微積分 6.4

Posted on March 7, 2013 by rpflee

無限年 3.4 | 0/0 2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：你的意思是，牛頓和萊布尼茲發明「微積分」之初，雖然必須使用「無限小」這個概念，但卻沒有賦予它，一個嚴格的定義。而這個「微積分」的漏洞，是後人幫他們修補的。）

無錯。那些數學後人，用了「(ε, δ)-definition of limit」(“epsilon-delta definition of limit”)，來定義「無限小」。

（安：那樣，「無限小」的嚴格定義是什麼？）

例如，數式

$\frac{x^2-9}{x-3}$

\frac{x^2-9}{x-3}

在 x = 3 時，並沒有數值，因為那會導致分母變成零。分母等於零的分數，沒有任何數學意義。但是，我們卻可以研究，

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

等於什麼。換句話說，雖然 x = 3 並不合法，但是，我們仍然可以追問，「x 非常接近 3」時，這題數式會得到什麼數值。

正式的運算方法是這樣的：

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

$= \lim_{x \to 3} \frac{(x + 3)(x-3)}{x-3}$

= lim_{x \to 3} \frac{(x+3)(x-3)}{x-3}

然後，我們約了分子和分母的(x-3)：

$= \lim_{x \to 3} (x + 3)$

= lim_{x \to 3} (x+3)

= 6

當 x 接近 3 時，(x+3) 很明顯會接近 6。所以，結論是，

$\left( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} \right) = 6$

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

…

— Me@2013.03.07

微積分 6.3

Posted on March 4, 2013 by rpflee

無限年 3.3

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

這個定義，填補了「微積分」原本的漏洞。

（安：「微積分」原本有什麼漏洞？）

原本的漏洞，在於使用了「無限小」這個字眼，而又沒有明確講述，「無限小」究竟是什麼意思。

This work is in the public domain in the United States, and those countries with a copyright term of life of the author plus 100 years or less.

「微積分」的發明者，和早期的使用者，都對「無限小」的意思含糊其詞，例如：

「無限小」小過任何其他數，但它本身又不是零。（簡化起見，這裡不討論負數。）

這個講法的問題，在於自相矛盾：

即使 x = 無限小，x/2（x 的一半）理應仍然會小於 x 本身。但是，你又宣稱，x 會小於任何其他數。結論是，x 既會小於 x/2，又會大於 x/2，自相矛盾也。

— Me@2013.03.04

微積分 6.2

Posted on March 3, 2013 by rpflee

無限年 3.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

「爺爺」=「爸爸的爸爸」

「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」 = 「如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。」

「\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0」 = 「如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。」

還有，這一句仍然只是「簡稱」，還未精確到可以視為數學句子。完整的版本詳盡很多。

詳細一點的版本是，

「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」 = 「只要 x 足夠大，1/x 就會足夠接近零。」

只要具體釐清，在這個上文下理中，何謂「足夠大」和「足夠接近」，你就可以得到「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」的正式數學意思。

「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」 = 「無論 a 的數值是多麼小，你都可以令 1/x 和零的相差小於 a，只要你設定 x 的數值大於 1/a 。」

— Me@2013.03.03

微積分 6.1

Posted on March 2, 2013 by rpflee

無限年 3.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

簡便起見，你可以視「無限份之一」等如「零」。

$\frac{1}{\infty} = 0$

1/infinity = 0

不過，那只是輔助記憶的密碼，而不是正確合法的數學符號，因為，「無限」並不是一個數字，你不可以用「無限」來運算，或者表達任何數量。正確的寫法是，

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$

\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0

而它的真正意思是：

如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。

（安：那為什麼不直接那樣說，而要用複雜的數學符號來誤導人？）

因為那句說話冗長，但在數學中又要時常使用。沒有「簡稱」的話，會十分不便。正如，當我們教一個小朋友，「爺爺」是「爸爸的爸爸」的簡稱時，他同樣可以質疑，為什麼不直接說「爸爸的爸爸」，而要用複雜難寫的文字來誤導人？

「爺爺」=「爸爸的爸爸」

「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」= 「如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。」

還有，這一句仍然只是「簡稱」，還未精確到可以視為數學句子。完整的版本詳盡很多。

— Me@2013.03.01

無理數 2.2

Posted on February 26, 2013 by rpflee

乘法意思 5.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

「有理數」（rational number）的意思是，兩個整數的比例。亦即是話，它是一個分數，而分子和分母都是整數。如果表達成小數，它會是一個「有盡小數」或者「循環小數」。

「有理數」英文「rational number」中的「rational」，在日常生活的意思是「合理的」。但是，在這個數學的情境下，應該解讀成「ratio-nal」。「ratio」即為「比例」。根據現在的上文下理，「rational number」應該翻譯成「比例數」。「比例數」這個詞，比「有理數」直接易明。

— Me@2013.02.26

Always

Posted on February 22, 2013 by rpflee

For all, 2

“Always” means “all the time“, not “an infinite length of time“, for “infinity” is not a number.

— Me@2013-02-21 11:14:53 AM

無理數 2.1

Posted on February 22, 2013 by rpflee

乘法意思 5.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

剛才討論「乘法意思」時，提及過「無理數」。我現在想詳細講述一下。

一般而言，需不需要用小數，要視乎你所用的單位。例如，你用間尺量度一條線，發現長度等於 2.4cm。你需要用小數 2.4，是因為你用了厘米 cm 作為單位。如果轉用毫米 mm，你就可以用整數，來表達同樣的長度。

2.4 cm = 24 mm

但是，有時，無論用整數還是小數，都好像表達不到某些長度。例如，如果你間尺的最小間隔是 1mm，而你所度的長度是介乎 12mm 和 13mm 之間，一方面，你不能用整數來表達那長度，因為那既不是 12mm，又不是 13mm；另一方面，你亦不能用小數來表達，因為憑那把間尺，你並不知道，那長度是 12 點幾。

按常識，只要使用刻度精細一點的間尺，就可以解決這個問題 —— 你就可以用整數，準確表達那個長度。用厘米 cm 作刻度不行的話，就用毫米 mm；用毫米都不行的話，就用十分之一毫米；如此類推。在這個「可以透過縮小單位，來把小數化成整數」的情況下，你所量度的長度數值，如果堅持用原本的單位，就會表達成一個「有理數」（rational number），可以用「有盡小數」或者「循環小數」來表達。

但是，數學世界卻隱藏了，一些不按一般人「常識」的情況。有一些線的長度，無論你間尺的刻度有多精細，它永遠止於兩個刻度之間。例如，如果一個正方形的邊長是一個單位，它的對角線長度，就會是「開方 2」個單位（ $\sqrt{2}$ ）。

This is a file from the Wikimedia Commons.

「開方 2」就為之「無理數」（irrational number）。表達成小數的話，它會「無盡不循環」。

（安：那如果用對角線作為單位呢？

如果用一把刻度間隔，剛好是那條對角線長度的間尺，你就相當於把那長度，定義為「一個單位」。那樣，你就可以用「一」這個數字，來表達那對角線長度，而迴避了「無理數」。）

但是，那樣的話，你就犧牲了那正方形的邊長。你會被迫把它表達成「無理數」 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 。

— Me@2013.02.20

乘法意思 4.3

Posted on February 16, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

乘法第五關：何謂「負數次方」？

如果是正數次方，例如 a^2，即是在原本數字的右邊，乘多兩個 a：

$(a^3) a^2 = (a^3) a a$

$=a^5$

(a^3) a^2 = (a^3) a a = a^5

那樣，按常理，負數次方，例如 a^{-2}，就應該代表，要令到原本的數字，乘少兩個 a：

$(a^3) a^{-2} = a \not a \not a = a$

(a^3) a^{-2} = a a a = a

(a^3) a^{-2} = a a a (but cancel two a’s) = a

然後，你回想一下，一生之中，學過什麼數字或者符號，乘在原本數字的右邊後，會等於「刪除了其中兩個 a」？

$(a^3) a^{-2} = a a a (?) (?) = a$

a a a (?) (?) = a

只有「a 分之一」有這個效果：

$(a^3) a^{-2} = a a a (\frac{1}{a}) (\frac{1}{a}) = a$

(a^3) a^{-2} = a a a (1/a) (1/a) = a

所以，

$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$

a^{-2} = 1/a^2

— Me@2013.02.15

乘法意思 4.2

Posted on February 13, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

乘法的第四個難題是，何謂「二分一次方」。

「a 的 n 次方」的意思是，有 n 個 a 乘在一起。所以，「a 的二分一次方」，就即是有半個 a 乘在一起。但是，何謂「半個 a 乘在一起」呢？

如果你用數學公式 $a^m a^n = a^{m n}$ ，你就可以推斷到：

$a^m a^n = a^{m n}$

$a^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}} = a^{1}$

a^m a^n = a^{m+n}

a^{1/2} a^{1/2} = a^1

留意，「半個 a」如果是在「加法」的上文下理中，是指

$\frac{a}{2}$

a/2

但是，現在討論「乘法」。所以，這裡是指「乘法上的半個 a」。如果有這個概念，即使不用數學公式 $a^m a^n = a^{m n}$ ，你都可以推斷到， $a^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}}$ 是什麼。

a^{1/2} a^{1/2} = ?

試想想，根據「一半」這個詞語的意思，「兩個半」就即是「一個」。所以，「乘以兩次半個 a」，很明顯等於「乘以一個 a」。

$a^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}} = a^{1}$

a^{1/2} a^{1/2} = a^1

然後，你回想一下，一生之中，學過什麼數字或者符號，自乘兩次後，會等於「a 的一次方」？

$(?)(?) = a$

(?)(?) = a

只有「a 平方根」有這個效果：

$\sqrt{a} \sqrt{a} = a$

\sqrt{a} \sqrt{a} = a

所以，

$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$

a^{1/2} = \sqrt{a}

— Me@2013.02.13

乘法意思 4.1

Posted on February 11, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

第三個難解的數學基礎內容是，為何「零次方是一」。

「零次方是一」的意思是，如果一個數本身不是零，它的零次方，就會等如一。

$a \ne 0$

$\to a^0 = 1$

a^0 = 1

要明白這道公式的來源，我們要首先明白，何謂「次方」。「次方」的意思是「重複相乘」。如果聽眾是小學生，我就會說，「次方」就即是「有多少個英文字母乘在一起」。例如，

$a^3 = aaa$

a^3 = aaa

「a 三次方」的意思是，有三個 a 相乘在一起。那樣的話，「『a 三次方』乘以『a 二次方』」的意思則會是，把「三個 a」和「兩個 a」各自乘在一起後，再把兩者乘在一起：

$(a^3)(a^2) = (aaa)(aa) = a^5$

(a^3)(a^2) = (aaa)(aa) = a^5

所以，結果有五個 a 乘在一起，簡稱「a 的五次方」。

另外一個講法是，

(a^3)(a^2)

就即是在 (a^3) 的右邊，再乘兩個 a。

(a^3)(a^2)

= (a^3)(aa)

所以，結果有五個 a 乘在一起，簡稱「a 的五次方」。

根據這個講法，

(a^3)(a^0)

的意思則會是，在 (a^3) 的右邊，乘多零個 a。「乘多零個 a」其實就即是「什麼也不乘」。既然是在 (a^3) 的右邊「什麼也不乘」，(a^3)(a^0) 就會等於 (a^3)：

$(a^3)(a^0) = a^3$

(a^3)(a^0) = a^3

如果要符合這個意思，(a^0) 就要定義為 1：

$a^0 = 1$

a^0 = 1

如果你偏好直接解釋，你可以這樣說：

(a^0) 就是「乘以零個 a 」。「乘以零個 a 」其實就即是「什麼也不乘」。然後你回想一下，一生之中，學過什麼數字，「乘了等如沒有乘」。數字 1 就有這個效果。

$(a^3)(1) = a^3$

(a^3)(1) = a^3

任何數乘以 1，數值都不會有變。「乘以 1 」等如「什麼也不乘」，符合 (a^0) 的目標。

— Me@2013.02.10

Translation and Translation

Posted on February 7, 2013 by rpflee

translation

~ moving but not rotating

~ changing the position without changing the orientation

~ changing the position without changing the angle

~ 平移

translation

~ changing the language but not the meaning

~ moving the meaning from one language into another without changing the angle

~ moving the meaning from one language into another without changing the point of view

~ 翻譯

— Me@2013-02-04 01:23:12 PM

乘法意思 3.2

Posted on February 6, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：那「負負得正」又如何解釋呢？

如果是

(-5) x (-3)

= +15，

第一個負數，可以理解為「負的金錢數目」。「-5」代表「5 元的欠債」。第二個負數，則要理解為「負的債主數目」。但是，那又是什麼意思？何謂「有 -3 個債主」？）

剛才說，你向甲乙丙三人借錢，每人借給你 5 元。所以，你的身家是 -15 元：

(-5) x 3

= -15

假設，三人中的「丙」，不知何故，突然說毋須你還錢。那樣，你的身家會變成什麼數目？你的身家會增加還是減少？

（安：身家會由 -15 元，變成 -10 元。那應該算是「增加」，因為欠債減少了。）

無錯。由 -15 元變成 -10 元，即是身家多了 5 元：

– 15 + (+5) = -10

現在，我們可以追究一下，如果要運算，算式會是怎樣的。原本你向甲乙丙三人借錢，每人借給你 5 元：

(-5) x 3

= -15

但是，後來「丙」毋須你還，令你的債主數目，少了 1 個，所以債主的數目改變，是 -1：

(-5) x (3-1)

根據常理，你的新身家是 -10：

(-5) x (3-1) = -10

根據「乘法分配性質」，算式左邊會變成：

(-5) x (3) + (-5) x (-1) = -10

再把算式簡化：

-15 + (-5) x (-1) = -10

(-5) x (-1) = -10 + 15

(-5) x (-1) = +5

那樣，我們就推斷到，負負得正。第一個「負」，代表欠債；第二個「負」，就代表少了債主；而結果是「正」，則代表你的財產增加了。

「負負得正」的實質意思是，「債主數目變小」會導致「欠債減少」。「欠債減少」就等價於「財富增加」。

實情是，「負負得正」這個數學規律，最先發現的，不是數學家，或者物理學家，而是會計師。

— Me@2013.02.06

乘法意思 3.1

Posted on February 5, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

另一個難解的數學基礎內容是，為何「負負得正」。

假設你原本的淨資產總值是零。「淨資產總值」簡稱「身家」。你向甲乙丙三人借錢，每人借給你 5 元的話，你的身家就會變成了-15（負十五），因為

(-5) x 3

= -15

在這題算式中，「-5」的負，代表欠債；而「3」，即是「+3」，則代表債主數目。由於你在身無分文下，問人借錢，借了後的身家，一定會少過「0 元」。所以，借錢後的身家是「負數」。

利用這個例子，我們就可以理解，「正負得負」的意思。你問一個人借 5 元，要導致欠債。你問三個人各自借 5 元，都會是欠債。那就是「正負得負」的由來。

（安：那「負負得正」又如何解釋呢？

如果是

(-5) x (-3)

= +15，

— Me@2013.02.05

Unit

Posted on February 4, 2013 by rpflee

A unit is the definition of “one” in a particular context.

— Me@2013.02.02

universe ~ take everything as one

— Me@2013.02.04

Over

Posted on February 4, 2013 by rpflee

over ~ finished ~ transcended

— Me@2013-02-01 01:54:02 PM

Finishing is one of the two methods of transcending. For example, once you have earned enough money, you would never have to worry about money anymore.

Finishing is more time-consuming and should be avoided if possible. But sometimes, it is necessary.

— Me@2013-02-03 02:02:07 PM

乘法意思 2

Posted on February 3, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

詳細一點的說，你計算一個面積的大小時，其實就相當於問，該個面積，總共佔了多少個單位方格。如果所佔方格的數目是整數，「行數」和「列數」都會是整體。那樣，你就毋須逐格點算，也可以知道，該塊面積所佔的方格總數。例如，「3 cm x 2 cm」代表了有三行兩列，而每個網格的大小都是 1 cm x 1 cm。所以，方格總數是 3 x 2，等如 6。

如果格數不是整數，「行數」和「列數」就至少有一個不是整數，例如 3.1 cm x 2.1 cm。那代表了，你用來「點算」面積的網格太大，導致網格數目不是整數。

This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

如果轉用小一點的網格作為單位，你就可以避免小數的出現：

3.1 cm x 2.1 cm

= 31 mm x 21 mm

This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

這樣，我們就可以用面積的概念來理解，為何「小數乘法」都可以視為，「重複加法」的一個特例。

而「無理數」（irrational number）的意思是，無論單位網格縮到多細，小數也一定會出現。

— Me@2013.02.03

A History of Vector Analysis

Posted on February 2, 2013 by rpflee

A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System

— (Dover Books on Mathematics)

— by Michael J. Crowe

Summary of book

The book has eight chapters: the first on the origins of vector analysis including Ancient Greek and 16th and 17th century influences; the second on the 19th century William Rowan Hamilton and quaternions; the third on other 19th and 18th century vectorial systems; the fourth on the general interest in the 19th century on vectorial systems including analysis of journal publications as well as sections on major figures and their views (e.g., Peter Guthrie Tait as an advocate of Quaternions and James Clerk Maxwell as a critic of Quaternions); the fifth on Josiah Willard Gibbs and Oliver Heaviside and their development of a modern system of vector analysis.

— Wikipedia on A History of Vector Analysis

2013.02.02 Saturday ACHK

Anatta 4

Posted on February 2, 2013 by rpflee

無我 4 | Mirror selves 4

有時，人會能醫不自醫。

有時，人「能醫不自醫」原因是，人不能在自己的「主觀世界」中，看到完全的自己。

人只能從別人的主觀世界中，間接看到自己。

正如，任何一部相機，都不能直接為它自己拍照。

— Me@2010.12.13

— Me@2013.02.02

乘法意思 1.3

Posted on February 2, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

但是，運算的過程中，你用了乘數表，而乘數表本身，是由加法製成的。換句話說，即使你把「3.1 乘以 2.1」詮釋為「長方形面積」，最終你也要答我，如何把它化成「重複加法」。

3.1 cm x 2.1 cm = ?

如果要把這一道算式化成「重複加法」，唯有將它化成「整數乘法」。我們可以先回顧一下，運算這個面積時，那兩個小數從何而來。小數出現的原因是，單位太大。如果我們轉用小一點的單位，就可以避免小數的出現。

3.1 cm x 2.1 cm

= 31 mm x 21 mm

This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

換句話說，我們用來「點算」面積的網格太大，導致不能密鋪平面。如果我們轉用小一點的網格作為單位，就可以避免「密不鋪面」的情況出現。

This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

— Me@2013.02.02

乘法意思 1.2

Posted on February 1, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：我們可以把「3 乘以 2.1」，看成有三個 2.1 加在一起：

3 x 2.1

= 2.1 x 3

= 2.1 + 2.1 + 2.1

= 6.3

）

都可以。那樣，「3.1 乘以 2.1」呢？

（安：或者，「乘法」的意思不限於「重複加法」。有時，我們可以把「乘法」看成「運算長方形面積」。如果有一個長方形的長闊，分別是 3.1cm 和 2.1cm，他的面積就是「3.1cm 乘以 2.1cm」。）

那即是多少平方厘米呢？

（安：如果用計數機，我們可以立刻知道，

3.1cm x 2.1cm

= 6.51 cm^2

）

但是我現在正正是追問你，「乘法」的真正意思。如果你用計數機，就相當於迴避了問題。

（安：那不難解決。不用計數機的話，我們可以用，小學時所學的「乘法直式」。

    3.1
x   2.1
———
6 2
    3 1
———
6.5 1

）

3.1 x 2.1 = ?

— Me@2013.02.01

Physics Town

continues

Category Archives: mathematical logic

微積分 6.4

微積分 6.3

微積分 6.2

微積分 6.1

無理數 2.2

Always

無理數 2.1

乘法意思 4.3

乘法意思 4.2

乘法意思 4.1

Translation and Translation

乘法意思 3.2

乘法意思 3.1

Unit

Over

乘法意思 2

A History of Vector Analysis

Anatta 4

乘法意思 1.3

乘法意思 1.2