

Posted on September 10, 2012 by rpflee

蘋果與 Apple, 1.2 | Electric Field and Electric Potential, 1.2 | 物理語言 1.2

這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。

你在讀數學和物理時遇到的困難，有時，其實不是「數學問題」或者「物理問題」，而是「語言問題」。

例如，如果我不跟你說，「electric field」（電場）和「electric potential」（電勢），其實是描述同一類物理現象的兩種不同語言，你可能一直會以為，它們是兩種不同的東西，繼而反覆思考它們的關係，庸人自擾一番。

所以，下次在數學、物理或其他科遇到疑惑時，你要知道，那很大機會是「語言問題」。只要把相關問題的重要字眼釐清，難題的神秘感往往會自然消失。

又例如，讀「微積分」時，「無限」好像十分驚嚇。其實，並不是真的有一樣東西，或者一個數字，叫做「無限」。它只是一個語言的技巧，說話的方法。每逢我們說「無限」時，即是沒有那樣東西。

例如，甲問乙：「你欠我的錢，什麼時候會歸還呢？」

乙答：「無限年之後。」

乙的意思，並不是真的有一個時間長度，叫做「無限年」。他等「無限年」之後，會把錢還給甲。乙的真正意思是，他不肯還錢。

— Me@2012.09.10

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