Author Archives: rpflee

唔識就飛 4

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數學品德 4

Pure Maths 14

這段改篇自 2010 年 2 月 7 日的對話。

那就是我提議「唔識就飛」的原因。你想不通的話，就應該立刻停止原本的題目，去做下一題（或者是同一題的另一部分）。 當你完成了所有懂做的題目後，回頭再想原本想不通的題目時，想得通的機會就會大很多。為什麼呢？因為你已經忘記了先前錯誤的想法，所以它們不會再阻礙你「重新由迷宮的入口再開始過」。你真正重新由零開始再想過時，你就有新的想法，所以，你想通題目的機會就會大很多。

這一點很重要。你慢慢就會發現時常有這個現象。

（LWT：其實，我也察覺到有這個現象。）

所以，你更加要堅決執行「唔識就飛」的政策，在平日的溫習中，把它訓練成習慣。當你每日的溫習也用「考試模式」的話，你就不會一道數學題目，想足（例如）三小時，因為考試時，一題長題目，最多只有半小時去完成；而一題短題目，最多只有十多分鐘。

即使是做功課，也應該「唔識就飛」，先做其他題目。而你「唔識就飛」的話，那些時間就自然「保存」了下來。例如，你原本打算用半小時來做某題長題目。你想了 5 分鐘也沒有頭緒。你「唔識就飛」的話，你就「保存」了該題餘下的 25 分鐘。待一會兒你完成了其他題目以後，你才「取回」那 25 分鐘，再去想該道題目，想通的機會就會大一點。即使到最後你也是想不通，起碼，你沒有白白犧牲了那（原本用來做其他題目的）三小時。

（LWT：但是，一路不斷「唔識就飛」的話，會不會導致我「飛」掉了整份考試的題目？）

你即是話整份試卷都不懂做。如果有個人完全不懂 Pure Maths（純數學）的話，總會有這個情形。但是，以上「唔識就飛」的方法，是針對你來說，而不是針對那些「完全不懂 Pure Maths」的人來說。你並不是「完全不懂 Pure Maths」的人，所以不用擔心。

— Me@2010.05.12

2010.05.13 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

Bad teacher

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Bad teacher: Say what he wants to say, not what the students want to hear.

Bad teacher: Say what the students want to hear.

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Good teacher: Say what the students need to know, not what the students want to hear.

— Me@2010.03.30

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2010.05.12 Wednesday copyright ACHK

知識完備集合 2

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對於三次元空間來說，｛i, j, k｝這三支 independent vectors（互相獨立向量）組成了一個 complete set（完備集合）。「完備」的意思是只要有集合內的 vectors（i, j, k），就可以表達空間上任何一點的 position vectors（位置向量）。

但是有一點需要留意。雖然你有能力表達所有點，但是由於時間關係，最終你只會表達某些點，而不表達另外一些點。你最終不會真的表達所有點，只是因為時間問題，而不是因為你的能力問題。明不明白？

（安：我不是太明白你的意思。）

You can represent any point, but not every point. 你可以表達任何點，但不可以表達所有點，因為你的時間有限。正如去吃自助餐一樣，雖然你可以去拿任何東西吃，但是由於時間有限，你不可能把所有東西也拿去吃。

（安：明白。）

比喻說，假設「知識領域」是一個 64 次元空間（64 dimensional space）。換言之，只要收集齊 64 支 independent vectors 的話，我就可以表達那個 64 次元「知識領域空間」中的任何一點。如果我只收集了 63 支 independent vectors 的話，有些點我就不能表達。但是大部分的點，我仍然可以表達。起碼，我所能表達的，遠多於那些只收集了（例如）48 支 independent vectors 的人。

這就解釋到為什麼「無論你給我什麼題目，大部分情況下，我也可以 generate（製作）出很多有趣的內容。」我懂「話題魔法」的原因是，我所收集的 independent vectors 足夠多。

— Me@2010.05.11

2010.05.11 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

迷宮 2

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唔識就飛 3

數學品德 3

Pure Maths 13

這段改篇自 2010 年 2 月 7 日的對話。

（LWT：那我如果做不到呢？）

不會做不到的。做不到的話，都要做到。當一個人的生命受到威脅時，他什麼事情都會做到。即是話，你不訓練到自己「唔識就飛」（想不通就立刻停止原本的題目，去做下一題）的話，你就拿不到好成績，入不到大學。這樣，你的「大學生命」就受到威脅。所以，即使你宣稱「做不到」，也要做到。

還有，你要知多一樣資料，就是「當一題數你想不到時，你再想也會想不到。」當你在合理時間內（例如三分鐘），想不通一道數學題目的話，即使你堅持想下去，再用多十倍時間去想，你通常也會仍然想不通的。為什麼呢？

（LWT：你只是不斷重複你剛剛想過的東西。）

非常好。你答得非常好。用走迷宮來比喻的話，你想不通一道數學題目，是因為走迷宮時，你在其中一處路口，選錯了分叉路。選錯了分叉路以後，你無論多努力，也不能走出迷宮。

（LWT：所以要由頭由第一步開始再想過？）

不是。你這個講法不是完全正確。

走迷宮時，選錯了分叉路的話，再多努力去想，也沒有用。那有什麼方法，令到你有機會走出迷宮呢？就是你不要繼續再走當時的迷宮分支。反而，你應該重新由迷宮的入口再開始過，期望在新的一次嘗試中，不會再選錯分叉路。

但是，如果你嘗試對原本的題目，立刻重新由第一步開始想的話，通常都會失敗，因為錯誤的想法，仍然在腦海中揮之不去。即是話，雖然你以為自己重新由迷宮的入口再開始過，但是實情是，你仍然停留在錯誤的迷宮分支中。

那就是我提議「唔識就飛」的原因。你想不通的話，就應該立刻停止原本的題目，去做下一題（或者是同一題的另一部分）。 當你完成了所有懂做的題目後，回頭再想原本想不通的題目時，想得通的機會就會大很多。為什麼呢？因為你已經忘記了先前錯誤的想法，所以它們不會再阻礙你「重新由迷宮的入口再開始過」。你真正重新由零開始再想過時，你就有新的想法，所以，你想通題目的機會就會大很多。

— Me@2010.05.10

2010.05.10 Monday (c) All rights reserved by ACHK

離婚 3

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知道如何面對死亡，才能知道如何，生存得有意義。

知道如何面對離婚，才能知道如何，維持圓滿的婚姻。

— Me@2010.04.09

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2010.05.10 Monday \copyright ACHK

知識完備集合

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（安：原初我們是講有關「level」（境界）的問題。你用了「搞 gag」（弄笑話）來比喻。結果，這個「搞 gag」比喻發展出很多內容，可以獨立成篇。）

我就發覺我有這個能力：無論你給我什麼題目，大部分情況下，我也可以 generate（製作）出很多有趣的內容。我把這個能力叫做「話題魔法」。

而且，我還知道我懂「話題魔法」的原因。我把那些原因叫做「話題魔法理論」。

（安：那這個理論可以公開嗎？還是好像魔術師一樣，要遵守「魔法守則」，不可以公開魔術竅門？）

可以公開，不難解釋。我這個理論的靈感來自數學和物理。所以說，「讀得書多」是有用的。「讀得書多」令你多了很多神奇科幻的「思考工具」，去掌握日常生活的問題。

以下是「話題魔法理論」：

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以下是數學內容，沒有高等數學背景的朋友，可以把這部分略過：

每個「向量空間」都有很多 position vectors（位置向量）。但是，independent vectors（互相獨立的向量）其實很少。

例如，一個三次元空間有很多點（point），而每一點都可以用一支 position vector 來代表。所以，一個三次元空間有很多支 position vectors。但是，對於那個三次元空間來說，最多只能有三支 independent vectors。

所以，要表達那個三次元空間的任何點的話，我沒有必要事先收集所有點的 position vectors。我需要的，只是三支 independent vectors，因為有三支 independent vectors (i, j, k) 的話，我就可以把任何 vector a 表達成 i, j, k 的線性組合（linear combination）：

a = a_x i + a_y j + a_z k = (a_x, a_y, a_z)

Wikipedia image, licensed under
the Creative Commons Attribution-Share Alike 2.5 Generic license

如果你只收集了兩支 independent vectors 的話，那就真是很抱歉，因為你不能表達三次元空間上所有點的 position vectors。例如，如果你只收集了 i, j 而沒有 k 的話，你只可以表達 x-y 平面上的點。那個平面以外的點，你通通不能表達。

對於三次元空間來說，｛i, j, k｝這三支 independent vectors 組成了一個 complete set（完備集合）。「完備」的意思是，只要有集合內的 vectors（i, j, k），就可以表達空間上任何一點的 position vectors。

— Me@2010.05.08

2010.05.09 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

Functional derivative

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Sometimes physicists write the definition in terms of a limit and the Dirac delta function, :

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Relationship between the mathematical and physical definitions

The mathematicians’ definition and the physicists’ definition of the functional derivative differ only in the physical interpretation. Since the mathematical definition is based on a relationship that holds for all test functions f, it should also hold when f is chosen to be a specific function. The only handwaving difficulty is that specific function was chosen to be a delta function — which is not a valid test function.

In the mathematical definition, the functional derivative describes how the entire functional, , changes as a result of a small change in the function . Observe that the particular form of the change in is not specified. The physics definition, by contrast, employs a particular form of the perturbation — namely, the delta function — and the ‘meaning’ is that we are varying only about some neighborhood of y. Outside of this neighborhood, there is no variation in .

— Wikipedia on Functional derivative

2010.05.08 Saturday ACHK

Time wasted

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真相客觀程式 2

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The longer I live the more I see that I am never wrong about anything, and that all the pains that I have so humbly taken to verify my notions have only wasted my time.

— George Bernard Shaw

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2010.05.08 Saturday ACHK

Transcend time

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Another advantage of telling the truth is that you don’t have to remember what you’ve said. You don’t have to keep any state in your head. It’s a purely functional business strategy. (Hackers will get what I mean.)

— Paul Graham

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I always tell people that sometimes I may not tell what is on my mind, that as long as I speak out what is on my mind, the words are true.

— Wen Jiabao

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I always mean what I say but I don’t always say what I mean.

— Anonymous

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I do always mean what I say but not always say what I mean.

— Me@2010.05.07

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Be honest so that you can “transcend” time.

— Me@2010.04.13

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2010.05.07 Friday ACHK

唔識就飛 2

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數學品德 2

Pure Maths 12

這段改篇自 2010 年 2 月 7 日的對話。

即使你明白，那仍是要花很長時間練習的：練習「不要堅持去想那些想不通的題目」 和 練習「不要理會隨之而來的不舒服感覺」。

其中一種練習的方法是，你每次做 Pure Maths（純數學）的功課時，也把那份功課當作是考試。每次溫習時，也將自己的心理狀態化成考試模式。考試的特性是，遇到不懂的題目，而又毫無頭緒時，就千萬不要繼續想。反而，你應該立刻跳去下一題。

（LWT：考試有時都會有「堅持繼續想」的情況 …）

正正是因為考試時，時常有這一個壞習慣，你更加要在平日溫習時，練習如何防範它。當你每日都在考試模式時，就會每日都遇到這個問題。

（LWT：那就可以訓練到自己不理自己的感受？）

當你每日都遇到「有題目想不通」的情況時，你就會習慣了「唔識就飛」（想不通就立刻停止原本的題目，去做下一題），無論你的感受有多麼不舒服。

（LWT：那我如果做不到呢？）

不會做不到的。做不到的話，都要做到。當一個人的生命受到威脅時，他什麼事情都會做到。即是話，你不訓練到自己「唔識就飛」的話，你就拿不到好成績，入不到大學。這樣，你的「大學生命」就受到威脅。所以，即使你宣稱「做不到」，也要做到。

— Me@2010.05.06

2010.05.06 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

M-theory 2

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Last step

This last step is best explained first in a certain limit. In order to describe our world, strings must be extremely tiny objects. So when one studies string theory at low energies, it becomes difficult to see that strings are extended objects — they become effectively zero-dimensional (pointlike). Consequently, the quantum theory describing the low energy limit is a theory that describes the dynamics of these points moving in spacetime, rather than strings. Such theories are called quantum field theories.

However, since string theory also describes gravitational interactions, one expects the low-energy theory to describe particles moving in gravitational backgrounds. Finally, since superstring string theories are supersymmetric, one expects to see supersymmetry appearing in the low-energy approximation. These three facts imply that the low-energy approximation to a superstring theory is a supergravity theory.

— Wikipedia on M-theory

2010.05.06 Thursday ACHK