Monty Hall problem 1.5.2

Posted on November 29, 2012 by rpflee

機會率哲學 4.1.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

這個講法的好處是，既容易理解，又剛巧可以得出正確答案。可惜，這個講法的推論過程是錯的，即是詭辯。

推論過程的錯處在於，它忽略了剛才所講，機會率的數值，除了描述客觀的物理系統外，還會反映觀察者的主觀知識狀態。當主持人做了一些動作，而導致遊戲參加者知多了一些資料時，各道門的中獎機會自然有變。例如，假設參賽者的原本選擇是第一道門。當主持人打開第三道門，令到參賽者知道「門後是山羊」時，相對於參賽者來說，第三道門的中獎機會，就立刻變成了零。

同理，當主持人打開第三道門，令到參賽者知道「門後是山羊」時，相對於參賽者來說，另外兩道門的中獎機會，一般而言，都立刻有變。至於會變成什麼新的數值，則要重新運算。

剛才「淺白解釋」的其中一句是：「那樣，在主持人打開另外的其中一道門後，如果你維持原本的選擇，你中獎的機會就仍然只有三分之一。」這一句雖然答案正確，但是跳過了中間幾個必須的運算步驟，所以十分誤導。那個「仍然」，並不是必然的。

第一道門的中獎機會率剛巧不變，並不是必然的，而是有其他特定的原因。換句話說，我們不可以在沒有任何理據的情況下，貿貿然假設，在主持人開了一道門之後，原本選擇的中獎機會率，和之前一樣。同理，我亦不可以妄自宣稱，第三道門一打開了，第二道門就會自動繼承了它的中獎機會，除非有正確的運算支持。

而正確的運算是，使用「條件機率」（conditional probability）。「條件機率」的圖像版，叫做「樹形圖」（tree diagram）。

Tree showing the probability of every possible outcome if the player initially picks Door 1

— Wikipedia on Monty Hall problem

（安：但是，這個樹形圖，好像都是不太容易明白。可不可以再解釋一下？）

— Me@2012.11.28

Monty Hall problem 1.5.1

Posted on November 27, 2012 by rpflee

機會率哲學 4.1.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

「蒙提霍爾問題」（Monty Hall problem）有一個比較平易近人的解答。

This is a public domain image.

Player’s pick has a 1/3 chance

while the other two doors have 1/3 chance each, for a combined 2/3 chance.

— Wikipedia on Monty Hall problem

This is a public domain image.

With the usual assumptions player’s pick remains a 1/3 chance,

while the other two doors have a combined 2/3 chance:

2/3 for the still unopened one and 0 for the one the host opened.

— Wikipedia on Monty Hall problem

「蒙提霍爾問題」假設了，在遊戲開始時，三扇門「門後有房車」的機會均等。所以，你選定了一道門後，你中獎的機會就是三分之一，而其他門中獎機會率的總和，有三分之二。那樣，在主持人打開另外的其中一道門後，如果你維持原本的選擇，你中獎的機會就仍然只有三分之一。主持人打開了一道沒有車的門，而又容許你改變選擇，就相當於給予你，一次過選擇其他全部門的機會。因此，如果你肯改變選擇，你中獎的機會率，就會由三分之一，躍升至三分二。

如果你仍然不相信，你可以先假想這個遊戲的一個極端版本。假設這個「開門抽獎遊戲」改為有一千道門。其中只有一扇門的後面，有名貴房車。其餘的門後面，都是山羊。跟原本的版本一樣，在遊戲開始時，所有門的中獎機會均等。換句話說，無論那位參賽者選擇哪一扇門，中獎的機會，同是千分之一。

參賽者選了一道門後，主持人就會打開其餘 999 道門中的其中 998 道。那 998 扇門的後面，都各自有一隻山羊。然後，主持人又會問你，要不要更換選擇。你不更換的話，就相當預計了，自己在第一次選擇時一擊即中。那只有千分之一的機會。如果你意會到這一點，你就一定想放棄原選。

這個講法的好處是，既容易理解，又剛巧可以得出正確答案。可惜，這個講法的推論過程是錯的，即是詭辯。

— Me@2012.11.26

Monty Hall problem 1.4.3

Posted on November 25, 2012 by rpflee

Frequency probability and Bayesian probability, 3.2.3

機會率哲學 3.2.3

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

既然是兩個不同的概念，我們何不索性賦予它們，兩個不同的名字。那就可以避免再混淆。我們可以把「頻率學派」的「機會率」，叫做「頻率機會率」、「客觀機會率」，或者「物理機會率」。然後，我們把「貝葉斯學派」的「機會率」，叫做「貝葉斯機會率」、「主觀機會率」，或者「知識機會率」。

（安：「頻率機會率」和「貝葉斯機會率」的分別作於，「頻率學派」認為，機會率的數值是客觀的，反映著被觀察系統的物理性質；而「貝葉斯學派」則認為，機會率的數值是主觀的，反映著觀察者對一個物理系統的知識多寡。

但是，既然「頻率機會率」和「貝葉斯機會率」都叫做「機會率」，即是它們有著密切的關係，共通的地方。正如，既然「紅蘋果」和「青蘋果」都是「蘋果」，即是它們有著很多相同的性質。那樣，我想問，「頻率機會率」和「貝葉斯機會率」的關係是什麼？有沒有可能把兩者統一起來？或者說，可不可以用同一個架構來處理它們呢？）

你的意思是，可不可以把「頻率機會率」和「貝葉斯機會率」視為，同一樣東西的兩個方面？

對於「機會率真義」這個問題，我的第二個解答，正正是企圖處理這個點。

「頻率機會率」和「貝葉斯機會率」衝突的來源，在於雙方也假設了，對於一個機會率問題，我們可以有把「觀察者」和「被觀察者」，百分百地截然分開。在這裡，「觀察者」即是「機會率使用者」；「被觀察者」即是「外在物理系統」。

如果視「觀察者」和「被觀察者」為兩個互不相干的系統，我們就可以爭論，究竟「機會率」是在描述「被觀察者」的性質，即是「物理性質」；還是在表達「觀察者」的性質，即是「知識多寡」。

但是，如果「可以把『觀察者』和『被觀察系統』完全分開」這個假設，根本不成立，我們就應該把「觀察者」，視為對應機會率系統的一部分。那樣，「觀察者的性質」就化成「系統性質」的一部分。

「觀察者」加「被觀察者」作為一個整體，作為一個單一系統的話，「機會率」就是那個大系統的性質。

This work is in the public domain in the United States, and those countries with a copyright term of life of the author plus 100 years or less.

（安：假設梵高（Van Gogh）的一幅名畫，給一位有錢人甲，用一億元買下來。然後我們問，究竟那幅名畫的「價值」，是那幅畫本身的性質，還是有錢人甲的性質？

一方面，我們不可以說，那一億元的「價值」，純粹是那幅畫的性質，因為對於一個三餐不計的平民來說，「衣食豐足」遠勝過「一幅梵高大作」。甚至，他可能連「梵高」是誰，也不太知道。

另一方面，我們亦不可以說，那一億元的「價值」，純粹是那位有錢人甲的性質，因為對於甲來說，並不是任何一位畫家的任何一幅畫，都價值一億大元。）

— Me@2012.11.25

Monty Hall problem 1.4.2

Posted on November 23, 2012 by rpflee

Frequency probability and Bayesian probability, 3.2.2

機會率哲學 3.2.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

「頻率學派」和「貝葉斯學派」之中，究竟哪一個正確呢？又或者說，哪一個較為有用呢？

「機會率」既有客觀的成份，又有主觀的成份。留意，這裡「主觀」的意思，並不代表「不正確」。一方面，我們真的使用「機會率」，來描述外在事件；另一方面，「機會率」又真的會反映，一個人對一件外在事件的結果，無知程度的深淺。

「機會率」處理「未知」，但不一定處理「未來」，因為「未知」不一定代表「未來」。例如，剛才的例子中，骰子已擲，而我亦知道了結果，所以不是「未來」。但是，因為你還未看結果，所以相對你來說，那仍然是「未知」。你仍然需要使用「機會率」，來估計結果。大概而言，所有人也不知的，為之「未來」；精確而言，尚未發生的，才為之「未來」。

對於「機會率真義」這個問題，我的第一個解答是，其實「頻率學派」所講的「機會率」，和「貝葉斯學派」所講的「機會率」，根本是兩個不同的概念，有著不同的意思，雖然兩個意思十分相關，相關到會用同一個名字「機會率」，甚至很多時會有相同的數值。

— Me@2012.11.23

Monty Hall problem 1.4.1

Posted on November 22, 2012 by rpflee

Frequency probability and Bayesian probability, 3.2.1

機會率哲學 3.2.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

「機會率」這門學問，有兩個主要的學派：「頻率學派」（frequentist probability）和「貝葉斯學派」（Bayesian probability）。兩派對「機會率」的詮釋，有相反的意見。

「頻率學派」認為，機會率的數值是客觀的，反映著被觀察系統的物理性質。例如，你把某一粒骰子擲了六千次。如果每一個數字出現的次數，都大概是一千次的話，你就可以宣稱，那一粒骰子是正常的。對於該粒骰子，你擲到任何一面的機會率，都是六分之一。「頻率學派」認為，「擲到任何一面機會都是六分之一」這句本身，其實間接地描述了，該粒骰子的物理性質，例如「骰子有六面」和「質量均勻分佈，沒有偏袒」等。

「貝葉斯學派」則認為，機會率的數值是主觀的，反映著觀察者對一個物理系統的知識多寡。即使是同一個系統的同一件事件的同一個可能結果，不同觀察者可以運算到，截然不同的機會率，而他們彼此都沒有錯。例如，我擲了一粒公平骰子後，立刻檢查一下結果，但又不給你看。我發現我擲到「三」。然後，我要你估一估計，結果是什麼。相對於我來說，我擲到「三」的機會率是 100%，而其他數字的機會則是 0%，因為我已經知道結果。但是，你卻仍然不知道結果。所以，相對於你來說，我擲到「三」的機會率只是六分之一，而不是 100%。

「頻率學派」和「貝葉斯學派」之中，究竟哪一個正確呢？又或者說，哪一個較為有用呢？

— Me@2012.11.22

Monty Hall problem 1.3

Posted on November 21, 2012 by rpflee

Frequency probability and Bayesian probability, 3.1

機會率哲學 3.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

除了錯誤使用「機會均等假設」外，思考「蒙提霍爾問題」時，另一個典型錯誤是，一般人不明顯知道，各道門的中獎機會率，在遊戲中途可能有變，即使房車和山羊的位置，都維持原本。

「機會率」除了描述客觀的物理系統外，還會反映觀察者的主觀知識狀態。換句話說，隨著那位遊戲參賽者，對他所觀察的系統，獲得多一點資料，各個機會率就會有變。例如，第三道門原本的中獎機會，相對於參賽者來說，是三分之一。但是，當主持人打開了它，導致參賽者知道「門後是山羊」後，相對於參賽者來說，第三道門中獎機會率，就立刻變成零。

This is a public domain image.

即使外在客觀的系統沒有變，只要觀察者對該系統的主觀知識，有所增加，事件各個可能結果，所對應的機會率，就要全部重新運算。

同理，雖然根據題目的假設，原初每道門的中獎機會均等，都是三分之一，但是，因為參賽者在中途，獲得了多一點資料，餘下兩道門中獎的機會率，未必仍然和對方相同。

This is a public domain image.

而正確的答案是，餘下的兩道門中獎機會，不再均等。原本的被選的那一道，中獎的機會是三分之一；另一道門中獎的機會，則變成了三分之二。

This is a public domain image.

— Me@2012.11.21

機會率悲劇 1.2

Posted on November 19, 2012 by rpflee

Monty Hall problem 1.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

「機會均等假設」如果胡亂使用，會得到很多荒唐的結論。例如，小明跟媽媽說：「在這次考試，我的成績有兩個可能。要麼我考到全班第一，要麼我考不到全班第一。所以，今次我有一半的機會，考到全班第一。」

媽媽回答：「荒謬！」

小明再解釋：「『考到全班第一』和『考不到全班第一』已經窮盡了，這次考試結果的所有可能。你不會想像到，有第三個情況出現。」

那樣，小明的媽媽，應該如何反駁他呢？

只有兩個可能的結果，並不代表各自的機會率是二分之一。除非題目假設，又或者有以往的實驗數據支持，例如小明在以往的考試中，平次每兩次中，就會有一次考第一；否則，你不能自己假設，機會率會平均分配於各個可能性。

而這個「故亂假設機會均等」的思考錯誤，往往形成塵世間很多悲劇，例如選錯配偶和選錯事業。「我加入這一行，要麼成功，要麼失敗。所以，我成功的機會有一半。」那即使不是顯意識的思考，大概也會是潛意識的想法。

這個錯誤來自，不必要地選擇無知。正當的做法是，先做功課，先做好資料搜集。以自己當時可以得到，最多和最準確的資訊，去評價自己，加入某一行時，成功和失敗的機會率，各佔多少。即使那個機會率不會十分詳細，例如「成功的機會是 57%」，你也至少要有個大概，知道成功的機會較大，還是失敗。如果成功的機會較大，是約略大多少呢？是不是大到，值得你投資未來五年的人生，去作嘗試呢？

雖然，那也不保證一定成功，但是至起碼，即使錯了，也可以問心無愧。而且，如果你是在做足功課的情況下失敗，你吸收到的知識經驗，將會是最豐富的。那將大大提高你，未來成功的機會率。

— Me@2012.11.19

機會率悲劇 1.1

Posted on November 18, 2012 by rpflee

Monty Hall problem 1.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：「蒙提霍爾問題」（Monty Hall problem）十分有趣。有趣的地方在於，一方面，大部分人都會答錯；另一方面，即使知道了答案及其運算方法，大部分人都仍然接受不到，因為答案嚴重違反一般人的直覺。甚至，很多受過「機會率」正式訓練的人士，都誤墮這個「機會率陷阱」。

「蒙提霍爾問題」的劇情是，有關一個「開門抽獎遊戲」。遊戲的大局是，在一位遊戲參加者的面前，會有三扇門。其中一扇門的後面，有一輛名貴房車。另外兩扇間後面，各有一隻山羊。

首先，主持人會叫那位參賽者，選擇其中一扇門。然後，主持人會打開那一扇門。遊戲的規則是，如果門後的是名貴房車，參賽者就可以得到它。

「蒙提霍爾問題」的第一個假設是，三扇門「門後有房車」的機會均等。換句話說，無論參賽者選擇哪一扇門，中獎的機會，同是三分之一。

「蒙提霍爾問題」的第二個假設是，參賽者選了一扇門後，主持人在第一步，不會打開那扇門，反而，會先打開另外兩扇門的其中一扇。然後，大家會發現，開了的門後面，有一隻山羊。亦即是話，房車位於未開的兩扇門的其中一扇後面。這時，主持人會給予參賽者，一次重新選擇的機會。那位參賽者可以維持選擇，或者改為要另一扇門。

「蒙提霍爾問題」是，這個情況下，參賽者應否改變選擇？又或者說，參賽者如果改變選擇，可不可以提高他中獎的機會率呢？

This is a public domain image.

In search of a new car, the player picks a door, say 1.

The game host then opens one of the other doors, say 3,

to reveal a goat and offers to let the player pick door 2 instead of door 1.

— Wikipedia on Monty Hall problem

一般人的想法是，既然選兩扇門中的任何一個，機會都是二分之一，即使轉換選擇，也不會增加勝算。

但是，答案竟然不是那樣。原來，維持選擇的中獎機會，只有三分之一。改變選擇的中獎機會，卻有三分之二。）

這個結果震撼的地方在於，它違反人們一個根深柢固，但通常也錯的直覺。大部人也以為，各個可能結果的機會均等。如果一件事只有兩個可能的結果，每個結果的機會率，就一定是二分之一。這個「機會均等假設」大錯特錯。

— Me@2012.11.18

機會率哲學 2.7.2

Posted on November 17, 2012 by rpflee

The problem of induction 1.7.2 | Paradox 7.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：但是，你不能不考慮「機會率」。

例如，你發覺一粒骰子，一百次之中，全部一百次都是擲到「一」。那樣，你會認為，那一粒骰子不正常，不是公平的。你歸納到的規律是，那粒骰子次次也會擲到「一」。所以，你會預測，下次擲骰子的結果都是「一」。正如，因為以往的每天，太陽都由東邊升起，你自然會預期，明天都是那樣。這是一個「完全有規律」的例子。

又例如，你發覺一粒骰子，一百次之中，有九十次都是擲到「一」。你會覺得，「擲到一」的機會率，遠高於其他五個數字。你歸納到的規律是，那粒骰子傾向擲到「一」。所以，你會預測，下次擲骰子的結果都是「一」。這是一個「既不是完全沒有規律，亦不是完全有規律」的例子。一方面，這個事件並不是「完全不可預測」的，因為你相當有信心，骰子會擲到「一」。另一方面，這個事件亦不是「完全可預測」的，因為你的信心並不至於大到，願意用整副身家到擔保。

再例如，你發覺一粒骰子，一百次之中，有大概十六次是擲到「一」，而其他數字的出現次數，也是差不多。那樣，你會認為，那一粒骰子是正常公平的。這是一個「完全沒有規律」的例子。因為骰子對那六個數字，無所偏好，導致你「完全不可預測」，下一次會擲到哪一個數字。

但是，從另一層次看，「無所偏好」即是「隨機」。那樣，你就可以使用「機會率法則」。雖然你不可以預測，下一次會擲到哪一個數字，但是你可以宣稱，下一次擲到任何一個數字的機會率，都是六分之一。換句話說，如果你把骰子擲很多次，每個數字出現的次數，都會佔全部次數的大概六分之一。）

你的意思是，個別事件「完全不可預測」的話，即是在「個別事件層次」，完全沒有規律。那樣，如果提高一個層次，改為觀察「大量個別事件」，就反而會有明顯的規律。完全沒有規律的個別事件，即是「隨機事件」。既為「隨機事件」，就可以用「機會率」去處理。

又或者說，如果個別事件完全沒有「必然定律」，集體事件就會遵守「概然定律」。「概然」即是「大概而然」，亦即「集體而言」。「概然定律」，亦稱「機會率法則」。

— Me@2012.11.17

機會率哲學 2.7.1

Posted on November 15, 2012 by rpflee

The problem of induction 1.7.1 | Paradox 7.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：Hans Reichenbach 講法的下半段是，如果自然現象根本沒有規律可言，就不會有任何方法，可以找到任何規律。那樣，即使找不到規律，也不是「歸納法」有錯。

這裡我不明白的地方是，何謂「完全沒有規律」呢？

我彷彿想像不到，有一個情況，可以真的「完全沒有規律」。）

你的意思是，「完全沒有規律」本身，都可以視為一個「規律」？

（安：大概是。）

那樣不行。有沒有「規律」，不純粹是感覺。你不可以隨便標籤，因為我們正在討論的「規律」，有明確意思。「有規律」是指「可預測」。如果一件事件是「不可預測的」，你就不可以宣稱它「有規律」。

（安：但是，你不能不考慮「機會率」。）

— Me@2012.11.15

機會率哲學 2.6

Posted on November 12, 2012 by rpflee

The problem of induction 1.6

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

任何一個人，即使不是科學家，都需要「預測將來」，除非他毋須做任何決定。所謂「做決定」，就是在眾多「可能未來」中，選定一個。如果沒有一定程度的「預測」，就不能分辨，哪些未來是「可能」，哪些未來是「不可能」。

除非宇宙的本質是「不可預測的」，否則，「歸納法」就一定可以助你，去「預測將來」。

（安：無錯。但是，我還有些地方不明白。

你剛才引述哲學家 Hans Reichenbach 所講，如果有任何其他方法，可以找到自然現象的規律，「歸納法」都可以找到。其實，我不太明白，何謂「其他方法」。

「歸納法」就是指，透過不斷的觀察和實驗，去找出「自然定律」，從而預測將來。我想像不到，還有「觀察」以外的方法，去了解自然世界。）

哲學家們並不是指，現時實際上，「歸納法」以外，還有其他可信可用的方法，去預測將來。他們是指，理論上可以有。

例如，你發覺一粒骰子，一百次之中，有九十次都是擲到「一」。那樣，你會認為，那一粒骰子不正常，不是公平的。你會覺得，「擲到一」的機會率，遠高於其他五個數字。所以，你會預測，下次擲骰子的結果是「一」。那就是「歸納法」的運用。

但是，你可以想像，有一位占卜師，毋須預先把那粒骰子擲一百次，而改為用占卜，就可以知道，那粒骰子傾向出現「一」。

而 Reichenbach 的意思是，如果利用（例如）占卜，就可以找到那粒骰子的規律，「歸納法」都可以找到，只要觀察的時間足夠長，收集的案例足夠多。

（安：跳高一個層次，即使你想求教於占卜，要衡量某位占卜師可不可靠，最終也要觀察他過往的表現。到頭來，又要使用「歸納法」。）

— Me@2012.11.12

機會率哲學 2.5

Posted on November 10, 2012 by rpflee

The problem of induction 1.5 | 西瓜 6.5

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

即使沒有以上對「歸納法」的幾個辯解，而導致我們不可宣稱「歸納法合乎理性」，我們也不應該對「歸納法」，有不合理的期望，要求一些百分百保證，一定不會錯的預測。我們運用「歸納法」，是想得到一些「描述經驗世界的句子」，即是「綜合句」，而不是「重言句」。凡是「描述經驗世界的句子」，就一定有機會錯，那怕機會是微乎其微。

有些句子有意思，有些句子沒有意思。而有意思的句子之中，可再分成兩類：analytic propositions（重言句／恆真式）和 synthetic propositions（綜合句／經驗句）。

「重言句」只是概念之間的關係（relations of ideas）。例如：

1. 冰箱內有西瓜，或者沒有西瓜。

2. 我爺爺是我爸爸的爸爸。

「重言句」的好處是它絕對準確。不好處是它沒有任何信息內容，對世界沒有任何描述。

「綜合句」是對事實的陳述（matters of facts）。例如：

1. 冰箱內有西瓜。

2. 愛因斯坦是我爸爸的爸爸。

「綜合句」的不好處是有可能錯。好處是它有信息內容，對世界有描述。

— Me@2012.11.10

機會率哲學 2.4

Posted on November 9, 2012 by rpflee

The problem of induction 1.4 | 西瓜 6.4

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

過去會發生的事情，即使已重複發生了很多次，也不代表，將來會發生。正正是因為「預測」將來，不一定會百分百準確，我們對「歸納法」，要有所防範。無論是在日常生活，還是專業工作，既要為最好作準備，亦為最壞作打算。

例如，你過去幾十年，從未試過有大病，不代表將來不會有。所以要事先買保險，以防備未來可能突如其來的醫療開支。

又例如，你的電腦在過去五年，從未試過有故障，不保證將來不會有。萬一有損壞，你一大堆重要的資料，會化為烏有。所以要事先定期做好備份，即是任何重要資料，在任何時候，都要有幾份複本，儲存於不同地方的不同電腦，以防備未來可能突如其來的資料損毀。

再例如，科學家發表的研究結果，並不會只是來自一、兩次的實驗，而是會來自輕則數十次，重則成千上萬次的試探，以提防視「偶然」為「必然」，以提防視「特例」為「通則」。

又再例如，一款藥物推出市面前，一定會經歷鉅細無遺、數之不盡的臨床測試，以減低造成人命傷亡的機會率。

— Me@2012.11.09

機會率哲學 2.3

Posted on November 7, 2012 by rpflee

The problem of induction 1.3 | 西瓜 6.3

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

第三種對「歸納法」的辯解，來自哲學家 Hans Reichenbach。

科學家的工作是，透過無數的觀測和實驗，即是「歸納法」，去提煉「自然定律」，用以解釋現有的現象，和預測將來的現象。但是，「歸納法」是沒有「必然性」的。過去會發生的事情，即使已重複發生了很多次，也不代表，將來會發生。之前的一大堆實驗結果，可能只是出於「偶然」，而不是來自什麼特定的「自然定律」。科學家最多只能「預測」，而不能百分百「保證」，下一個實驗結果，會跟之前的相符。

Hans Reichenbach 指出，在這個情況下，我們仍然使用「歸納法」，是因為我們有可能會贏，但不可能會輸。最壞的情況是，打和。

There is everything to win but nothing to lose.

究竟我們可不可以，透過過去的數據，去預測將來，而得到一定程度的準確度呢？那要視乎，這個宇宙有沒有規律。

宇宙有規律 = 世事有常 = 可預測的

宇宙沒有規律 = 世事無常 = 不可預測的

這個宇宙，要麼有規律，要麼沒有規律。有規律的話，使用「歸納法」，就一定可以找到那些規律；沒有規律的話，即使不用「歸納法」，也不會找得到。

換句話說，如果有任何其他方法，可以找到自然現象的規律，「歸納法」都可以找到。但是，如果自然現象根本沒有規律可言，就不會有任何方法，可以找到任何規律。那樣，即使找不到規律，也不是「歸納法」有錯，而是宇宙有病。

這個答法的好處是，它正正化解了人們對「A. J. Ayer 答法」的質疑，詳細解釋了，究竟「歸納法」這個概念，是如何嵌入「理性」之中。

（安：你記錯了，那是「知識論」科的內容，而不是「哲學分析」科。）

— Me@2012.11.07

機會率哲學 2.2

Posted on November 6, 2012 by rpflee

The problem of induction 1.2 | 西瓜 6.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

第二個「解答」，來自英國哲學家 A. J. Ayer。那不是一個正式的「解答」，而是指出「歸納法是理性的」這句說話，根本是重言句。又或者說，「歸納法為何符合理性」這個問題，根本是多餘的，問來也沒有意思。根據正常人對「理性」和「歸納法」這兩個字眼的用法，「理性」已經包含了「歸納法」。正如「亞洲人是人」是重言句，因為「亞洲人」的意思，已包括了「人」。

換句話說，「歸納法」這個概念，一早已經裝嵌於「理性」之中。「理性」的其中一個必要元素是，懂得使用「歸納法」。例如，有一個嬰兒，手指不慎接觸到蠟燭的火光，感覺到痛，他就立刻縮手，以免再受傷。自此以後，他對蠟燭的火光，都存有戒心，不敢再接觸。那樣，我們會覺得那個嬰兒，是一個「理性的嬰兒」。「理性」的地方在於，縱使不自覺，他也運用了「歸納法」：「上次我手指碰到火光時，感覺到痛。下次碰到時，很可能都會那樣，所以最好避之則吉。」

相反，如果有另一個嬰兒，太早有哲學思考的話，他就可能會質疑「歸納法」：「雖然我上次被火灼傷，但那並不代表，我下次都會被火灼傷，所以，我可以再把手指，放於火光之中，再試一試。」那樣，我們會覺得那個嬰兒，是一個「瘋狂的嬰兒」。

這個答法的問題在於，「歸納法」和「理性」的關係，並不如「亞洲人」和「人」的關係那麼明顯。「亞洲人」這個概念，很明顯包括了「人」的元素。我們不會追問，究竟「人」這個概念，是如何嵌入「亞洲人」之中？但是，我們卻可以繼續追問，究竟「歸納法」這個概念，是如何嵌入「理性」之中呢？

— Me@2012.11.05

機會率哲學 2.1

Posted on November 5, 2012 by rpflee

The problem of induction 1.1 | 西瓜 6.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

大學二年級時，我們曾經旁聽李教授的「哲學分析」科。其中一課是講「歸納法問題」。「歸納法」的意思是，過往重複發生過很多次的事件，我們估計將來都會發生。

但是，「歸納法」是沒有「必然性」的。例如，中學甲於過去十年，每年公開試英文科的合格率，都達九成以上。但是，你最多只能「預測」，而不能百分百「保證」，來年都是那樣。

又例如，根據你的電視機例子，這個牌子這個型號，來自同一條生產線的電視機，即使之前十萬部的壽命，都超過三年，售貨員最多只能「預測」，而不能百分百「保證」，你買的那一部，都是那樣。

過去會發生的事情，即使已重複發生了很多次，也不代表，將來會發生。那就引發了，你所追問的「歸納法問題」。「歸納法問題」的意思是，既然我們運用「歸納法」所得的結論，是沒有保障的，為何我們要接受「歸納法」呢？又或者說，既然我們運用「歸納法」所預測的將來，不一定是正確的，「歸納法」還符合「理性」嗎？

其中一個答法是，人類利用「歸納法」，過往無論是在日常生活、科學研究，還是科技發展，都取得了鉅大的成功，所以「歸納法」是可信可用的。

但是，這個說法正正是利用了「歸納法」本身，去辯護「歸納法」，循環論證也。

— Me@2012.11.05

機會率哲學 1.6

Posted on November 3, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

In fact, the spectrum of interpretations in quantum mechanics has a close analogue in probability theory. The “wave function is real” view is analogous to the “frequentist” view of probability theory where probabilities describe “random pheonomena” like rolling dice or radioactive decays and the “wave function represents what you know about the system” view is analogous to the Bayesian view where probability is just a consistent way of assigning [likelihoods] to propositions independent of whether they have anything to do with a “random process.”

— Bayesian Probability Theory and Quantum Mechanics

— John Baez

（安：但是，我又可以這樣追問。「這一部」電視機在第一年內，要麼會損壞，要麼不會損壞。

你說「這一部」電視機，在第一年內故障的機會率是「三千分之一」，究竟是什麼意思呢？難道「這一部」電視機在第一年內，會有三千分之一的部分會損壞嗎？）

你的意思是，既然是討論「個別單一事件」，理應用不上「統計資料」，因為「統計」是眾多案例的歸納。亦即是話，你正在變相追問「機會率」的哲學涵義。有什麼理論基礎，令到我們可以利用「過往眾多事件」的統計資料，來判定「特定事件」的機會率？而那個「機會率」數字，又代表什麼呢？

「機會率」的詮釋問題，其實是對應於「量子力學」的詮釋問題。換句話說，如果你可以搞清「機會率」的真正意義，你就可以搞清「量子力學」的背後原理，反之亦然。

可惜，無論是「機會率詮釋」，還是「量子力學詮釋」，學術界仍然未有終極結論。所以，你的問題走得太遠，已經走到人類現時的知識邊緣。

— Me@2012.11.03

致讀者：我於去年（2011）已經搞清了「機會率」的真正意義。如果你想知道，請參閱本網誌 quantum probability （量子機率）和 single-world interpretation（單重宇宙）類的文章。你將會得到部分答案。

其中一個核心要點是，「現實世界」是「所有」「可能世界」的疊加。

— Me@2012.11.03

機會率哲學 1.5

Posted on November 1, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：「機會率」的運用，有一些很奇怪的地方。明明是講「特定事件」，卻用上了「過往眾多事件」（即是一般事件）的統計資料。例如，我在電器店購買一部電視機時，可以這樣問售貨員：

這部電視機，在第一年內故障的機會有多少？

售貨員：「大概只有三千分之一的機會。」

你怎知道呢？

售貨員：「這個牌子這個型號的電視機，根據去年的統計資料，在第一年內，每三千部中，只有一部會故障。」

「去年的統計資料」反映的，是其他電視機的質素。但是，我問的是我企圖購買的「這一部」。我想知道的，是「這一部」的質素，「這一部」損壞的機會率。

售貨員：「．．．．．．」

可以想像，那個售貨員，將不知道如何回應。）

他可以這樣回應：「這個牌子同一型號的電視機，全部都是在同一條生產線上，即是用百分百相同的生產流程，製作出來的。去年的統計資料，雖然不能直接保證，你想買的「這一部」的質素，因為兩者沒有必然的關係；但是可以間接保證，因為同一生產線上，其他眾多電視機，那極微的損壞機會率，反映了製作「這一部」電視機的生產流程，本身的質素高。製作過程完善，製成品自然會可靠。」

（安：但是，我又可以這樣追問。「這一部」電視機在第一年內，要麼會損壞，要麼不會損壞。

— Me@2012.11.01

無常

Posted on October 30, 2012 by rpflee

機會率哲學 1.4

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

「隨機」的意思是，沒有原因，而導致我們，不可直接明確推斷，事件會有哪一個結果。但是，你可以再追問，何謂「沒有原因」呢？

我們可以改用，詳細一點的講法。「隨機」的意思是，對於同一個固定不變的物理系統，即使是同一組的輸入，輸出的結果也不一定每次相同。

— Me@2012.10.30

機會率哲學 1.3

Posted on October 28, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

換句話說，所謂的「隨機事件」，並不真的是隨機。只是因為我們為了可以，大大簡化運算，而把一些複雜事件當作是「隨機」的，令到我們可以避開「牛頓力學」，而改為使用「機會率定律」來預測。「經典物理學」中的「隨機事件」，都是「偽隨機」的。

「隨機」的意思是，沒有原因，而導致我們，不可直接明確推斷，事件會有哪一個結果。「偽隨機」的意思則是，事件不是沒有原因。只是我們「無知」，沒有足夠的資料，而索性把事件當作是「隨機」的。「偽隨機」不是源於「沒有原因」，而是源於「知得不夠詳細」。

那世間上，有沒有一些真正的「隨機」事件呢？

研究微觀世界時，我們需要使用「量子力學」。「量子力學」中「機會率」，主要來自先天固有的「隨機性」。有些事件的發生，是真的「沒有原因」。亦即是話，即使我們百分百知道，一個量子物理系統的所有資料，有些地方，我們都會被迫使用「機會率」。而那些「機會率」，並不是源於我們的「無知」，而是源於大自然「內置」的「任意性」。

— Me@2012.10.28

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