背誦製成品 7.2
那樣，如何保證自己不會背錯公式呢？
你要用第三個方法：背誦公式時，要盡量思考它們的意思。凡是在物理科出現的公式，通常都會有對應的「物理意義」。一條公式的物理意義你知道得越詳細，你對該條公式的印象就會越深刻，記憶就會越清晰。
例如， 的意思是「電線越長，電阻就越大」和「電線越粗，電阻就越小」。如果你記得物理意義的話，你就根本不可能將分子分母錯誤地倒轉。
而「考慮物理意義」這個方法中，時常用的一招是，檢查單位：檢查公式兩邊的單位，是否吻合。
2011.08.15 Monday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 5 月 9 日的對話。
「物理量」有兩種：intensive properties（固有性質）和 extensive properties（延展性質）。同物件的「尺寸大小」和「份量多少」沒有關係的物理量，為之「固有性質」。反之，就是「延展性質」。例如，鑽石的價錢取決於鑽石的輕重，所以「價錢」是鑽石的「延展性質」。而「每公斤價錢」則是鑽石的「固有性質」。
即使是同一種物質，只要「dimension」（尺寸大小）不同，resistance（電阻）就會不同。
如果你問「銅的 resistance 大一點，還是鋁的 resistance 大一點」的話，我答不到你，因為你沒有講明它們的尺寸大小。換句話說，比較兩種不同物料的 resistance 數值，並沒有任何意義。
如果要作有意義比較的話，你應該比較銅和鋁的 resistivity（電阻率）。
留意，電線越長，resistance 就越大；電線越粗，resistance 就越小。所以，resistance 是一項 extensive property。而 resistivity 的定義則是：
這公式剛好把「長度」因素除掉，同時又把「橫切面面積」乘掉。所以，resistivity 是一項 intensive property，不受物體的尺寸大小影響。
平時，當我們講「銅是比鋁更好的導電體」時，意思並不是指，銅的 resistance 比鋁的 resistance 小，因為這個描述沒有任何意義。「銅是比鋁更好的導電體」的真正意思是，銅的 resistivity 比鋁的 resistivity 小。
— Me@2011.06.25
2011.06.25 Saturday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 5 月 9 日的對話。
鑽石值錢一點，還是棉花值錢一點？
（CSY：鑽石。）
這樣答就錯了。例如，如果一小粒鑽石和一座山那麼大的棉花比較的話，很明顯棉花會比較值錢。
所以，如果沒有講明「dimension」（尺寸大小）或者「份量多少」的話，這個問題沒有意思，不值回答。合理的問法是：一公斤的鑽石值錢一點，還是一公斤的棉花值錢一點？
每當我們想講出某樣物質的特性，而不想被它的「份量多少」所影響的話，我們就會把「份量」除掉。例如，我們想比較在物料本質上，鑽石值錢一點，還是棉花值錢一點。我不應比較「價錢」，而應該比較「每公斤價錢」，亦即是「價錢/質量」（價錢除以質量）。那樣，「質量」這個因素就刪掉了。
例如，這裡有價值 500 元的棉花 和 300 完的鑽石。棉花的質量有 50 公斤，而鑽石則有 3 公斤。那樣，棉花的單位價值是 10 元/公斤；鑽石的單位價值是 100 元/公斤。所以，鑽石是比棉花昂貴的物料。
「物理量」有兩種：intensive properties（固有性質）和 extensive properties（延展性質）。同物件的「尺寸大小」和「份量多少」沒有關係的物理量，為之「固有性質」。反之，就是「延展性質」。例如，鑽石的價錢取決於鑽石的輕重，所以「價錢」是鑽石的「延展性質」。而「每公斤價錢」則是鑽石的「固有性質」。
— Me@2011.06.22
2011.06.22 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 5 月 9 日的對話。
Resistance（電阻）正比於物件的長度，反比於橫切面面積：
化成等式的話，我們需要一個「比例常數」，：
在物理上，這個「比例常數」，叫做 「resistivity」（電阻率）。
倒轉寫的話，resistivity 可以透過 運算得到，如果你知道 resistance 的數值的話。
Resistivity 可愛過 resistance，因為 resistivity 可以真正講出某樣物質的特性，而 resistance 則不可以。那是什麼意思呢？你可以這樣去理解：例如，我問你，
鑽石值錢一點，還是棉花值錢一點？
— Me@2011.06.19
2011.06.19 Sunday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 5 月 9 日的對話。
「電流」（current）的意思是，通過某一個橫切面，每一秒有多少電荷（charge）。
「電壓」（voltage）是「電動勢」和「電位差」的統稱。「電動勢」（electromotive force）的意思是，由電路（electric circuit）中的一點去另一點，每一個單位的電荷，可以賺取多少能量（energy）。「電位差」（potential difference）的意思是，由電路中的一點去另一點，每一個單位的電荷，需要付出多少能量。
有一批車輛要使用海底隧道。簡便起見，假設該條海底隧道只有一個收費站。如果將「車輛」比喻成「電荷」的話，「電流」（車流）的意思是，每一秒有多少輛車，通過那個收費站。而「電壓」的意思是，通過那個收費站，每一輛車要付出多少錢。
還有，海底隧道收費站的「賺錢能力」（earning power），可以用作比喻「電功率」（electric power）。「賺錢能力」的意思是，那個收費站，每一秒可以收到多少錢。
那樣，你能理解為什麼「電功率 ＝ 電流 X 電壓」嗎？
— Me@2011.06.09
2011.06.09 Thursday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 5 月 1 日的對話。
留意，我只是說做了一個「不定積分」（indefinite integration）後，你可以對答案式子做一次「微分」（differentiation），看看是否得回題目的式子。是的話，你答案正確的機會就十分高。
但是，我從來沒有說過，你做了一題「微分」題目後，可以透過對答案做一次「不定積分」，以作驗算。那是不行的。
「微分」是機械程序，「不定積分」不是。「微分」比「不定積分」簡單容易很多。所以，你應該用「微分」來驗算「不定積分」題目，而不應該用「不定積分」來校對「微分」題目。
如果要驗算「微分」題目的話，你要用其他方法。其中一個方法是，用一部有「微積分」功能，而又被考試局認可的計數機。
— Me@2011.05.18
2011.05.18 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK
這段改篇自 2010 年 5 月 1 日的對話。
「微積分」的概念，可能會比其他課題抽象，因為牽涉到「無限大」和「無限小」。但是，「微積分」的運算，說穿了，只是一大堆公式的背誦，不是什麼抽象的思考。你可以把學習「微積分」，看成學習一個「高級乘數表」的過程。
你在計算乘數時，並不會有什麼抽象的思維。你所做的，只是把乘數表背出來。所以，平時我說「我懂做乘數」並不是指，我對「乘數」有什麼深刻的了解。「我懂做乘數」的意思是，我背誦了「乘數表」，而且純熟到它已變成了我的自然反應。
（再者，想要對「乘數」的意思有深刻的了解，並不是那麼簡單容易。例如，5 x 2 = 5 + 5 ； 5 x 3 = 5 + 5 + 5。那樣，「5 x 2.1」究竟是什麼意思呢？）
同理，想要「微積分」的運算做得好，並不是要花大量時間，做抽象的思考，去了解「微積分」背後的終極真相。反而，你真正需要做的，只是把「微分（公式）表」和「積分表」背誦好，再加大量的練習，令到它們變成了你的條件反射。
— Me@2011.04.12
In mathematics you don’t understand things. You just get used to them.
— John Von Neumann
2011.04.12 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK
0/0 不能代表任何東西。知不知原因？
（CKY：不知。）
我以前教過你。
（CKY：不記得。）
例如， 等於 3，因為 3 乘以 2 等於 6，即是 3 乘以分母等於分子。又例如，
，因為 4 乘以 3 等於 12。明白嗎？
（CKY：明白。）
同理， 應該是等於 2，因為 2 乘以 0（分母）等於 0（分子）。
（CKY：但是，3 乘以 0（分母），都會等於 0（分子）。）
無錯，所以 又可以代表 3。
一個符號之所以有意思，在於它可以表達唯一的一樣東西。如果一個符號不代表任何東西，又或者可以同時表達超過一樣東西的話，它就會沒有任何意思。
例如，你的名字是 CKY。「CKY」這個名字之所以有意思，是因為「CKY」在這班中，代表了唯一的一個人（你）。如果「CKY」在這班中，不代表任何人的話，它就沒有用處。另一方面，如果「CKY」在這班中，代表超過一個人的話，它亦會沒有用處。
最極端的情形是，這班中的所有人，都叫做「CKY」。那就會很奇怪。當老師宣佈委任「CKY」做班長時，大家也不知道究竟誰會做班長。
而 正正是這個最極端的情形。
可以代表任何一個數，所以它沒有任何用處。
— Me@2011.04.09
2011.04.09 Saturday (c) All rights reserved by ACHK
這裡很麻煩：由 -2 變成 -3，應該叫做「變大」還是「變小」？
無論怎樣答，都好像不妥當。為了清晰起見，這裡應該避用「大/小」這個字眼。我們可以這樣說， -3 比 -2 更加「負」； +3 比 +2 更加「正」。
如果斜率是正數的話，越正越斜：越正的斜率數值，代表越斜的斜線；如果斜率是負數的話，越負越斜。
— Me@2011.04.04
2011.04.04 Monday (c) All rights reserved by ACHK
融會貫通 | 故事連線 3
這段改篇自 2010 年 4 月 30 日的對話。
我的意思是，你千萬不要「死記」。「死記」的不好處是，一方面你心裡會很不舒服；另一方面，你很容易會遺忘。
（CSK：但是，你剛才又叫我們不要期望可以自己想出那些數學技巧，而一定要在考試前背誦好。現在，你又叫我們不要背誦？）
我剛才是叫你不要「死記」，而不是叫你不要「記」。「死記」的意思是，在沒有任何理解之下，就把那些東西生硬背誦下來。只要精神狀態稍為波動，所有「死記」的東西就會不見了。
那樣，如何可以「生記」呢？
先理解那些公式背後的 幾何意義 或者 物理意思，然後把上文下理一併背誦下來。例如，如果你有 4 樣東西 —— A、B、C、D —— 要記的話，其實你有超過 4 樣東西要記。除了要各自記得 A、B、C、D 以外，你還要記得它們之間的關係，例如：
1. A
2. B
3. C
4. D
5. AB （原來 B 是由 A 推算出來的。）
6. BC （原來 B 和 C 只不過是同一個意思的不同講法。）
7. AD （原來 D 只是 A 的一個特例。）
8. CD （原來 D 可以用來驗算 C 的運算結果。）
9. etc.
那樣，A、B、C、D 對你來說，除了是 4 樣東西以外，還形成了一個知識網絡。
萬一你遺忘了（例如）A 的話，你可以立刻由 B、C、D 把 A 推斷出來，因為在這一個知識網絡中，你有遠多於一條路可以走到 A，亦即是你有遠多於一個方法回憶到 A。即使你不能直接回憶到 A，你仍可以由 B 去 A，又可以由 C 去 A，等等。只要其中一條路行得通，你就可以到達 A。反而，要遺忘 A 的話，你需要一個奇蹟。
— Me@2011.03.31
2011.03.31 Thursday (c) All rights reserved by ACHK
這段改篇自 2010 年 4 月 30 日的對話。
重點是，微分積分有對應的實質意思。如果你知道那些意思的話，很多運算就很易明白和記憶。
就即是找斜率。
就即是求面積。
我的意思是，你千萬不要「死記」（沒有任何理解之下就背誦）。「死記」的不好處是，一方面你心裡會很不舒服；另一方面，你很容易會遺忘。
（CSK：但是，你剛才又叫我們不要期望可以自己想出那些數學技巧，而一定要在考試前背誦好。現在，你又叫我們不要背誦？）
— Me@2011.03.25
2011.03.26 Saturday (c) All rights reserved by ACHK
這段改篇自 2010 年 4 月 30 日的對話。
這些微積分的數學操作，背後有對應的 physical meaning（實質意思）。直情發明微積分的那一個人，是一位物理學家。
（CSK：即是微積分和物理有關？）
知不知誰發明微積分？
（CSK：不知。）
頓哥。
（CSK：哪個頓哥？）
牛頓先生。
重點是，微分積分有對應的實質意思。如果你知道那些意思的話，很多運算就很易明白和記憶。
— Me@2011.03.22
2011.03.22 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK
這段改篇自 2010 年 4 月 30 日的對話。
（CSK：其實 A.Maths（附加數學）是否時常用複雜的術語，去描述一些本來很簡單的事物？）
不只 A.Maths，其他科目也是這樣。明明是淺白的東西，用了一個新的詞彙，就會好像高級一點。代價是令到初學者不知所云，浪費大量時間。
例如 ，如果我說：「f(x) 是一條有 x 的公式。 f(x) is a formula of x.」大部人也會立刻明白，而覺得很無聊。但是，數學科卻說：「f(x) 是一個『函數』。 f(x) is a function of x.」大家就好像應該肅然起敬。
（CKY：用來「拋」（嚇）人。）
無錯。所以，我們千萬不要給其他人拋到。別人拋我們時，我們要反拋他。別人用深的術語嚇我們時，我們要用（貌似）更深的術語去反嚇他。
— Me@2011.03.12
2011.03.13 Sunday (c) All rights reserved by ACHK
所以，如果你想驗算的話，你可以代（例如） x = 0.003217 入左右兩邊，看看左右兩邊是否數值非常近似。
LHS :
RHS :
如果左右兩邊的頭幾個對應數字都相同的話，你的方程式答案
就有很大機會正確。
用這個驗算方法，選擇 x 的數值時，有一些地方要留意。
第一， x 一定要是在 1 和 -1 之間的數字。
第二， x 千萬不要代一些公整的數字。太公整的話，例如 0 和 0.5 等，你很可能會「撞中答案」。即使左右兩邊的數字答案非常接近，你也不能確定，那是因為你的運算正確，還是只是巧合。
第三， x 不要太大。太大的話，例如 0.3217，即使你的方程式答案正確，左右兩邊的數字答案亦未必會接近。
第四， x 不要太小。太小的話，例如 0.000003217，你會校對不到右手邊方程式最後一項（）的係數（281）是否正確。
— Me@2011.03.04
2011.03.05 Saturday (c) All rights reserved by ACHK
二項式定理有一個驗算方法。例如，題目要你把 展開（expand）至
為止。而你運算到的答案是
。你怎樣可以知道，自己有沒有運算錯誤呢？
首先，你要知道，這種題目的目的，是要做近似值，以簡化運算。如果把 的所有項也寫出來的話，你總共要寫 24 項。
如果你只想寫（次方由小至大的）頭幾項，而又要近似值足夠準確的話，x 一定要是在 1 和 -1 之間的一個很小的數值，因為 x 的數值越小， x 越大次方的數值就越可以忽略。例如，x 是百份之一的話， x 二次方就是萬分之一。而 x 三次方就是百萬分之一。
— Me@2011.03.02
2011.03.02 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK
這段改篇自 2010 年 3 月 18 日的對話。
在真空之中，光速是宇宙間最高的速度。在真空之中，沒有東西的移動可以快過光。如果有一樣東西，以高於光速移動的話，它就會回到過去。
（CN：為什麼一快過光，就會回到過去？）
比喻說，如果我以高於光速離開地球的話，我就可以追到地球以前發出的光線，從而看到以前的地球。
— Me@2010.08.16
2010.08.16 Monday (c) All rights reserved by ACHK
這段改篇自 2010 年 3 月 18 日的對話。
光是電磁波。那樣，什麼是「電磁波」呢？
很久以前的人以為「電力」和「磁力」是兩樣沒有關係的東西。後來，物理學家發現，它們原來是背後同一樣東西的兩個化身。
然後呢，你要留意，「靜電無磁」。意思是，如果我放一粒電荷在這裡，而它是靜止的話，它只會有電場，而不會產生磁場。另一方面，「靜磁無電」。意思是，如果我放一塊磁石在這裡，而它是靜止的話，它只會有磁埸，而不會產生電場。
暫時的結論是，「靜電無磁；靜磁無電」。
那樣，「電」和「磁」有什麼關係呢？
如果那粒電荷在移動的話，它除了會有原本的電場外，亦會額外產生一個磁場。詳細一點的講法是，如果那粒電荷在移動的話，它原本的電場就會有變化。而變化的電場會產生一個磁場。整個過程簡稱為「電動生磁」。
另一方面，如果那塊磁石在移動的話，它除了會有原本的磁場外，亦會額外產生一個電場。詳細一點的講法是，如果那塊磁石在移動的話，它原本的磁場就會有變化。而變化的磁場會產生一個電場。整個過程簡稱為「磁動生電」。
簡言之，「電動生磁；磁動生電」。
— Me@2010.08.14
2010.08.14 Saturday (c) All rights reserved by ACHK
這段改篇自 2010 年 3 月 18 日的對話。
（CN：為什麼在「可見光譜」中（visible light spectrum），紅色光的波長是最長的？）
你彷彿是在問我：「為什麼爺爺是爸爸的爸爸？」
那是因為「爺爺」這個詞語，是「爸爸的爸爸」的簡稱。同理，「紅色光的波長是最長的」的原因是，我們把「可見光」中，最長波長的光，簡稱為「紅色」。
— Me@2010.08.12
2010.08.12 Thursday (c) All rights reserved by ACHK
這段改篇自 2010 年 3 月 18 日的對話。
為什麼光（或其他波動）由原本的介質進入另一種介質時會折射？
坦克車如何轉彎呢？
當左邊的履帶，轉動得快過右邊的履帶時，坦克車就會向右轉。
— Me@2010.08.04
2010.08.04 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK
這段改篇自 2010 年 3 月 18 日的對話。
波動本身
位移 – 距離 圖把一個 longitudinal wave（縱波）所對應的 displacement-distance graph（位移 – 距離 圖）畫了出來後，你就可以在「位移 – 距離 圖」中，畫一個新的 wave（波動）形狀。如果是那個 longitudinal wave 是向右走的話，你就在「位移 – 距離 圖」中，原本的 wave 右手旁邊，用虛線畫一個新的 wave。
位移 – 距離 圖比較原本的 wave 和新 wave，你就可以知道在這一刻，在「位移 – 距離 圖」中，粒子 A 是向上移動的。「向上」移動，就即是「向正方向」移動。「正方向」在原本的 longitudinal wave 中，就即是「右面」。
波動本身換句話說，在這一刻，粒子 A 是向右移動的。
— Me@2010.07.20
2010.07.20 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK
Physics Town 
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