Categorical logic is now a well-defined field based on type theory for intuitionistic logics, with applications in functional programming and domain theory, where a cartesian closed category is taken as a non-syntactic description of a lambda calculus. At the very least, category theoretic language clarifies what exactly these related areas have in common (in some abstract sense).
— Wikipedia on Category theory
2010.04.27 Tuesday ACHK
時間定義 5
時間 = 因果網絡
（廣義）原因 = one of the necessary conditions（先決條件之一）= 因素 = 原因元素
（中義）原因 = sufficient condition（充份條件）= all the necessary conditions（所有先決條件）= 過去
（狹義）原因 = 主要原因 = 主要先決條件
先決條件：不能有 B 而沒有 A 的話，那 A 就是 B 的先決條件。
— Me@2010.02.10, 2010.04.20
2010.04.26 Monday (c) All rights reserved by ACHK
It is possible to affect the past, but not to change it.
The Novikov Principle does not allow a time traveller to change the past in any way, but it does allow them to affect past events in a way that produces no inconsistencies — for example, a time traveller could rescue people from a disaster, and replace them with realistic corpses seconds before it occurs.
— Wikipedia on Novikov self-consistency principle
2010.04.25 Sunday (c) All rights reserved by ACHK
多次元宇宙 16
再一次總結我的講法：「時間」是「因果網絡」的簡稱；而「原因」是「眾多先決條件之一」的簡稱；「過去」是「所有先決條件」的簡稱。
這個架構可以解釋到為什麼不可以改變過去。「現在」的你，不能改變「過去」，是因為「過去」是「現在的你存在」的「所有先決條件」。而「A 是 B 的『先決條件』」的意思是「不能無 A 而有 B」。
如果你乘時光機回去「過去」，改變「過去」，就會刪除了「現在這個狀態的你之所以存在」的一部分「先決條件」，導致「現在這個乘時光機的你」不再存在。那你就不會乘時光機回去「過去」，改變「過去」。例如，你因為數學考試不合格，所以拿了考試的答案，乘時光機回去過去，把答案交給過去的自己，導致那次的數學考試合格。那你就不會因為數學考試不合格，而乘時光機回去過去。
「你乘時光機回去『過去』，改變『過去』」會導致「你就不會乘時光機回去『過去』，改變『過去』」。那就構成邏輯矛盾。「改變過去」不單只是違反科學，更重要的是，它違反邏輯。
如果有超過一個宇宙的話，我們就有機會製作「改變過去」的錯覺。我們把那一大堆宇宙，稱之為「平行宇宙」。
在眾多宇宙中，我們考慮其中兩個：宇宙 A 和宇宙 B。宇宙 A 是你的宇宙。而宇宙 B 是宇宙 A 的「孖生宇宙」，在所有方面都和宇宙 A 一模一樣。
在有「孖生宇宙」的情況下，我們就有機會製作「改變過去」的錯覺。例如，宇宙 A 的你因為數學考試不合格，所以拿了考試的答案，乘時光機回去宇宙 B 的過去，把答案交給宇宙 B 的過去自己，導致那次在宇宙 B 的數學考試合格。這個情況下，「改變過去」就不會做成邏輯矛盾。
但是，那會產生兩個問題。第一，那不是真的「改變過去」。實情是「宇宙 A 中，不合格的現在的你，到了宇宙 B，把答案拿給了還未考試的過去的你。」你只是改變了另一個人。而你，宇宙 A 的現在的你，仍然是在該次數學考試中不合格。整個「改變過去」的運作，也只是錯覺。
第二，你在宇宙 B 成功「改變過去」後，你應該返回到宇宙 A 的現在，還是移民到宇宙 B 的現在呢？如果你返回宇宙 A 的現在的話，你就仍然數學考試不合格。如果你移民到宇宙 B 的現在的話，你就要面對多一個自己。
— Me@2010.04.23
2010.04.24 Saturday (c) All rights reserved by ACHK
我們現在討論的「原因」是取其廣義，意思是「眾多先決條件之一」。而日常生活中的所講的「原因」，是取其狹義，意思是 「眾多先決條件中，最重要的一個」，即是「主要先決條件」。
（安：問題是，怎樣才為之「主要」？）
如果很多人也有條件 A，而只有少部分人得到結果 B 的話，那 A 就不是 B 的「主要先決條件」。如果有條件 A 的人之中，大部分人得到結果 B 的話，那 A 就是 B 的「主要先決條件」。在日常生活的意思下，A 是 B 的「原因」。
例如：雖然有很多人也「出了世」，但是只有少部人「讀到大學」。所以，「出了世」並不是「讀到大學」的「主要先決條件」。換言之，在日常生活的意思下，「出了世」並不是「讀到大學」的「原因」。
又例如：如果「努力讀書」的人之中，只有一半的人「讀到大學」的話，「努力讀書」並不是「讀到大學」的「主要先決條件」。換言之，在日常生活的意思下，「努力讀書」並不是「讀到大學」的「原因」。
再例如：如果「努力讀書 和 聰明」的人之中，有九成的人都「讀到大學」的話，「努力讀書 和 聰明」就是「讀到大學」的「主要先決條件」。換言之，在日常生活的意思下，你可以說「『努力讀書 和 聰明』是『讀到大學』的『原因』」。
我們可以改用另一組情境作為例子。
例子一：男士 A 追求女士 D。 A 向 D 示愛。 D 接受了 A。
如果 A 不向 D 示愛的話，他就不能追求到她。所以，「示愛」是「追求到」的「先決條件之一」。但是，在日常生活的意思下，D 不會說：「他追求到我的原因是他有示愛。」因為根據常理，總不能凡是有人示愛，就會接受。接不接受對方，除了「對方有沒有示愛」之外，還有其他（更重要的）因素要考慮。
如果根據我們以上的講法，怎樣解釋「『示愛』並不是『追求到』的『主要先決條件』」呢？
如果男士 A, B, C 都有向 D 示愛，而 D 只接受了 A 的話，那樣，「示愛」並不是「追求到」的「主要先決條件」。所以，「追求到」的「原因」，並不（只）是「有示愛」。
例子二：男士 A, B, C 在各方面的條件都非常接近。只有 A 向 D 示愛，而 D 接受了 A。在這個情境下，「示愛」是「追求到」的「主要先決條件」。如果 B 問 D：「既然我和 A 各方面的條件也非常差不多，為什麼選擇 A 而不選擇我？」D 可以這樣答：「我接受 A 的『原因』是，他『有示愛』，而你沒有。」
— Me@2010.04.21
2010.04.21 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK
我就參考「相對論」，把「時間」看成其中一個 dimension（次元）。「時間」者，「因果網絡」也。只要其中一個次元是「時間」，「多次元宇宙」這個 model 就自動包括了「因果」。
（安：因為我們其實不是太清楚「時間」是什麼，所以我們也不是太清楚「因果」是什麼 … ）
正如剛才所說，「原因」可以定義為「眾多先決條件之一」。如果 A 是 B 的「眾多先決條件之一」的話， A 就為之 B 的「原因」。
暫時總結我的講法：「時間」是「因果網絡」的簡稱；而「原因」是「眾多先決條件之一」的簡稱。你暫時也找不到我這個講法有什麼漏洞。這個講法已經「完備」，不需要再多的定義。再多的，也只會是修飾，雖然修飾有時有教學上的用處。
（安：等一等。如果用你這些定義，那會很奇怪。如果「眾多先決條件之一」就為之「原因」的話，就會有很多奇怪的結論。例如：如果我沒有「出世」，我就不會「讀大學」。所以「出世」是「讀大學」的「眾多先決條件之一」。換言之，我「讀大學」的「原因」是我「出了世」。但是，這並不符合我們日常生活中，「原因」這個詞的用法。）
應該說，你「讀大學」的「原因之一」是你「出了世」。
（安：加了「之一」，就好像沒有那麼奇怪。但是，那仍然不符合我們日常生活中，「原因」這個詞的用法。如果有人問我：「為什麼你可以讀到大學？」我總不能回答：「我讀到大學的原因之一是我『出了世』。」）
「原因」這個詞，有三個可能的意思。
1. 第一個意思是「充份條件」（sufficient condition）。「所有先決條件」（all the necessary conditions）加在一起，就是「充份條件」。為免節外生枝，這裡暫時不討論這個意思。
2. 我們現在討論的「原因」是取其廣義，意思是「眾多先決條件之一」。
3. 而日常生活中的所講的「原因」，是取其狹義，意思是 「眾多先決條件中，最重要的一個」，即是「主要先決條件」。
（安：問題是，怎樣才為之「主要」？）
— Me@2010.04.20
2010.04.21 Thursday (c) All rights reserved by ACHK
一件立體是，一個 3D object（三次元物件）。它會有三個，互相獨立的「投影」。
Wikipedia, public domain image
用你的比喻，那件「物件本身」，就是「本體/物自身」；那三個「投影」就是，那件物件的三個「現象」。
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三次元物件，有三個互相獨立的「投影」。 N 次元物件，就會有 N 個。同一個宇宙，有千百萬個「事件現象」發生。將「現象」比喻成「投影」的話，「宇宙」就有千百萬個「投影」。換言之，「宇宙本身」就可以比喻成，一件「千百萬次元物件」（a multi-dimensional object）。
我記得你好像說，要把「時間」加入這個，「多次元宇宙」的 model（比喻架構）裡。那是什麼意思？）
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原初我們是討論「各人會有不同的『觀點』；（所以，）各人看見不同的『現象』」的問題。我提出了這個「多次元宇宙」model。然後你就指出，宇宙的事件之間，有因果關係。我這個 model 缺乏了，「因果」這個元素。你反問「多次元宇宙」model，怎樣處理「因果」。
我就參考「相對論」，把「時間」看成，其中一個 dimension（次元）。「時間」者，「因果網絡」也。只要其中一個次元是「時間」，「多次元宇宙」這個 model，就自動包括了「因果」。
— Me@2010.04.19
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2010.04.19 Monday (c) All rights reserved by ACHK
多次元宇宙 12
重點是，我建議你學 programming（寫程式）。學 programming 會有一些神奇效果：令你多了很多思考工具。
— Me@2010.04.18
2010.04.19 Monday (c) All rights reserved by ACHK
多次元宇宙 11
程式員頭腦 9
時間定義 4
以上所講的，是個別 variable（變數）的「主觀時間」。同一個 variable x，不同的「時間」，有不同的數值；不同的數值，對應於不同的「時間」。
當有超過一個 variable 時，而眾多 variables 又會互相影響的話，它們數值的變化次序就不能隨便改變。那些 variables 間，就會有「因果」關係，形成一個「因果網絡」。那個「因果網絡」，就是「客觀時間」。
例如，假設那個「銀行會計程式」有三個 variables：x, y 和 z。 x 代表我的現金戶口的結餘； y 代表我的支票戶口的結餘； z 則代表我（存於該銀行）的財產。換言之， x + y = z 。
x 和 y 之間，沒有「因果」關係，因為你可以改 x 不改 y ，或者改 y 不改 x。但是，你改變 x 或 y 的話， z 就會改變。或者說，你要改變 z 的話，就一定要透過改變 x 或 y 才能做到。所以 x 和 y 是 z 的「原因」。
x, y 和 z 之間，有因果關係，形成一個「因果網絡」。
那個「因果網絡」，就是「客觀時間」。
— Me@2010.04.15
2010.04.15 Thursday (c) All rights reserved by ACHK
多次元宇宙 10
程式員頭腦 8
時間定義 3
用 functional programming languages（函數程式語言）所寫的程式，程式內是沒有 state（狀態）的。
「程式內是沒有 state」的意思是，程式內只有「常數」，沒有「變數」。
程式內的 data（數據）是不會隨時間改變的。
在那類程式中，是沒有「時間」。
例如，有一個「加法程式」，要你輸入 a 和 b，然後它會運算 c = a + b，告訴你答案 c 是什麼。
那個程式內部，本身是沒有儲存任何 variable values（變數數值）。
例如，你輸入 3 和 7，程式就會輸出 10。
同一組 input（輸入），就會有同一個 output（輸出）。
無論你在任何時間，運用那個「加法程式」，只要你輸入 3 和 7，它就會輸出 10。
所以說，那個「加法程式」沒有「時間」。
不是任何程式也是沒有「時間」的。
例如，一個「銀行會計程式」有一個變數 x，用來代表我的戶口結餘。
因為我的戶口結餘會隨時間改變，所以在不同日子輸入指令「請問我的戶口結餘是多少？」，程式會輸出不同的答案。
雖然是同一個指令「請問我的戶口結餘是多少？」，但是在不同的時間，那個「銀行會計程式」會輸出不同的答案。
所以說，那個「銀行會計程式」有「時間」。
「有『時間』」是意思是，有 variable（變數）的數值改變。
同一個 variable x，不同的「時間」，有不同的數值。
即是話，不同的數值對應於不同的「時間」。
例如，對於那個「銀行會計程式」來說，同一個戶口，結餘的不同數值，就為之不同的「時間」。
— Me@2010.04.11
2010.04.12 Monday (c) All rights reserved by ACHK
Functional programming has its roots in the lambda calculus, a formal system developed in the 1930s to investigate function definition, function application, and recursion. Many functional programming languages can be viewed as elaborations on the lambda calculus.
— Wikipedia on Functional programming
2010.04.08 Thursday ACHK
多次元宇宙 9
程式員頭腦 7
時間定義 2
你要有寫程式的訓練，因為寫程式的訓練會令你多了很多「思考工具」。例如，我也估不到我在程式書中，閱讀到「時間」的定義。書中所描述的，只是在一個程式內「時間」的定義。但是，把「程式時間」引申開去，令我瞭解了「物理時間」的意思。
有一類 programming languages（程式語言），叫做「functional programming languages（函數程式語言）」。用 functional programming languages 所寫的程式，程式內是沒有「時間」的。
怎樣為之「程式內是沒有『時間』」呢？我們可以先倒轉來想：怎樣為之「程式內是有『時間』」呢？
如果一個程式是有 state（狀態）的，那就為之有「時間」。「有 state」的意思是，同一個 variable（變數），它的數值可以有變化。
例如，一個銀行會計程式有一個變數 x。 x 用來代表我的戶口結餘。所以，x 的數值會有變化。因為那個銀行會計程式儲存了 x，而 x 可以有變化，所以我們說，那個銀行會計程式有「時間」。
不同的 x 數值，就對應於那個程式的不同 state。例如：
程式 state 1, x = HK$ 100
程式 state 2, x = HK$ 200
程式 state 3, x = HK$ 170
程式 state 4, x = HK$ 251
程式 state 5, x = HK$ 350
…
— Me@2010.04.06
2010.04.06 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK
In mathematics, specifically in category theory, the category of small categories, denoted by Cat, is the category whose objects are all small categories and whose morphisms are functors between categories. Cat may actually be regarded as a 2-category with natural transformations serving as 2-morphisms.
The category Cat is itself a large category, and therefore not an object of itself. In order to avoid problems analogous to Russell’s paradox one cannot form the “category of all categories”. But it is possible to form a quasicategory of all categories.
— Wikipedia on Category of small categories
2010.04.03 Saturday ACHK
「色即是空，空即是色」中的「即是」，是指當我們說
「我的眼睛接收到，一隻『杯』的『影像』。」時，意思即是
「我看到一隻『杯』。」；
而當我們說
「我看到一隻『杯』。」時，意思又即是
「我的眼睛接收到，一隻『杯』的『影像』。」
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（安：既然是這樣，為什麼我們花，這麼多的時間，去理解「現象」和「本體」的分別呢？）
我們沒有辦法，看到「物自身」。這是一個定義問題——給你「看到」的，就是「現象」，不是「物自身」。
正如我們沒有辦法，直接看到「杯本身」。給你「看到」的，就是「杯的影像」，不是「杯本身」。
既然是這樣，為什麼要去明白，「物自身／本體」的意思呢？為什麼要去明白，「現象」和「本體」的分別呢？
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知道「物自身」這個概念，可以令我意識到，我所觀察到的「現象」，並不是「物自身」，所引發的唯一「現象」。
正如，知道「杯本身」這個概念，可以令我意識到，我所看到的「杯的投影」，並不是「杯本身」，所引發的唯一「投影」。這是一個圓柱體的杯。我從側面望，會見到一個長方形。但是你從上面望，則會見到一個圓形。
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「物自身」這個概念，有什麼用處呢？
知道「物自身」這個概念，可以令我意識到，我所觀察到的「現象」，並不是「物自身」，所引發的唯一「現象」。
例如，我們（人類）觀察到的「現象」是，「這杯雪糕是白色的」。這個「現象」的產生，是因為有雪榚的「物自身」，和我們的視覺器官所配合。但是，其他生物可能因為，有不同構造的視覺器官，例如可以接收紅外線，而見到不同於，「這杯雪糕是白色」的「現象」。
又例如，我們見到的「現象」是，「這個世界是彩色的」。但是，同一個世界，因為狗是色盲的，牠們見到的「現象」是，「這個世界是黑白的」。
（那是簡化的講法，因為狗只是「紅綠色盲」，不是「全色盲」。– Me@2023-11-13 12:56:32 PM）
透過「物自身」這個概念，令我們知道還有，我們感受以外的，其他「現象」存在。
（安：這就是「色即是空，空即是色」，最有意思的地方。）
— Me@2010.04.01
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2010.04.01 Thursday (c) All rights reserved by ACHK
On practical applications of academic concepts, he mentions that part of the problem is that academics do not see the whole problem and another part is education. If you have a bunch of programmers who don’t understand what a monad is and haven’t taken courses in category theory, there’s a gap.
— Wikipedia on Coders at work
2010.04.01 Thursday ACHK
A category C is called small if both ob(C) and hom(C) are actually sets and not proper classes, and large otherwise. A locally small category is a category such that for all objects a and b, the hom-class hom(a, b) is a set, called a homset. Many important categories in mathematics (such as the category of sets), although not small, are at least locally small.
— Wikipedia on Category (mathematics)
2010.03.31 Wednesday ACHK
（安：暫時也不是很明白。除了說「即是」之外，《心經》還說「不異」：「色不異空，空不異色」。
首先要問，「色」和「空」是不是，同一個意思？
如果不是同一個意思，它們有什麼分別？（「色即是空」這句話是錯誤的。）
如果是同一個意思，《心經》為什麼要，講多一次？（「色即是空」這句話是多餘的。））
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《心經》說「色『即是』空」，意思是：
我們如何可以，觀察到「本體」呢？
唯有透過「現象」。
「本體」是不能直接，被觀察到的，因為我們不能，『直接看到』「本體」。我們只能透過「現象」，去觀察「本體」。「透過『現象』去觀察『本體』」是「觀察『本體』」的唯一方法。
正如，一隻杯的「本身」是不能直接，被觀察到的，因為我並不能一次過，觀察到那隻杯的「整體」。我每次所看到的，只是那隻杯的某個角度，投射在我視網膜上的，平面影像。在任何一個角度，觀察到的「影像」，都只是其中一個「投影」。任何一個「投影」，都不是那隻杯「本身」。但是，我們除了靠，那隻杯的「影像」外，並沒有任何方法可以，觀察到杯的「本身」。所以，「透過『投影』去觀察『杯本身』」，是「觀察『杯本身』」的唯一方法。
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「色即是空，空即是色」的意思是，雖然「現象」和「本體」是不同的東西，但是，要觀察「本體」，我們只能透過「現象」。正如，雖然「杯的影像」和「杯本身」是不同的東西，但是，要觀察「杯本身」，我們只能透過「杯的影像」。
「色即是空，空即是色」中的「即是」，是指當我們說
「我的眼睛接收到，一隻『杯』的『影像』。」時，意思即是
「我看到一隻『杯』。」；
而當我們說
「我看到一隻『杯』。」時，意思又即是
「我的眼睛接收到，一隻『杯』的『影像』。」
— Me@2010.03.29
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2010.03.29 Monday (c) All rights reserved by ACHK
This program is written by me to calculate the Clebsch-Gordan coefficients.
To use it, copy-and-paste the text of this file onto DrScheme and run it.
Within DrScheme, you have to select the Language “Pretty Big”.
You can contact me if you find any bugs in this program.
2010.03.28 Sunday (c) All rights reserved by ACHK
In physics, matrix string theory is the first known set of equations that describe superstring theory in a non-perturbatively complete and consistent framework. Type IIA string theory can be shown equivalent to a maximally supersymmetric two-dimensional gauge theory, the gauge group of which is U(N) for a large value of N.
— Wikipedia on Matrix string theory
2010.03.24 Wednesday ACHK
多次元宇宙 6
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= 物體本身
= 本體
= 如來法身
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現象
= 我們看見事件的一些方面
=（比喻成）我們看見物體的一些方面
= 投影
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例如：一隻杯是個立體。你看到那隻杯時，其實不是那隻杯本身。你所接收到的，只是那隻杯在，你的視網膜上投影（projection）。你任何一個時間所看到的，只是那個杯的，其中一個角度（projection）。
空 = 本體
色 = 投影
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2010.02.09 2010.03.23 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK
Physics Town 
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