這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果，你要選 3 個出來，總共有多少個選法？

…

（A：我大概明白你的解釋。但是，情感上，我仍然接受不到，「7 選 3」和「7 選完 2 後再選 1」，的確有所不同。）

如果你堅持要把「7 選 3」，看成「7 選完 2 後再選 1」，而又要得到正確答案的話，你可以用 nPr 的方法。

「nPr」即是「n 排 r」—— 如果有 n 個物件，選 r 出來排隊，總共有多少個排列方法？

例如，由 7 個蘋果之中，選 3 個蘋果出來，總共就有 7P3，即是 210 個排法。

但是，題目要的是「組合」，不是「排列」。亦即是話，題目只重視，如果 7 個蘋果之中購買 3 個，有多少個選擇方法，而購買的次序並不重要。

換句話說，被選的 3 個蘋果的內部次序，不予考慮。所以，你應該把 7P3 除以(3!)，才可以把「排列」翻譯成「組合」，得到正確的答案：

7P3/(3!)

= 210/6

= 35

這個答案，和 7C3 的結果相同。

你剛才說，你很想把「7 選 3」，看成「7 選完 2 後再選 1」。你可以這樣做：

首先，由 7 個蘋果之中，選兩個出來排隊。

7P2

然後，再由餘下的 5 個蘋果之中，選 1 個出來排隊。

(7P2)(5P1)

最後，就把次序因素刪除。

(7P2)(5P1)/(3!)

= 35

你都會得到 35。

總括而言，「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的，等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105，不是正確的。

（A: 為何把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以，而把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」就錯誤？）

如果要變成正確，你就要把「7C2 x 5C1」除以 3。「7C2 x 5C1/3」都會等如 35。為何要把「7C2 x 5C1」除以 3，才會得到正確答案呢？

亦即是話，在這裡，「除以 3」的實際意思，又是什麼呢？

— Me@2014.04.05

2014.04.06 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

乘法意思 6

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果，你要選 3 個出來，總共有多少個選法？

答案是 7C3（「7 選 3」），即是總共有，35 個可能的組合。

（A：那我可不可以把題目看成，分兩次抽 3 個蘋果出來？

首先，我由那 7 個蘋果中，抽兩個出來，即是 7C2。然後，我由餘下的 5 個蘋果中，再抽 1 個出來，即是 5C1。所以，答案應該可以寫成「7C2 乘以 5C1」。

但是，「7C2 x 5C1」卻是 105，不是 35 。錯在那裡呢？）

「7C3」和「7C2 x 5C1」，所表達的情況不同。

「7C3」是指由 7 個蘋果之中，任意選 3 個出來，總共有多少個可能。

而「7C2 x 5C1」則是指，由一箱 7 個蘋果之中，任意選 2 個出來；然後，再由另一箱 5 個蘋果之中，抽一個出來，即是 5C1，總共有多少抽法。

留意，「7C2 x 5C1」根本不是你所指，代表「首先由 7 個蘋果中，抽兩個出來；然後，再由同一箱餘下的 5 個蘋果中，抽 1 個出來」。

（A：但是我仍然不太明白，「7 選 3」和「7 選完 2 後再選 1」，為何有所不同。）

互相獨立的因素，才會用乘法。你記不記得，在學習「機會率」時，學過這一點？

其實，歸根究底，「互相獨立的因素，如果一併考慮，總共有多少個組合」，就是乘法的根本意思，即是定義。

例如，一個長方形的長度增減，並不會影響闊度的大小，反之亦然。所以，長方形面積等於「長乘闊」的其中一個原因是，長和闊，是互相獨立的因素。

如果你把「7C2 x 5C1」看成，「由第一箱 7 個蘋果之中，任意選兩個出來；然後，再由另外箱 5 個蘋果中，抽 1 個出來，即是 5C1，總共有多少個抽法」，那就正確，因為，你由第一箱 7 個蘋果之中，抽了哪兩個出來，並不會影響到，你由第二箱 5 個蘋果之中，抽了 1 個出來時，會抽到哪 1 個。

但是，如果你把「7C2 x 5C1」看成，「由 7 個蘋果中，抽兩個出來；然後，再由同一箱餘下的 5 個蘋果中，抽一個出來」，那就不正確，因為，這兩個步驟，並不是互相獨立。第一個步驟結果，會影響到第二個步驟的結果。

你在「由 7 個蘋果中，抽兩個出來」時，抽了哪兩個，會影響到那箱中，將會餘下哪 5 個蘋果，給你第二個步驟去選。

— Me@2014.04.01

2014.04.01 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK