無限蘋果 1.4

Posted on February 17, 2013 by rpflee

無限年 2.4 | 微積分 4.4

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

這個 limit（極限值）的正式運算方法是：

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \frac{x^2}{x^3} \right)}{\left(\frac{x^3 + 6}{x^3}\right)}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \frac{1}{x} \right)}{\left(1 + \frac{6}{x^3}\right)}$

$= \frac{\left( 0 \right)}{\left(1 + 0 \right)}$

$= 0$

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= lim_{x -> infinity} (1/x)/(1 + 6/x^3)

= (0)/(1 + 0)

= 0

這個方法的的精髓是，雖然，因為「無限」（ $\infty$ ）並不是一個數，你不可以代它於任何變數 x 之中；但是， $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$ 是卻一個數，而且等於零，所以，你可以把「零」代於所有（1/x）出現的地方。

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$

( lim_{x -> infinity} 1/x ) = 0

剛才講過，如果分子和分母同時趨向「無限」，整個分數究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」，要視乎分子中 x 次方比較大，還是分母。例如在這一題中，分子的 x 是二次方（x^2），而分母的 x 是三次方（x^3），所以，分母的「無限大」高級過分子的「無限大」。結果，整個分數趨向零。

以下只是輔助記憶的密碼，並不是正確合法的數學符號：

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

$= \frac{\infty^2}{\infty^3 + 6}$

$= \frac{\infty^2}{\infty^3}$

$= 0$

你可以在心裡運用，但不可以寫出來。

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= （無限）^2/（（無限）^3 + 6）

= 0

換句話說，這個高速心算方法，其實就是由 x 次方的大小，來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方法」，你在作正式的運算前，就可以直接知道答案。所以，除了剛才提及，「用計數機代 x = 100,000」的方法外，你還可以用這個方法來驗算，牽涉「無限」的極限題目。

— Me@2013.02.17

無限蘋果 1.3

Posted on February 14, 2013 by rpflee

無限年 2.3 | 微積分 4.3

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

由於「無限」不可以用來比較大小，它不是一個數字。所以，例如

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

\lim_{x -> infinity} (x^2)/(x^3+6)

的意思，並不是要你把「無限」代落 x 之中。換句話說，這個極根值題目並不是問你，當 x 的數值是「無限」時，整個分數的數值是多少，因為，「無限」根本不是一個「數值」。題目真正問你的是，如果分子是一個「超大」的數，而「分母」又同時是一個「超大」數的話，整個分數的數值會是多少。

留意，這個問題並不能直接回答，因為，如果不作詳細一點的分析，我們知道的只是，當 x 是「超大」時，分子的 x^2 會變成「超大」，而分母的 (x^3+6) 又會變成「超大」。整個分數會變成「超小」、「正常」還是「超大」，則暫時不知道。

它究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」，要視乎分子的「超大」，還是分母的「超大」，會大過對方。在這個例子中，由於分母中 x 的次方，比分子中 x 的次方大，所以分母的「超大」，會遠遠大過分子的「超大」。例如，當 x = 100,000 （十萬）時，x^2 = 10^10（一百億），而 x^3 卻已經變成 10^15（一千兆）。結果，(x^2)/(x^3+6) 會非常接近零。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6} = 0$

— Me@2013.02.14

驗算極限 1.1

Posted on January 30, 2013 by rpflee

微積分 3.1

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

運算 limit（極限值）的題目時，有一個很簡單的方法驗算。那就是用計數機再運算一次。例如，假設你透過徒手運算，得到以下答案：

$\lim_{x \to 3} \left( \frac{x^2 - 9}{x - 3} \right) = 6$

lim_{x -> 3} (x^2 – 9)/(x – 3) = 6

用計數機驗算時，雖然你不可以代 3 落 x 之中，因為那會導致分母變 0，但是，你卻可以代一個十分接近 3 的數字，例如 3.001，看看那數學式子的數值，是否十分接近你的運算結果。（還有，那正正是 limit 這個抽象數學概念，背後的真正實際意思。）

$\left( \frac{3.001^2 - 9}{3.001 - 3} \right) = 6.001 \approx 6$

(3.001^2 – 9)/(3.001 – 3) = 6.001

但是，如果 x 所趨向的是「無限大」，你應代什麼數，才為之「接近無限大」呢？

你可以試試代一個大數，例如 100,000。我們看看另一道例題：

$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{3 x^2 - 9 x - 3}{4x^2 - 3} \right)$

lim_{x -> infinity} (3 x^2 – 9 x – 3)(4 x^2 – 3)

你先徒手運算。假設得到的答案是 3/4。然後，你用計數機，把 x = 100,000 代落數式之中：

$\left( \frac{3 (100000)^2 - 9 (100000) - 3}{4(100000)^2 - 3} \right)$

(3 (100000)^2 – 9 (100000) – 3}{4(100000)^2 – 3)

如果你發覺計數機的結果，十分接近你的答案，你運算錯誤的機會，就微乎其微。

$\left( \frac{3 (100000)^2 - 9 (100000) - 3}{4(100000)^2 - 3} \right) \approx 0.7499775 \approx 0.75 = \frac{3}{4}$

(3 (100000)^2 – 9 (100000) – 3)/(4(100000)^2 – 3) = 0.7499775

— Me@2013.01.29

Past papers 26.6

Posted on January 4, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

（LMC：做 past paper（歷屆試題）時，有何要那麼整齊？）

我不是叫你要「整齊」。那不是重點。重點是，考試時，你要做什麼，現在就照樣做，力求逼真。例如，考試時，不會要求你字體「優美」，但是會要求你字體「清楚」。那你就要在平日，習慣字體清楚。

考試時，一方面，你的字體不要太醜陋，因為那會令到評卷員看不清楚，情緒不安；另一方面，你的字體亦不要太優美，因為那會浪費你很多時間，可能導致你，來不及完成全部試題。理想的考試字體是，不美不醜，清晰自然。

— Me@2013.01.04

並聯電阻

Posted on December 4, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

計算並聯電路（parallel circuit）等價電阻（equivalent resistance）的公式是

1/R = 1/R_1 + 1/R_2

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

但是，除非有三個或以上的電阻，否則，千萬不要用這一個版本，因為運算太繁複。步驟越多，時間就越長，而犯錯的機會亦會越大。簡言之，費時失事也。

你應改為使用高速版：

R = R_1 R_2 / (R_1 + R_2)

$R = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$

這版本的背誦亦不難，只要你記住「相乘除以相加」便行。

— Me@2012.12.04

歸納筆記 2.2

Posted on November 16, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

試想想，如果你有在臨考前背誦「魔記筆記」，又怎可能在考試時「臨場遺忘」，內裡記載的常用技巧呢？

你們可能會問：「又怎可能在半小時內，把『魔法筆記』的所有內容，都閱讀一次呢？」

你留意，你現在手上的「魔法筆記」，並不是「真身」，而只是第一個版本。如果你跟足「魔法筆記方法」的劇情，臨考試前「魔法筆記」，一定會很薄。「魔法筆記」的原意，是把課程內容的（例如）四百頁，歸納成二百頁，成為第一個版本。然後，再把那二百頁，歸納成一百頁，成為第二版，如此類推。臨考試前的「魔法筆記」，應該只有少於五十頁。

另外，保證準時的唯一方法，就是大大提早到達。考試當日，正常人也會十分緊張，會提早出門，以防有突發交通事故。如果行程順利，你會在早於開考前的一個小時，就到達試場。所以，可用於背誦筆記的時間，通常也不只半小時那麼少。　

— Me@2012.11.16

歸納筆記 2.1

Posted on November 14, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

…

這個方法，只作「娛樂」之用。考試時，就應該用剛才的速成方法，以節省時間。又或者，兩個方法也用，以作驗算。

（HYC：但是，這一題我只會想到正常的，慢一點的方法。）

那你又毋須要求，自己會發明到那個速成方法。你現在試試用一次，然後把它記載於「魔法筆記」之中，考試時就自然會記得，因為根據「魔法筆記」的設計，你除了在平日要背誦外，在臨考試前的半小時，還要高速瀏覽一次，提一提醒自己。

（CYW：但是，我一到考試臨場緊張時，很多時也會忘記，必須的技巧。有沒有方法可以記得呢？）

我不斷推介的「魔法筆記」方法，正正是要徹底解決這個問題。而這個方法的重點是，必須有系統地，長期反覆背誦，考試必須的知識和技巧。試想想，如果你有在臨考前背誦「魔記筆記」，又怎可能在考試時「臨場遺忘」，內裡記載的常用技巧呢？

你們可能會問：「又怎可能在半小時內，把『魔法筆記』的所有內容，都閱讀一次呢？」

— Me@2012.11.13

機會率應試 1.2

Posted on October 27, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

所以，你在平日溫習時，要盡量儲備多些案例，尤其是 past paper（歷屆試題）的案例。如果你在考試前，已經儲了二十種類型的機會率題目，而在考試時，竟然出現第二十一類的話，你不用太擔心，因為其他考生也會同樣驚慌失措。

然後，你要小心一點，真正的公開試歷屆試題，或者考試範圍，會不會有超多類型的機會率題目？

（CYW：我也不太清楚。）

或者這樣，你試試不斷收集各種類型的機會率題目，於「魔法筆記」中。當你已經收集了四十類時，如果竟然再發現有第四十一類，你就應該退修這一科。

— Me@2012.10.27

機會率應試 1.1

Posted on October 25, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

（CYW：這類題目好像真的很難。如果考試遇到這些題目，應該怎麼辦？）

那要視乎你在考試前，即是平日溫習時，有否做過這類題目。做過的話，可以試一試。未做過的話，未必需要做，因為對於機會率題目來說，如果做一類從來未遇過的，通常都會錯。

不信的話，你試想一想一些已經明白的題目類型，回憶第一次見到它們時的感受。其實是一頭霧水的。莫講話要運算到正確答案，有時連題目問什麼，也不是十分清楚。例如，剛才我們討論這一題時，是亂打亂撞，互相提點下完成的。考試時時間倉促，大概不能那麼奢侈。

那你如何知道一題，是否以前遇過類型的題目呢？

你可以嘗試做一做，做到多少得多少，做不到就算。

— Me@2012.10.25

考試美術 1.2

Posted on September 26, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。

正確的方法是，你先把整幅畫（人、樹、屋）的大致輪廓，先畫出來。因為你只是令「人、樹、屋」成形，所花的的時間一定不多。接著，你才為整幅畫，畫第一重的細節。之後，還有時間剩餘的話，你就加上第二重的細節。下一步，再有時間的話，你再增添第三重的細節，如此類推。

這個策略的好處是，無論考官在什麼時刻宣佈停筆，你都可以宣稱，你的畫作經已經完成。你不可能不合格。

— Me@2012.09.26

考試美術 1.1

Posted on September 23, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。

當年我報考中學會考的美術科。該科有兩份卷。第一份是素描；第二份我選修了設計。每份卷的考試時間長度，都是三個小時。

美術老師教了我，一個至關重要的考試技巧。在一份卷的三個小時內，千萬不要力臻完美，十分詳細地畫任何一部分；因為，那樣會令你沒有足夠時間，去畫作品中的其他部分，而導致該卷不合格。

例如，試題的要求是，畫一個人、一棵樹和一間屋。如果你打算集中火力，先「完成」那間屋，才開始描繪其他的話，計劃就一定行不通。任何一部分，你都可以不斷迫近完美，無限詳細地畫下去，並沒有所謂「客觀的完成」。所以，「打算先『完成』那間屋」的真正意思是，你不企圖畫其他。

典型的劇情是，你花了頭兩個小時，都仍然在畫那間屋，不肯放手。結果，拖到二小時三十分，才開始用餘下的半小時，將「人」和「樹」草草了事。到頭來，三樣東西中，你只畫了一樣，是似模似樣的。你根本沒有完成試題的基本要求，成績自然是不合格，

— Me@2012.09.23

微積分驗算 1.4

Posted on April 30, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 2 日的對話。

（CYW: 用兩種方法運算同一題，而答案相同的話，錯的機會就很微。但是，考試時，哪會有那麼多的時間？）

那就要靠你平日的訓練。你要在考試前，訓練到自己，每當做一題價值（例如）三分鐘時間的題目時，都可以在兩分鐘內完成。而餘下的一分鐘，你就可以用來驗算。

— Me@2012.04.30

唔識就飛 9

Posted on March 23, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 26 日的對話。

* This item was deleted.

Note. Figures in brackets indicate the percentages of candidates choosing the correct answers.

General note on item deletion

It is normal for the HKEAA to delete a small number of items from its multiple-choice question papers if they prove unsatisfactory. In practice, there are a number of reasons why this is considered necessary. By far the most common reason for deleting an item is that the item fails to discriminate between weak and able candidates — in other words, the majority of the candidates involved had to rely on guesswork in answering that question. If such an item is retained, the measurement process is rendered less effective. Where items have been deleted in the live papers, they are still included in this series of publications. They are indicated as deleted items. Such items may be discussed in the corresponding examination reports.

— HKEAA

在香港的中學公開試中，間中有一些多項選擇題（multiple choices），會在考試後被考試局刪除。換句話說，那些題目的分數，不會計算在總分之中。

某一題被刪除，其中一個可能的原因是，該題每個答案的選擇人數差不多，都是大概 25%。那就即是話，大部分人也是隨意估計的。那樣，該題就失去了考試的意義，因為它不能再用來，判別考生學問的高低。

對於任何一題，只要在指定時間內想不到，就應該立刻暫時放棄。你應先隨機填一個答案，待完成了其他題目，還有時間剩餘的話，才回來再想。除了我以前講的理由外，現在還多了一個考慮：

某一題所需的思考時間過長，並不一定是因為你的才能不及。那亦可能是該題過深，根本絕大部分其他考生也不懂做。如果你堅持要完成，即使最終得到正確答案，也會得不償失。一來，你已經用了過多的時間，導致自己來不及，妥善完成其他題目。二來，該題最終可能被取消。

留意，即使決定了暫時放棄某一題，你也一定要先隨機填一個答案，才去做下一題。在多項選擇題的答題紙上，留下空格，是極之危險的事情，因為那可能會導致你，往後題目的答案「轉移」，全部填錯位置。

— Me@2012.03.23

Enjoy everything, need nothing, 2.2

Posted on February 28, 2012 by rpflee

種子論起點 12.3 | 兩次測驗 2

有心栽花花不香，無心插柳柳成蔭。當你「需要」一樣東西時，你就會失去它。

又例如，當你「需要」得到好成績時，你就會失去它：你的成績即使不太差，亦一定不會是最好。

如果你「需要」有好成績，才會感到有自信的話，每次在學業上遇到挫折時，你都會覺得那是對自身人格和自我價值的一個否定。那樣，溫習時，你會戰戰兢兢，自然不能得心應手；考試時，你會惶惶不安，自然不可揮灑自如。沒有豁達的心靈，就沒有靈活的頭腦。你一定不會是一個一流的學生。

正確的心態是，謀事在人，成事在天。你要知道，沒有人可以控制到，究竟自己拿不拿到好成績，因為影響成績的因素，實在有不少。你唯一可以做，唯一可以「控制」的，就是運用最好的策略，把試前十分有限的溫習時間，發揮至最大的功效，盡量提高「拿到好成績」的機會率。

在考試臨場作答時，你要使用同樣的心理結構。你可以控制的，是盡力作答，拿得一分得一分，從而提高「成功」的機會率。至於最終成不成功，或者最終拿到多少分，則完全不在你的控制範圍以內。

把手緊握什麼都沒有把手放開你得到一切 — 臥虎藏龍

— Me@2012.02.28

唔識就飛 8.4

Posted on September 23, 2011 by rpflee

唔識就飛（完全版）1.4

這段改編自 2010 年 5 月 18 日的對話。

當年，如果我不是嚴格執行這個「唔識就飛」政策的話，你現在就見不到我。

我在純數學科的高考時，七題 Section A 的題目之中，竟然有四題不懂做。那是非常驚嚇的事情，因為 Section A 的都是較短較淺的題目，而我卻有超過一半不懂做。我在平日練習時，通常也不會那麼差，偏偏在真正考試的那一次，有出人意表的劇情。如果發生在你身上，你會有什麼感受？

幸好，我在平日的練習中，已習慣了「唔識就飛」：想不通的話，就立刻先做下一題，或者同一題的下一部分。在原定的時間編排中，我應該花一小時在 Section A 和兩小時在 Section B。但是，因為有四題不懂的緣故，我在 35 分鐘左右就「完成」了 Section A，立刻跳去做 Section B。那樣，我就「儲存」了一些時間。完成 Section B 後，我還剩下 25 分鐘，去處理 Section A。

結果，那四題都給我想通了。

如果我不是平時訓練有素，我就不會有那樣的心理素質，去嚴格執行「唔識就飛」。執行不到「唔識就飛」，我就會在考試中浪費很多時間，導致我純數學科不合格，繼而入不到大學。入不到大學，我就不會是老師，你就不會在現在見到我。

— Me@2011.09.23

唔識就飛 8.3

Posted on September 19, 2011 by rpflee

唔識就飛（完全版）1.3

這段改編自 2010 年 5 月 18 日的對話。

一個人如果沒有足夠資料，多聰明也沒有用。正如，一個人如果沒有足夠的食物材料，廚藝再高，也沒有辦法煮到美味的菜色。所以，考試時，凡是在指定時間內想不到的題目，千萬不要繼續想。幾乎在所有的情況下，「繼續想」都不會令你「想得到」。為什麼呢？

在指定時間內想不到，有兩個可能性。

第一，你當時沒有足夠的資料，來處理該道題目。那樣的話，你再思考多十個小時，都不會有足夠的資料。情形就好像，你在烹飪時，發覺沒有足夠的食物材料。任你如何努力烹飪，那些食物材料都不會從天而降。倒不如，你花時間去做其他題目。

第二，你當時具備足夠的資料，但在那一刻，在思考上走錯了路。誤入歧途的話，再走只會越來越泥足深陷。情形就好像，你在走迷宮時，在其中一個分岔路口做錯選擇，任你如何努力走下去，正確的路線都不會從天而降。倒不如，你先花時間去做其他題目，然後才回來，重新開始想。

在「思考迷宮」之中，走錯分岔路的話，唯一可以扭轉形勢的方法是，重新再想過。但是，如果你在那一刻立即重頭再想的話，原本的錯誤想法仍然會停留在腦海之中，揮之不去。所以，你應該「唔識就飛」，先做其他題目，令自己可以忘記原本的想法。回來再想時，想通的機會就會很大。

即使萬一到最後，你也仍然想不到，那也沒有大相干，因為至起碼，你沒有白白犧牲了原本懂做的其他題目。

— Me@2011.09.18

去偏僻化

Posted on September 11, 2011 by rpflee

唔識就飛（完全版）| 唔識就飛 8 | 無足夠資料 6.2

這段改編自 2010 年 5 月 18 日的對話。

所以，你要在平時溫習課文和練習題目時，十分刻意地儲存這類資料於「魔法筆記」中，然後反覆背誦，直到它們和你形影不離為止。

那會不會遇到一個情況是，我平日儲存了（例如）一百個技巧，而考試卻偏偏考我所不熟悉的第一百零一個？

這個情況發生的機會不大。即使考試真的考一些「偏僻」的東西，也不會很多。還有，既然是偏僻的題目，除了你以外，其他大部分考生都同樣是不懂如何做。總體而言，偏僻題目對你的傷害有限。

如果你真的要奪取 A 級成績的話，你可以透過做大量的 past paper（歷屆試題），在平日收集定各式各樣在公開試中，有機會出現的偏僻技巧，把他人心目中的「荒山野嶺」，化成你的「原居地」。

— Me@2011.09.11

記名字原理

Posted on August 22, 2011 by rpflee

檢查物理意義 3

這段改編自 2010 年 5 月 12 日的對話。

一條公式的實質意義你知道得越詳細，你對該條公式的印象就會越深刻，記憶就會越清晰。所以，你背一條公式時，並不應只是背「一條公式」，而應把它背後的故事都一併「背誦」下來。

情形就好像記人名一樣：初初認識新朋友時，通常你都不會記得他的名字，因為他的名字對你來說，除了是一個名字以外，暫時沒有任何意義。他的名字，例如「陳大文」，對你來說，只是三個字，不代表其他任何東西。

但是，假以時日，一年半載後，你就會自然記得他的名字。那時候，「陳大文」對你來說，不再只是一個名字，而是一個活生生的人。提起「陳大文」，你除了會聽到三個字以外，你還會立刻回想起，在這一年半載中，他和你講了什麼說話，有過什麼經歷。例如，他曾經企圖幫你修理電腦。但是，因為他技術所限，不慎將你電腦硬碟的所有資料，都全部刪除了。

同理，你要對學問，例如數學公式，有深刻記憶的話，就一定要和它有長久的共同經歷。

— Me@2011.08.22