Category Archives: study

淘汰賽 2.2

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這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

假設有一個乒乓球淘汰賽，共有八人參加。換句話說，有四場初賽，淘汰四個參賽者。餘下的四個進入準決賽。初賽時的比賽對象，由抽籤隨機決定，即是各個可能性的機會均等。

另外，每人在每場勝利的機會相同，都是二分之一。

問題是，其中兩個參賽者 A 和 B，在第二輪比賽，即是準決賽，相遇的機會率有多少？

             (_)  (_)                決賽  

     (_)  (_)        (_)  (_)       準決賽

(_)(_)  (_)(_)  (_)(_)  (_)(_)   初賽

第一對  第二對  第三對  第四對

P 方法：

…

S 方法：

我們先考慮所有可能排列的總數，放於分母；然後，再考慮可以接受的排列有多少，放於分子。

（＿）
（   ）

準決賽總共有 8 個可能的參加者， 4 個位置，所以共有 8P4 個可能的排列。（8P4）即是 「8 排 4」，等於 1680。

（＿＿）
（8P4）

而眾多可能的排列中，我們接受的是 A B 對賽的情況，總共有 4 類。

(A)(B)  (_)(_)

(B)(A)  (_)(_)

(_)(_)  (A)(B)

(_)(_)  (B)(A)

所以，分子先有一個（4）的因素。

  （4）
＿＿＿
（8P4）

另外，餘下有 6 個可能的參加者，兩個位置，所以共有 6P2 個可能的排列。所以，分子再有一個（6P2）。

（4）（6P2）
＿＿＿＿
  （8P4）

結論是， A 和 B 在準決賽相遇的機會是 1/14。

（4）（30）
＿＿＿＿
 （1680）

= 1/14

答案和 P 方法的結果相同，即是正確的機會很大。

— Me@2012.10.22

致讀者：如發現本文有思考漏洞，或者運算錯誤，請以電郵告知本人。謝謝！

— Me@2012.10.17

2012.10.22 Monday (c) All rights reserved by ACHK

淘汰賽 2.1

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這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

假設有一個乒乓球淘汰賽，共有八人參加。換句話說，有四場初賽，淘汰四個參賽者。餘下的四個進入準決賽。初賽時的比賽對象，由抽籤隨機決定，即是各個可能性的機會均等。

另外，每人在每場勝利的機會相同，都是二分之一。

問題是，其中兩個參賽者 A 和 B，在第二輪比賽，即是準決賽，相遇的機會率有多少？

             (_)  (_)                決賽   

     (_)  (_)        (_)  (_)       準決賽

(_)(_)  (_)(_)  (_)(_)  (_)(_)   初賽

第一對  第二對  第三對  第四對

P 方法：

在準決賽相遇的先決劇情是

1. A B 的初賽比賽位置，可以令他們晉級後相遇；

2. A B 在初賽各自勝利。

先考慮第一點，有關 A B 的初賽位置。我們假想先放 A、B 的其中一個，例如 A，在適當的位置。然後，再放 B 於適當的位置。

（＿）（＿）

只要把兩個機會率相乘，就代表 A 和 B 都在適當位置的機會。

首先，第一個人放在哪個位置都可以，所以第一個人的位置一定會適當，機會率是一（1）。亦即是話，對於第一個人來說，有 8 個可能的位置，而 8 個都可以接受，所以機會率是八分之八（8/8）。

（1）（＿）

然後，對於第二個人來說，有 7 個可能的位置，而只有 2 個可以接受。亦即是話，如果 A 已經選定比賽位置，而 B 又要和 A 於準決賽相遇的話， B 就只有兩個選擇。例如，如果 A 在第一對位置出現， B 就一定要在第二對位置參賽。所以， B 在適當位置的機會率是七分之二（2/7）。

（1）（2/7）

另外， A B 在初賽各自要勝利。所以，要乘多兩個二分之一。

（1）（2/7）（1/2）（1/2）

結論是， A 和 B 在準決賽相遇的機會是 1/14。

（1）（2/7）（1/2）（1/2）= （1/14）

S 方法：

…

— Me@2012.10.21

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— Me@2012.10.17

2012.10.21 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

淘汰賽 1.2

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這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

假設有一個乒乓球淘汰賽，共有八人參加。換句話說，有四場初賽，淘汰四個參賽者。餘下的四個進入準決賽。初賽時的比賽對象，由抽籤隨機決定，即是各個可能性的機會均等。問題是，其中兩個參賽者 A 和 B，在初賽相遇的機會率有多少？

P 方法：

…

S 方法：

初賽共有 8 格參賽位置，即是 4 對。

(_)(_)  (_)(_)  (_)(_)  (_)(_)

我們先考慮所有可能排列的總數，放於分母；然後，再考慮可以接受的排列有多少，放於分子。

（＿）
（   ）

總共有 8 個人 8 個位置，所以共有 8! 個可能的排列。

（＿）
（8!）

而我們想要的結果是， A、B 在初賽相遇。我們接受的可能性包括，

A、B 在第一對參賽位置、

(A)(B)  (_)(_)  (_)(_)  (_)(_)

A、B 在第二對參賽位置、

(_)(_)  (A)(B)  (_)(_)  (_)(_)

A、B 在第三對參賽位置、

(_)(_)  (_)(_)  (A)(B)  (_)(_)

或者 A、B 在第四對參賽位置。

(_)(_)  (_)(_)  (_)(_)  (A)(B)

所以，分子有一個（4）的因素。

（4）
＿＿
（8!）

然後，考慮到即使 A、B 的內部對調位置，結果都可以接受：

(B)(A)  (_)(_)  (_)(_)  (_)(_)

(_)(_)  (B)(A)  (_)(_)  (_)(_)

(_)(_)  (_)(_)  (B)(A)  (_)(_)

(_)(_)  (_)(_)  (_)(_)  (B)(A)

分子再有一個（2）。

（4）（2）
＿＿＿
  （8!）

餘下有 6 個位置給 6 個人選擇。所以，分子還有一個（6!）。

（4）（2）（6!）
＿＿＿＿＿
    （8!）

結論是， A 和 B 在初賽相遇的機會是 1/7。

（4）（2）（6!）
＿＿＿＿＿
    （8!）

= （1/7）

答案和 P 方法的結果相同，即是正確的機會很大。

— Me@2012.10.18

致讀者：如發現本文有思考漏洞，或者運算錯誤，請以電郵告知本人。謝謝！

— Me@2012.10.18

2012.10.19 Friday (c) All rights reserved by ACHK

淘汰賽 1.1

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這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

假設有一個乒乓球淘汰賽，共有八人參加。換句話說，有四場初賽，淘汰四個參賽者。餘下的四個進入準決賽。初賽時的比賽對象，由抽籤隨機決定，即是各個可能性的機會均等。問題是，其中兩個參賽者 A 和 B，在初賽相遇的機會率有多少？

P 方法：

初賽共有 8 格參賽位置，即是 4 對。

(_)(_)  (_)(_)  (_)(_)  (_)(_)

我們假想先放 A、B 的其中一個，例如 A，在適當的位置。然後，再放 B 於適當的位置。

（＿）（＿）

只要把兩個機會率相乘，就代表 A 和 B 都在適當位置的機會。

首先，第一個人放在哪個位置都可以，所以第一個人的位置一定會適當，機會率是一（1）。亦即是話，對於第一個人來說，有 8 個可能的位置，而 8 個都可以接受，所以機會率是八分之八（8/8）。

（1）（＿）

然後，對於第二個人來說，有 7 個可能的位置，而只有 1 個可以接受。亦即是話，如果 A 已經選定比賽位置，而 B 又要和 A 於初賽相遇的話， B 就只有一個選擇，所以 B 在適當位置的機會率是七分之一（1/7）。

（1）（1/7）

結論是， A 和 B 在初賽相遇的機會是 1/7。

（1）（1/7）= （1/7）

S 方法：

…

— Me@2012.10.17

致讀者：如發現本文有思考漏洞，或者運算錯誤，請以電郵告知本人。謝謝！

— Me@2012.10.17

2012.10.17 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

Independent vs Mutually Exclusive

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這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

大部分 probability（機會率）的初學者，都會混淆「independent events」（獨立事件）和「mutually exclusive events」（互斥事件）。只要記住以下兩個重點，就不會再混淆兩者。

第一個重點是，「兩件事」和「一件事」之別。「Independent」通常是指，兩件事件互不相干。「Mutually exclusive」通常是指，同一件事件的兩個可能結果，不會同時發生。例如，骰子甲和骰子乙是 independent 的話，即是甲乙的結果不會影響對方。而骰子甲不會在同一次，同時「擲到 2」和「擲到 3」。所以，「甲 2」和「甲 3」是 mutually exclusive 事件。

第二個重點是，「沒有關係」和「有關係」之別。「Independent」是指，兩個結果互不相干。「Mutually exclusive」是指，兩個結果十分相干；它們是敵人關係。

— Me@2012.10.13

2012.10.13 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

Now or Never

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活在當下

這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。

很多同學也有一種逃避的心態。在家裡溫習時，遇到不懂的東西，一點也不思考，而打算回校才問老師；回到學校時，遇到不懂的東西，一點也不發問，而打算回家才慢慢研究。「家中的自己」和「學校的自己」，不斷互相推卸責任，結果一事無成。

恰當的心態是，學習每一個課題時，凡事可以立刻明白的東西，就要做到立刻明白。你要假想，這是你在公開試之前，最後一次的機會，可以詳細地研習這一課。而你亦要知道，這個「假想」，並不真的是「假想」，而是「實情」。

公開試的課程十分緊迫，是一個「長江後浪推前浪」的結構。一課完成後，就會馬上開始下一課，而且一課比一課艱深，並不會有大量時間給你回頭。如果你的智力高到，可以回頭把之前的課題，百分百重新學習一次的話，你當初就不會落後。

留意，有些東西，是不可以立刻明白的。正確的應對是，你先把那些問題，放於你的「魔法筆記」中，容後再發問或者研究；而不是奢望，之後會有時間，把該課的所有東西，重新研習一次。

— Me@2012.10.08

2012.10.08 Monday (c) All rights reserved by ACHK

考試美術 1.2

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這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。

正確的方法是，你先把整幅畫（人、樹、屋）的大致輪廓，先畫出來。因為你只是令「人、樹、屋」成形，所花的的時間一定不多。接著，你才為整幅畫，畫第一重的細節。之後，還有時間剩餘的話，你就加上第二重的細節。下一步，再有時間的話，你再增添第三重的細節，如此類推。

這個策略的好處是，無論考官在什麼時刻宣佈停筆，你都可以宣稱，你的畫作經已經完成。你不可能不合格。

— Me@2012.09.26

2012.09.26 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

考試美術 1.1

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這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。

當年我報考中學會考的美術科。該科有兩份卷。第一份是素描；第二份我選修了設計。每份卷的考試時間長度，都是三個小時。

美術老師教了我，一個至關重要的考試技巧。在一份卷的三個小時內，千萬不要力臻完美，十分詳細地畫任何一部分；因為，那樣會令你沒有足夠時間，去畫作品中的其他部分，而導致該卷不合格。

例如，試題的要求是，畫一個人、一棵樹 和 一間屋。如果你打算集中火力，先「完成」那間屋，才開始描繪其他的話，計劃就一定行不通。任何一部分，你都可以不斷迫近完美，無限詳細地畫下去，並沒有所謂「客觀的完成」。所以，「打算先『完成』那間屋」的真正意思是，你不企圖畫其他。

典型的劇情是，你花了頭兩個小時，都仍然在畫那間屋，不肯放手。結果，拖到二小時三十分，才開始用餘下的半小時，將「人」和「樹」草草了事。到頭來，三樣東西中，你只畫了一樣，是似模似樣的。你根本沒有完成試題的基本要求，成績自然是不合格，

— Me@2012.09.23

2012.09.23 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

背公式

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這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。

背誦公式時，不能單靠直接的背誦。你還要透過做大量的題目練習，才能有長久的記憶，因為題目有上文下理，你會知道什麼時候，應該用什麼公式。只是憑空背誦公式，是沒有用的。

— Me@2012.09.18

2012.09.18 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

diff 5

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這段改編自 2010 年 3 月 27 日的對話。

有一種電腦程式，叫做「diff」（差分），作用是比較兩個檔案，顯示它們的差別。例如，《維基百科》的文章不斷被人修改更新。如果你想知道《香港》條目，昨天和今天的版本有何不同，你只要「diff」了兩個版本就可以。亦即是話，「diff」程式會自動顯示兩個版本的差別，而毋須靠你自己「徒手」比較。

「diff」這個動詞概念，即使是對日常生活，也十分有用。例如，去年我和我物理碩士班的一位同學說：「我現在聽課時，再不會把教授講的所有東西，都記錄下來。無論是在心中還是紙上，做筆記時，我只會留意，我已知的和教授講的，有什麼差別。」換句話說，我 diff 了「自己所知」和「教授所講」。一方面，那節省了我大量心神時間。另一方面，那有助我把握重點，加強記憶。

— Me@2012.09.14

2012.09.14 Friday (c) All rights reserved by ACHK

無限年

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蘋果 與 Apple, 1.2 | Electric Field and Electric Potential, 1.2 | 物理語言 1.2

這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。

你在讀數學和物理時遇到的困難，有時，其實不是「數學問題」或者「物理問題」，而是「語言問題」。

例如，如果我不跟你說，「electric field」（電場）和「electric potential」（電勢），其實是描述同一類物理現象的兩種不同語言，你可能一直會以為，它們是兩種不同的東西，繼而反覆思考它們的關係，庸人自擾一番。

所以，下次在 數學、物理 或 其他科 遇到疑惑時，你要知道，那很大機會是「語言問題」。只要把相關問題的重要字眼釐清，難題的神秘感往往會自然消失。

又例如，讀「微積分」時，「無限」好像十分驚嚇。其實，並不是真的有一樣東西，或者一個數字，叫做「無限」。它只是一個語言的技巧，說話的方法。每逢我們說「無限」時，即是沒有那樣東西。

例如，甲問乙：「你欠我的錢，什麼時候會歸還呢？」

乙答：「無限年之後。」

乙的意思，並不是真的有一個時間長度，叫做「無限年」。他等「無限年」之後，會把錢還給甲。乙的真正意思是，他不肯還錢。

再例如，「無人跑得快過我」，並不是指有一個人名叫「無人」，他跑得快過我。「無人」只是一種說話的方法。「無人跑得快過我」的真正意思是，「我是所有人之中，跑得最快的。」

— Me@2012.09.10

2012.09.10 Monday (c) All rights reserved by ACHK

蘋果 與 Apple, 2.3

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Electric Field and Electric Potential, 2.3 | 物理語言 2.3

這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。

但是，表示 electric field（電場）時，如果真的在空間上的每一點，也畫一支箭的話，會十分麻煩。而且，那些箭會互相重疊，令你看不清楚每一支箭的長度。不知道箭的長度，就即是不知道空間上每一點，對應的 electric field 強度。

所以，物理學家把原本「箭的長度，代表乙所感受到的力的大小；箭的方向，代表力的方向」的計劃，修改了一點。現在，所有箭也是無限長，稱為 electric field lines 電力場線，或者「電力線」。箭的方向，仍然代表電荷乙所感受到的力的方向。而力的大小，則改為以 electric field lines 的密度來代表。

This file is made available under the Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication.

— Me@2012.09.07

2012.09.07 Friday (c) All rights reserved by ACHK

蘋果 與 Apple, 2.2

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Electric Field and Electric Potential, 2.2 | 物理語言 2.2

這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。

空間上，每一點有一個數字，就為之有一個「field」。例如，這兒的空間有溫度。這一點是 26 度、那一點是 27 度、另一點是 26.5 度 等等。你發覺在這兒空間上的每一點，都可以標籤一個數字，用來代表溫度。所以我們說，這裡有一個 temperature field（溫度場）。　

溫度是 scalar（純量）還是 vector（向量）？

溫度是 scalar。溫度只是用數字來代表，沒有所謂方向。所以，我們亦可以說，這裡有一個 temperature scalar field。

如果我們放一粒 electric charge（電荷）在這兒，為什麼我們會說，它的周圍會形成一個 electric field（電場）呢？

假設原本的 electric charge 叫做「甲」。如果我們放另一粒 electric charge（電荷乙）在甲附近的任何一點，乙都會感受到一個 force（力）。（至於是吸力或斥力，則要視乎甲乙是同性還是異性。）在這一點，乙會感受到 26N 的力；在那一點，則感受到 27N；另一點是 26.5N 等等。你發覺在甲附近空間上的每一點，都可以標籤一個數字，用來代表力的強度。所以我們說，這裡有一個 force field（力場）。　

由於這個 force field 是由 electric charge 引起的，所以這個 field 又稱為 electric force field（電力場）。另外，要表示 force（力），單單用數字是不足夠的，因為力除了有大小外，還有方向。所以，「force field」的意思，不單是指空間上的每一點有一個數字，而且指每一點有一支箭。箭的長度，代表乙所感受到的力的大小；箭的方向，代表力的方向。換句話說，力是 vector（向量）。所以我們說，電荷甲的周圍，有一個 electric force vector field（電力向量場），簡稱 electric field（電場）。

This file is made available under the Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication.

— Me@2012.09.04

2012.09.04 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

蘋果 與 Apple, 2.1

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Electric Field and Electric Potential, 2.1

這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。

「Field」（場）貌似是一個抽象的概念。實質可以很簡單容易。究竟什麼是「field」（場）呢？

空間上，每一點有一個數字，就為之有一個「field」。例如，這兒的空間有溫度。這一點是 26 度、那一點是 27 度、另一點是 26.5 度 等等。你發覺在這兒空間上的每一點，都可以標籤一個數字，用來代表溫度。所以我們說，這裡有一個 temperature field（溫度場）。　

— Me@2012.09.01

2012.09.01 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

蘋果 與 Apple

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Electric Field and Electric Potential

這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。

千萬不要以為，「electric field」（電場）和「electric potential」（電勢）是兩種不同的東西。實情是，它們只不過是，描述同一類物理現象的兩種不同的語言。換言話說，同一個電學現象，你既可以用「electric field」來解釋，亦可以用「electric potential」來說明。

例如，有一對金屬板，左邊帶正電，右邊帶負電。如果放一粒正電荷於兩者之間，該正電荷會向右走。

This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

這個現象，一方面，你可以用「electric field」來解釋：因為 electric field lines（電力線）向右指，而正電荷的天性是，跟著電力線的方向走，所以該正電荷會向右走。

另一方面，你亦可以用「electric potential」來解釋：因為左邊的 electric potential 高於右邊，而正電荷的天性是，由高 potential 的地方，流向低 potential，所以該正電荷會向右走。

記住，「electric field」（電場）和「electric potential」（電勢）不是兩種東西，而是同一種東西的兩種語言。就正如「蘋果」和「apple」，它們是同一種東西的兩種語言。至於用哪一種語言，則要視乎情況而定，哪一種比較方便就用哪一個。例如，見到中國人時，就用「蘋果」；見到英國人時，則用「apple」。

— Me@2012.08.30

2012.08.30 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

Normal Reaction

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法向力

這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。

為什麼會有 normal reaction（法向力）？

物質由粒子組成。那些粒子無論是原子還是分子，粒子表面都是佈滿電子。電子帶負電。兩件物件接觸（甚至相撞）時，會排斥對方，是因為他們表面的電子，負負相斥。

Normal reaction 歸根究底，來自電力（electric force）。

— Me@2012.08.24

2012.08.24 Friday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 1.2

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背誦製成品 9

這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。

你試想想，傳說中的「微積分」，運算的過程中，其實是在做什麼？

其實，「運算」時，你只是在憶述之前背誦了「微積分」公式，而不是真的什麼「運算」或者「思考」。

當然「微分」有「機械程序」可以跟，意思是，去到任何一步，你都會很明顯知道，接著應該要用哪一道公式；而「積分」則沒有，所以「積分」會困難一點，會有更強貌似「運算」的感覺。但是，那強烈一點的「運算」感覺，其實都是來自，腦中搜索公式的過程，只是搜索的範圍大一些罷了。做「積分」時，你需要回憶和下載一生（甚至乎前生）以來，所學過的「積分」公式和技巧。

如果暫時回憶失敗，找不到所需的公式的話，你就應該暫時中止該題，改為先做其他題目。有時間剩下時，才回去「重新搜索」。

— Me@2012.08.18

2012.08.18 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

巴士原理

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背誦製成品 8

這段改編自 2010 年 6 月 3 日的對話。

除非考試課程範圍有要求，否則，有很多公式或者現成的方法，你可以立刻使用，而毋須百分百追求它們的來源出處。千萬不要有一個心態：我要百分百明白一樣東西，才肯使用它。有著這個心態的話，莫講話讀書考試，就連日常生活，你也會過不到，例如：

甲：你不是趕時間的嗎？為什麼不肯上那輛巴士（公共汽車）？

乙：因為我想來想不通，那輛巴士運作原理。為什麼它可以高速行走的呢？

甲：……

這個雖然是一個荒誕笑話。但是，有很多年青人，正正是抱著這個荒誕的心態去讀書。我年青時都是那樣，節外生枝後再節外生枝，導致浪費了極多的讀書時間。

留意，我並不是叫你在讀書時，每每不求甚解。我的意思是，「百分百明白」並不是合理的期望，因為你沒有無限的時間。學習任何一樣東西時，明白到一定的程度後，你就要立刻練習使用，而不應節外生枝。

至於要明白到什麼程度，則要視乎上文下理。例如，如果你是巴士乘客，你只要明白如何付款、在那個站上車 和 在那個站下車。即使你是巴士司機，你亦毋須明白太多巴士的機械原理。你只要明白如何安全地駕駛那輛巴士就可以。如果你是修理巴士的師傅，你就真的要明白，為何巴士可以行走。

— Me@2012.08.09

2012.08.09 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

讀書技巧

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這段改編自 2010 年 6 月 2 日的對話。

讀書技巧不應一次過學太多，因為學了一個讀書技巧以後，你要嘗試學以致用，從而把它修改到最適合自己的版本。

一次過學太多的話，你就會來不及測試運用。讀書技巧如果不能充分利用，學來也沒有意思。

— Me@2012.07.03

2012.07.03 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

反破壞教育

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這段改編自 2010 年 6 月 2 日的對話。

我教你們的讀書或處世技巧，不要隨便跟人講。

對方是好人，你才教給他。對方是壞人，就千萬不要教，因為提升壞人的社會地位，等於破壞社會。

— Me@2012.07.01

2012.07.01 Sunday (c) All rights reserved by ACHK