Daily Archives: September 9, 2022

排列組合 1.2

Posted on by

nCr, 0.2

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

.

1.4.2 另外一種設計定義的想法是，由 \displaystyle{n!} 的算式取靈感。

既然 \displaystyle{n} 是多少，\displaystyle{n!} 就有多少項相乘，那樣，零的階乘，\displaystyle{0!}，理應只有零項相乘，\displaystyle{~a^0~}。

\displaystyle{0! = a^0}

.

但是，「零項相乘」的數值，又應該是什麼呢？

「零項相乘」即是「乘了等如沒有乘」，所以是一，因為任何數乘了一，效果都等於沒有乘；所以，

\displaystyle{a^0 = 1}

\displaystyle{0! = 1}

.

「零項相乘」的正式學名是，「空積」或「零項積」。

.

1.4.3 如果要詳細一點，去理解「空積」的話，可以先嘗試了解「次方」的意思。

首先，\displaystyle{a} 五次方的意思，就是有五個 \displaystyle{a} 相乘。

\displaystyle{a^5 = aaaaa}

.

如果在其之後，再乘 \displaystyle{a^3} 的話，就即是再乘多三個 \displaystyle{a}。

\displaystyle{a^5 a^3 = (aaaaa)(aaa)}

.

所以，

\displaystyle{a^5 a^3 = a^{5+3}}

.

既然，在其之後乘以 \displaystyle{a} 的正三次方，就是乘多三個 \displaystyle{a}。

那樣，在其之後乘以 \displaystyle{a} 的負三次方，就可以理解成乘少三個 \displaystyle{a}，即是：

.

你想想，自出生以來，你學過什麼操作，會有刪除因子的效果呢？

就是分母：

\displaystyle{a^5 a^{-3} = \frac{aaaaa}{aaa}}

.

所以，所謂「負三次方」的運算的方法，就是把那三次方，放於分母之中。

\displaystyle{a^{-3} = \frac{1}{a^3}}

.

然後，我們可以再研究，一個抽象一點的問題：

\displaystyle{a} 的半次方，又會是什麼呢？

.

我們可以這樣想，如果 \displaystyle{a^{1/2}} 存在的話，它必須達到什麼效果呢？

.

如果暫時想不到的話，可以改為思考：「\displaystyle{a} 的五次方，乘了半次 \displaystyle{a}，再乘半次 \displaystyle{a}」 的話，即是總共乘多了，多少個 \displaystyle{a} 呢？

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=?

.

那很明顯是，總共乘多了一次 \displaystyle{a}。

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=a^5 a^1

.

所以，

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=a^6

.

亦即是話，

\displaystyle{a^{1/2} a^{1/2}}=a^1

.

究竟這個所謂的「半次 \displaystyle{a}」存不存在呢？

可以這個想，你自出生以來，有沒有學過什麼數字符號，自乘後會等如一次 \displaystyle{a} 呢？

有，那就是 \displaystyle{a} 的平方根。

\displaystyle{\sqrt{a} \sqrt{a}}=a^1

.

所以，所謂的「半次 \displaystyle{a}」，其實就是，平方根 \displaystyle{a}。

\displaystyle{a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}}

.

言歸正傳，我們再來研究，所謂的「\displaystyle{a} 零次方」，其實是什麼？

顧名思義，即是乘 \displaystyle{a} 的次數為零，不要乘也。

再想想：

\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a} 的正三次，就是乘多三個 \displaystyle{a}；所以，結果就是 \displaystyle{a} 的八次方。

\displaystyle{a^5 a^3 = (aaaaa)(aaa) = a^8}

同理，\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a} 的負三次，就是乘少三個 \displaystyle{a}；所以，結果就是 \displaystyle{a} 的二次方。

\displaystyle{a^5 a^{-3} = a^2}

.

那樣，\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a} 的零次，理應就是「不乘多亦不乘少」，維持原來的 \displaystyle{a} 五次。

\displaystyle{a^5 a^{0} = aaaaa = a^5}

.

換句話說，「乘以 \displaystyle{a} 零次」的效果，就是「乘了等如沒乘」。

你想想，自出生以來，有沒有學過什麼數字符號，會有「乘了等如沒乘」的效果呢？

— Me@2022.09.07 08:09:14 PM

.

.

2022.09.10 Saturday (c) All rights reserved by ACHK