無限年 3.2
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
「爺爺」=「爸爸的爸爸」
「」 = 「如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。」
「\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0」 = 「如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。」
還有，這一句仍然只是「簡稱」，還未精確到可以視為數學句子。完整的版本詳盡很多。
詳細一點的版本是，
「」 = 「只要 x 足夠大，1/x 就會足夠接近零。」
只要具體釐清，在這個上文下理中，何謂「足夠大」和「足夠接近」，你就可以得到「」的正式數學意思。
「」 = 「無論 a 的數值是多麼小，你都可以令 1/x 和零的相差小於 a，只要你設定 x 的數值大於 1/a 。」
— Me@2013.03.03
2013.03.03 Sunday (c) All rights reserved by ACHK
無限年 3.1
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
簡便起見，你可以視「無限份之一」等如「零」。
1/infinity = 0
不過，那只是輔助記憶的密碼，而不是正確合法的數學符號，因為，「無限」並不是一個數字，你不可以用「無限」來運算，或者表達任何數量。正確的寫法是，
\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0
而它的真正意思是：
如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。
（安：那為什麼不直接那樣說，而要用複雜的數學符號來誤導人？）
因為那句說話冗長，但在數學中又要時常使用。沒有「簡稱」的話，會十分不便。正如，當我們教一個小朋友，「爺爺」是「爸爸的爸爸」的簡稱時，他同樣可以質疑，為什麼不直接說「爸爸的爸爸」，而要用複雜難寫的文字來誤導人？
「爺爺」=「爸爸的爸爸」
「」= 「如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。」
還有，這一句仍然只是「簡稱」，還未精確到可以視為數學句子。完整的版本詳盡很多。
— Me@2013.03.01
2013.03.02 Saturday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。
導數（derivative）dy/dx 的定義是
\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) – f(x)}{(x + \Delta x) – x}
但是，你千萬不要直接背誦這個數式，因為它很繁複。你需要記憶的，是淺白一點的版本：
\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x)
\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}
— Me@2013.02.28
2013.02.28 Thursday (c) All rights reserved by ACHK
無限年 2.6 | 微積分 4.6 | Process, not a state, 7
大概而言，接受不到「無限」的話，你可以把它看成「超大」。「超大」只是一個模糊的印象，而不是一個明確的數字。
準確而言，「無限」不是一個數字，而是一個過程。它是「不停地增長」這個過程，的一個簡稱。
— Me@2013.02.27
2013.02.27 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK
無限年 2.5 | 微積分 4.5
這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。
換句話說，這個高速心算方法，其實就是由 x 次方的大小，來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方 法」，你在作正式的運算前，就可以直接知道答案。所以，除了剛才提及，「用計數機代 x = 100,000」的方法外，你還可以用這個方法，來驗算牽涉「無限」的極限題目。
而你得到的答案，有三種可能。
第一種情況是，因為分母中 x 的最大次方，大過分子中 x 的最大次方，所以當 x 趨向「無限大」時，整個分數會趨向「無限小」，即是零。例如，
lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)
= …
= 0
第二種情況是，由於分母中 x 的最大次方，小過分子中 x 的最大次方，導致當 x 趨向「無限大」時，整個分數都趨向「無限大」，即是「沒有極限」。例如，
lim_{x -> infinity} x^3/(x^2 + 6)
= …
-> infinity
最後一種情況是，分母中 x 的最大次方，和分子中 x 的最大次方相同。那樣，當 x 趨向「無限大」時，整個分數都趨向一個「有限數」。至於那個「有限數」是什麼，你只要看看分子和分母中， x 最大次方的係數（coefficients），就可以判斷到。例如，
lim_{x -> infinity} (2 x^3 + 3 x + 7)/(5 x^3 + 3 x^2 + 6)
= lim_{x -> infinity} (2 x^3 + …)/(5 x^3 + …)
= …
= 2/5
— Me@2013.02.24
2013.02.24 Sunday (c) All rights reserved by ACHK
無限年 2.4 | 微積分 4.4
這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。
這個 limit（極限值）的正式運算方法是：
lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)
= lim_{x -> infinity} (1/x)/(1 + 6/x^3)
= (0)/(1 + 0)
= 0
這個方法的的精髓是，雖然，因為「無限」（）並不是一個數，你不可以代它於任何變數 x 之中；但是，
是卻一個數，而且等於零，所以，你可以把「零」代於所有（1/x）出現的地方。
( lim_{x -> infinity} 1/x ) = 0
剛才講過，如果分子和分母同時趨向「無限」，整個分數究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」，要視乎分子中 x 次方比較大，還是分母。例如在這一題中，分子的 x 是二次方（x^2），而分母的 x 是三次方（x^3），所以，分母的「無限大」高級過分子的「無限大」。結果，整個分數趨向零。
以下只是輔助記憶的密碼，並不是正確合法的數學符號：
你可以在心裡運用，但不可以寫出來。
lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)
= （無限）^2/（（無限）^3 + 6）
= 0
換句話說，這個高速心算方法，其實就是由 x 次方的大小，來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方 法」，你在作正式的運算前，就可以直接知道答案。所以，除了剛才提及，「用計數機代 x = 100,000」的方法外，你還可以用這個方法來驗算，牽涉「無限」的極限題目。
— Me@2013.02.17
2013.02.17 Sunday (c) All rights reserved by ACHK
無限年 2.3 | 微積分 4.3
這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。
由於「無限」不可以用來比較大小，它不是一個數字。所以，例如
\lim_{x -> infinity} (x^2)/(x^3+6)
的意思，並不是要你把「無限」代落 x 之中。換句話說，這個極根值題目並不是問你，當 x 的數值是「無限」時，整個分數的數值是多少，因為，「無限」根本不是一個「數值」。題目真正問你的是，如果分子是一個「超大」的數，而「分母」又同時是一個「超大」數的話，整個分數的數值會是多少。
留意，這個問題並不能直接回答，因為，如果不作詳細一點的分析，我們知道的只是，當 x 是「超大」時，分子的 x^2 會變成「超大」，而分母的 (x^3+6) 又會變成「超大」。整個分數會變成「超小」、「正常」還是「超大」，則暫時不知道。
它究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」，要視乎分子的「超大」，還是分母的「超大」，會大過對方。在這個例子中，由於分母中 x 的次方，比分子中 x 的次方大，所以分母的「超大」，會遠遠大過分子的「超大」。例如，當 x = 100,000 （十萬）時，x^2 = 10^10（一百億），而 x^3 卻已經變成 10^15（一千兆）。結果，(x^2)/(x^3+6) 會非常接近零。
— Me@2013.02.14
2013.02.14 Thursday (c) All rights reserved by ACHK
無限年 2.2 | 微積分 4.2
這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。
其實，並不是真的有一樣東西，或者一個數字，叫做「無限」。它只是一個語言的技巧，說話的方法。每逢我們說「無限」時，即是沒有那樣東西。
例如，甲問乙：「你欠我的錢，什麼時候會歸還呢？」
乙答：「無限年之後。」
乙的意思，並不是真的有一個時間長度，叫做「無限年」。他等「無限年」之後，會把錢還給甲。乙的真正意思是，他不肯還錢。
再例如，「無人跑得快過我」，並不是指有一個人名叫「無人」，他跑得快過我。「無人」只是一種說話的方法。「無人跑得快過我」的真正意思是，「我是所有人之中，跑得最快的。」
「只是一種說話方法」的意思是，凡是有「無人」這個詞語的句子，你都可以改成沒有「無人」的版本，而又百分百保存到原本的意思。
— Me@2013.02.12
2013.02.12 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK
無限年 2.1 | 微積分 4.1
這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。
…
（CYW：那是不是無限？）
不一定。如果一個分數的分子和分母，各自都是趨向「無限大」，那個分數整體，就未必會趨向「無限大」。它可能是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」。
留意，「無限」並不是一個數字。凡是「數字」，都可以用來表達大小，比較份量。例如，
3 + 1 > 3
4 > 3
的意思是，「4 個蘋果」多於「3 個蘋果」。而「4 > 3」的理由是，「4 個蘋果」等於「3 個蘋果再額外加多 1 個」。
對於任何稱得上為「數字」的東西，都會遵守
x + 1 > x
這個規則。換言話說，從來沒有一個「數字」會，加了 1 之後，仍然等於原本的數字，因為
x + 1 = x
的話，x 就不能用來比較大小。
試想想，「無限 + 1」是多少？
— Me@2013.02.09
2013.02.09 Saturday (c) All rights reserved by ACHK
微積分 3.1
這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。
運算 limit（極限值）的題目時，有一個很簡單的方法驗算。那就是用計數機再運算一次。例如，假設你透過徒手運算，得到以下答案：
lim_{x -> 3} (x^2 – 9)/(x – 3) = 6
用計數機驗算時，雖然你不可以代 3 落 x 之中，因為那會導致分母變 0，但是，你卻可以代一個十分接近 3 的數字，例如 3.001，看看那數學式子的數值，是否十分接近你的運算結果。（還有，那正正是 limit 這個抽象數學概念，背後的真正實際意思。）
(3.001^2 – 9)/(3.001 – 3) = 6.001
但是，如果 x 所趨向的是「無限大」，你應代什麼數，才為之「接近無限大」呢？
你可以試試代一個大數，例如 100,000。我們看看另一道例題：
lim_{x -> infinity} (3 x^2 – 9 x – 3)(4 x^2 – 3)
你先徒手運算。假設得到的答案是 3/4。然後，你用計數機，把 x = 100,000 代落數式之中：
(3 (100000)^2 – 9 (100000) – 3}{4(100000)^2 – 3)
如果你發覺計數機的結果，十分接近你的答案，你運算錯誤的機會，就微乎其微。
(3 (100000)^2 – 9 (100000) – 3)/(4(100000)^2 – 3) = 0.7499775
— Me@2013.01.29
2013.01.30 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。
…
有一個袋子，內裡有十張卡紙。每張卡紙上，都寫上了一個英文字母。那十個字母分別是「AAABBBCCCC」，即是三個 A、三個 B 和 四個 C。你將要抽其中三個字母出來。被抽出來的卡紙，不會放回袋中。
假設整個過程是隨機的，即是各個可能性的機會均等。問題是，你抽中「兩 A 一 B」的機會率是多少？
P 方法：
…
S 方法：
我們先考慮所有可能結果的總數，放於分母；然後，再考慮可以接受的結果有多少，放於分子。
（＿）
（ ）
總共有 10 字母，選 3 個出來，所以共有 10_C_3 個可能。（10_C_3）即是 「10 選 3」，等於 120。
（＿＿＿＿）
（10_C_3）
而眾多可能的結果中，我們接受的，是「兩 A 一 B」的情況。換句話說，即是要從三個 A 中，選兩個出來；從三個 B 中，選一個出來；和從四個 C 中，選零個出來。
（3_C_2）（3_C_1）（4_C_0）
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（10_C_3）
（3）（3）（1）
= ＿＿＿＿＿
（120）
結論是，抽到三個 A 的機會率是 3/40。
（3）（3）（1）
＿＿＿＿＿
（120）
= 3/40
答案和 P 方法的結果相同，即是正確的機會很大。
— Me@2013.01.27
致讀者：如發現本文有思考漏洞，或者運算錯誤，請以電郵告知本人。謝謝！
— Me@2012.10.17
2013.01.27 Sunday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。
初學機會率的其中兩個最大難處是，要釐清「什麼時候要考慮次序」和「怎樣為之『相同情況』」，例如：
…
我們再考慮另一個例子：
有一個袋子，內裡有十張卡紙。每張卡紙上，都寫上了一個英文字母。那十個字母分別是「AAABBBCCCC」，即是三個 A、三個 B 和 四個 C。你將要抽其中三個字母出來。被抽出來的卡紙，不會放回袋中。
假設整個過程是隨機的，即是各個可能性的機會均等。問題是，你抽中「兩 A 一 B」的機會率是多少？
P 方法：
總共要抽三個字母：
（＿）（＿）（＿）
抽第一個時，總共有十個字母，而你想要的 A，則有三個。所以，第一個機會率分數是十分之三（3/10）。
（3/10）（＿）（＿）
抽第二個時，總共餘下九個字母，而你想要的 A，則還有兩個。所以，第二個機會率分數是九分之二（2/9）。
（3/10）（2/9）（＿）
最後，總共餘下八個字母，而你想要的 B，則有三個。所以，第三個機會率分數是八分之三（3/8）。
（3/10）（2/9）（3/8）
暫時的結論是，抽到 A A B 的機會率是 1/40。
（3/10）（2/9）（3/8）
= 1/40
在用「S 方法」驗算前，我們先考慮，我們需不需要，再額外考慮「次序問題」呢？
需要，因為剛才那幾個機會率分數，只包括了 A A B，即是「頭兩個是 A 而最尾一個是 B」的情況。那並不是題目的設定。題目並沒有要求三個之中，哪一個是 B。所以，還有其他情況需要考慮：
（A）（A）（B）
（A）（B）（A）
（B）（A）（A）
（HYC：這一題很明顯是只有三種情況。但是，當題目不是那麼簡單，數字不是那麼小，而是要我選（例如）「四 C 三 A」時，我怎樣保證，可以羅列所有相關的情況，沒有遺漏？）
你可以這樣想：
（＿）（＿）（＿）
三格之中，你要放一個是 B，有多少方法呢？
很明顯，有 3_C_1 種可能。3_C_1 即是「3 選 1」，等於 3。所以，你只要將剛才的中途結果乘以 3，就可以得到最終答案。
（3/10）（2/9）（3/8）3_C_1
=（1/40）3
= 3/40
結論是，抽到「兩 A 一 B」的機會率是 3/40。
（HYC：我明白為何共有 3_C_1 種情況。但是，我不明白，為何只要將 3_C_1 乘上其中一個案例的機會率，就可以得到整體的機會率。）
你的憂慮是合理的。實情是，那 3_C_1 種情況，是三種不同的處境，需要各自計算，然後把它們相加，來得出整體的機會率。
（A）（A）（B）=（＿）（＿）（＿）
（A）（B）（A）=（＿）（＿）（＿）
（B）（A）（A）=（＿）（＿）（＿）
剛才運算過，「（A）（A）（B）」的機會是 1/40。
（A）（A）（B）=（3/10）（2/9）（3/8）= 1/40
（A）（B）（A）=（＿）（＿）（＿）
（B）（A）（A）=（＿）（＿）（＿）
而第二種情況「（A）（B）（A）」，抽到第一張是 A 的機會是 3/10，因為十張卡紙中，有三張是 A；抽第二張是 B 的機會是 3/9，因為餘下的九張卡紙中，有三張是 B；抽第三張是 C 的機會是 2/8，因為餘下的八張卡紙中，還剩兩張是 A。
（A）（A）（B）=（3/10）（2/9）（3/8）= 1/40
（A）（B）（A）=（3/10）（3/9）（2/8）
（B）（A）（A）=（＿）（＿）（＿）
類似地，第三種情況「（B）（A）（A）」的機會是（3/10）（3/9）（2/8）。
（A）（A）（B）=（3/10）（2/9）（3/8）= 1/40
（A）（B）（A）=（3/10）（3/9）（2/8）
（B）（A）（A）=（3/10）（3/9）（2/8）
理論上，三種情況要各自計算，從而會有三道不同的算式。但是實際上，你會發覺三道不同算式，會有相同的結果，都是 1/40。
（A）（A）（B）=（3/10）（2/9）（3/8）= 1/40
（A）（B）（A）=（3/10）（3/9）（2/8）= 1/40
（B）（A）（A）=（3/10）（3/9）（2/8）= 1/40
所以，剛才的講法「只要把『（A）（A）（B）』的機率乘以 3_C_1，就可以得以整體結果」，雖然概念上「有點不負責任」，但實際上，會得到正確的最終答案。
還有，很多時候，那是必須的捷徑。例如，如果題目問你「從『AAABBBCCCC』中，抽出七個字母，抽到『兩 A、兩 B 和 三 C』的機會是多少」，你就總共有 210 種情況要各自考慮、個別運算，除非你願意使用捷徑。
— Me@2013.01.24
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— Me@2012.10.17
2013.01.25 Friday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。
初學機會率的其中兩個最大難處是，要釐清「什麼時候要考慮次序」和「怎樣為之『相同情況』」，例如：
有一個袋子，內裡有十張卡紙。每張卡紙上，都寫上了一個英文字母。那十個字母分別是「AAABBBCCCC」，即是三個 A、三個 B 和 四個 C。你將要抽其中三個字母出來。被抽出來的卡紙，不會放回袋中。
假設整個過程是隨機的，即是各個可能性的機會均等。問題是，你抽中三個都是 A 的機會率是多少？
P 方法：
…
S 方法：
我們先考慮所有可能結果的總數，放於分母；然後，再考慮可以接受的結果有多少，放於分子。
（＿）
（ ）
總共有 10 字母，選 3 個出來，所以共有 10_C_3 個可能。（10_C_3）即是 「10 選 3」，等於 120。
（＿＿＿＿）
（10_C_3）
而眾多可能的結果中，我們接受的，是「三個都是 A」的情況。換句話說，即是要從三個 A 中，選三個出來；從三個 B 中，選零個出來；和從四個 C 中，選零個出來。
（3_C_3）（3_C_0）（4_C_0）
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（10_C_3）
（1）（1）（1）
= ＿＿＿＿＿
（120）
結論是，抽到三個 A 的機會率是 1/120。
（1）（1）（1）
＿＿＿＿＿
（120）
= 1/120
答案和 P 方法的結果相同，即是正確的機會很大。
— Me@2013.01.22
致讀者：如發現本文有思考漏洞，或者運算錯誤，請以電郵告知本人。謝謝！
— Me@2012.10.17
2013.01.22 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。
初學機會率的其中兩個最大難處是，要釐清「什麼時候要考慮次序」和「怎樣為之『相同情況』」，例如：
有一個袋子，內裡有十張卡紙。每張卡紙上，都寫上了一個英文字母。那十個字母分別是「AAABBBCCCC」，即是三個 A、三個 B 和 四個 C。你將要抽其中三個字母出來。被抽出來的卡紙，不會放回袋中。
假設整個過程是隨機的，即是各個可能性的機會均等。問題是，你抽中三個都是 A 的機會率是多少？
P 方法：
總共要抽三個字母：
（＿）（＿）（＿）
抽第一個時，總共有十個字母，而你想要的 A，則有三個。所以，第一個機會率分數是十分之三（3/10）。
（3/10）（＿）（＿）
抽第二個時，總共餘下九個字母，而你想要的 A，則有兩個。所以，第二個機會率分數是九分之二（2/9）。
（3/10）（2/9）（＿）
類似地，第三個機會率分數是八分之一（1/8）。
（3/10）（2/9）（1/8）
結論是，抽到三個 A 的機會率是 1/120。
（3/10）（2/9）（1/8）
= 1/120
在用「S 方法」驗算前，我們先考慮，我們需不需要，再額外考慮「次序問題」呢？
（HYC：你的意思是，你只考慮了，抽到「AAA」這個籠統的情況。但是「A」其實有三個，所以會形成六種可能性。
方便起見，我叫第一個 A 做「A1」、第二個 A 做「A2」和 第三個 A 做「A3」。那六種可能的結果是：
（A1）（A2）（A3）
（A1）（A3）（A2）
（A2）（A1）（A3）
（A2）（A3）（A1）
（A3）（A1）（A2）
（A3）（A2）（A1）
那樣，我們需不需要再把，以上的結果乘以 6 呢？）
不需要，因為剛才那幾個機會率分數，其實已內置了次序的考慮：
（3/10）（2/9）（1/8）
正正是因為第一張被抽出來的卡紙，無論是 A1、A2 還是 A3 都可以接受，第一個機會率分數的分子才會是 3。你那六種結果，正正是分子的（3 x 2 x 1）。
（3/10）（2/9）（1/8）
= 6/720
— Me@2013.01.20
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— Me@2012.10.17
2013.01.20 Sunday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。
有兩個袋。每個袋中都有十張卡紙，而每張卡紙上，都有由 1 到 10 的其中一個數字，沒有重複。現在，甲要由第一個袋中，抽一張卡紙出來。而乙則要在另一個袋中，抽另一張卡紙出來。假設整個過程是隨機的，即是各個可能性的機會均等。
如果甲的數字大過乙，那就為之「甲勝」。如果乙的數字大過甲，那就為之「乙勝」。已知「甲勝」的機會率是 q。問題是，「甲乙打和」的機會是多少？
…
甲乙所面對的情境，完全相同，所以「甲勝」和「乙勝」的機會率，不會有分別。這種「情境相同」的情況，學名叫做「對稱」。
（CYM：為何沒有分別？）
這裡有兩點需要明白。第一點是，何謂「對稱情境」。第二點是，為何「對稱情境」會導致「甲乙的機會率相同」。
第二點「只能意會 不能言傳」。如果你不是立刻感受到，我亦很難透過直接的解釋，令到你明白。我唯有詳細一些，解釋第一點的「何謂對稱情境」，從而間接令你感受到第二點的「為何機會率相同」。
你現在先試試站在甲的立場，體會一下他感受到什麼。他看的是：
自己的袋中有 1 到 10 的十張卡紙。而對方的袋中，又同樣有 1 到 10 的十張卡紙。如果我抽到的卡紙，數字比對方的大，我就獲勝。
然後，你再站在乙的立場，體會一下他又感受到什麼。他看的是：
自己的袋中有 1 到 10 的十張卡紙。而對方的袋中，又同樣有 1 到 10 的十張卡紙。如果我抽到的卡紙，數字比對方的大，我就獲勝。
你會發覺，甲乙的處境一模一樣，隻字不差。同一個處境，就會有同一個結果。（那就是「科學」的意思。）所以，「甲勝」和「乙勝」的機會必定相同。
— Me@2013.01.17
2013.01.17 Thursday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。
有兩個袋。每個袋中都有十張卡紙，而每張卡紙上，都有由 1 到 10 的其中一個數字，沒有重複。現在，甲要由第一個袋中，抽一張卡紙出來。而乙則要在另一個袋中，抽另一張卡紙出來。假設整個過程是隨機的，即是各個可能性的機會均等。
如果甲的數字大過乙，那就為之「甲勝」。如果乙的數字大過甲，那就為之「乙勝」。已知「甲勝」的機會率是 q。問題是，「甲乙打和」的機會是多少？
整個遊戲只有三個可能的結果 ── 「甲勝」、「乙勝」 或者 「打和」 ── 而它們是互斥事件。所以，
P（甲勝）+ P（打和）+ P（乙勝）= 1
因為「甲勝」的機會是 q，而甲乙所面對的情境，又完全相同，所以「乙勝」的機會和「甲勝」一樣，都是 q。
q + P（打和）+ q = 1
P（打和）= 1 – 2q
結論是，「甲乙打和」的機會率是（1 – 2q）。
— Me@2013.01.13
致讀者：如發現本文有思考漏洞，或者運算錯誤，請以電郵告知本人。謝謝！
— Me@2012.10.17
2013.01.13 Sunday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。
假設有兩個袋。每個袋中都有十張卡紙，而每張卡紙上，都有一個由 1 到 10 的其中一個數字，沒有重複。現在，你要由每個袋中，隨機抽一張卡紙出來。換句話說，各個可能性的機會均等。問題是，你抽到兩個相同數字的機會率是多少？
P 方法：
總共要抽兩個數字：
（＿）（＿）
第一個數字，什麼也可以接受，所以機會率分是一。
（1）（＿）
第二個數字，則要同第一個數字吻合，而十個數字中，只有一個和第一個相同。所以，第二格的機會率是十分之一（1/10）。
（1）（1/10）
結論是，抽到兩個相同數字的機會率是 1/10。
（1）（1/10）= 1/10
S 方法：
我們先考慮所有可能結果的總數，放於分母；然後，再考慮可以接受的結果有多少，放於分子。
（＿）
（ ）
總共要抽兩個數字。每個數字各自有十個可能性。所以，整體有（10 x 10）個可能結果。
（＿＿＿）
（10）（10）
而眾多可能之中，只有十組是可以接受的，包括（1,1）、（2,2）……（10,10）。所以，分子是十（10）。
（10）
＿＿＿＿
（10）（10）
結論是，抽到兩個相同數字的機會率是 1/10。
（10）
＿＿＿＿
（10）（10）
= 1/10
— Me@2013.01.10
致讀者：如發現本文有思考漏洞，或者運算錯誤，請以電郵告知本人。謝謝！
— Me@2012.10.17
2013.01.11 Friday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。
計算並聯電路（parallel circuit）等價電阻（equivalent resistance）的公式是
1/R = 1/R_1 + 1/R_2
但是，除非有三個或以上的電阻，否則，千萬不要用這一個版本，因為運算太繁複。步驟越多，時間就越長，而犯錯的機會亦會越大。簡言之，費時失事也。
你應改為使用高速版：
R = R_1 R_2 / (R_1 + R_2)
這版本的背誦亦不難，只要你記住「相乘除以相加」便行。
— Me@2012.12.04
2012.12.04 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。
（CPK：那樣，這一點的 voltage 數值是什麼？）
你要小心一點。Voltage（電壓）在這裡是指 potential difference（電勢差）。有兩點的 potential 數值，才會有所謂「difference」。所以，你問「這一點」voltage 數值是什麼，是沒有意思的，除非在事前已經設定好參考點，即是 ground（接地點）。
你應該問，甲點和乙點之間的 voltage 是什麼？又或者，甲乙兩點之中，哪一點的 potential 高一點？
— Me@2012.11.30
2012.11.30 Friday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。
有三個方格，你要填上三個英文字母。
_ _ _
每一格都是由 {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J} 十個字母中，抽其中一個出來。字母可以重複被抽中，例如，第一格是 A 的話，第二格都可能是 A。假設整個過程是隨機的，即是各個可能性的機會均等。那樣，「至少有兩個字母不同」的機會率是多少？
…
（HYC：如果不用你的速成方法，可以怎樣做？）
P（「三個之中，至少有兩個字母不同」）
= P（「三個也不同」或者「其中兩個相同，而餘下的一個不同」）
由於這兩種情況「互斥」，不可能同時發生，所以可以化作加數。
P（「三個之中，至少有兩個字母不同」）
= P（「三個也不同」）+ P（「其中兩個相同，而餘下的一個不同」）
= (1)(9/10)(8/10) + (1)(1/10)(9/10)（3_C_2）
（CYW：為什麼第二項會多了一個「3_C_2」？）
第二項的意思是，
P（「其中兩個相同，而餘下的一個不同」）
= P（「第一、二個相同，而第三個不同」） 乘以 「三選二」
因為「其中兩個相同」，可以有幾個可能，包括「頭兩個相同」、「尾兩個相同」或者「頭尾相同」。換句話說，三個之中選兩個相同，共有 3_C_2 種方法。「3_C_2」即是「三選二」，等如 3。
結論是
P（「三個之中，至少有兩個字母不同」）
= (1)(9/10)(8/10) + (1)(1/10)(9/10)（3_C_2）
= 0.99
這個方法，只作「娛樂」之用。考試時，就應該用剛才的速成方法，以節省時間。又或者，兩個方法也用，以作驗算。
— Me@2012.11.11
2012.11.11 Sunday (c) All rights reserved by ACHK
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