Probability is the statistics of potential futures.
— Me@2013-03-22 1:32 PM
2013.03.23 Saturday (c) All rights reserved by ACHK
Category Archives: quantum probability
Schrodinger’s cat
You should not apply a single-particle wavefunction to Schrodinger’s cat. Instead, you should either use classical physics or use a wavefunction for all the particles of the cat.
— Me@2013-01-23 10:25:00 AM
The uncertainty in Schrodinger’s cat’s life or death problem is classical uncertainty, not quantum uncertainty. For an observer outside the box, the cat is in a mixed state, not just a superposition of quantum eigenstates. The probability in a mixed state is classical, not quantum.
— Me@2013-01-27 09:59:13 AM
2013.01.27 Sunday (c) All rights reserved by ACHK
Quantum observer 1.1
In ordinary quantum mechanics, observers or measuring devices are macroscopic. So they are classical, in the sense that each of them is always in a macroscopic-eigenstate, aka “a macrostate“. A classical object would not be in a macroscopic superposition, in the sense that there would not be in a superposition of macroscopic-eigenstates. Macroscopic reality is always definite, unless you are talking about future events.
Then, would the macroscopic reality actually be a superposition of microscopic eigenstates?
Yes, it is. That is a logical implication from quantum mechanics. However, that makes no experimental difference, since those microstates of a lot of particles constitute a single macrostate.
In conclusion, a macrostate is not a superposition of macroscopic eigenstates. And although it is a superposition of microscopic eigenstates, it makes only conceptual difference but no experimental difference even if we ignore this fact. So for a classical observer, we do not have to consider whether it is in a superposition or not.
How about the observed particle? Would it be in a superposition?
It can and probably is.
However, superposition is a logical implication only. It cannot be observed directly using a macroscopic measuring device. Also, by using a macroscopic measuring device, aka “a classical observer“, to measure or observe a microscopic event, we will always collapse the wave function of the observed system (due to the decoherence effect), yielding a definite macroscopic result (which is corresponding to one of the eigenstate components in the original microscopic superposition).
What if I have a microscopic measuring device as a “quantum observer”?
— Me@2013-01-16 10:53:06 AM
2013.01.16 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK
機會率哲學 5
Interpretations of probability | Tree diagram 2
For a fraction representing a probability, the denominator is the known.
In a tree diagram, the starting point is the known.
conditional probability
= changing the denominator
= changing the starting point of a tree diagram
— Me@2012.12.07
2012.12.09 Sunday (c) All rights reserved by ACHK
Monty Hall problem 1.5.4
機會率哲學 4.1.4
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
主持人選擇先打開哪一扇門，其實受制於參賽者的原初選擇，是否房車。換句話說，「房車在第一扇門後面，而主持人打開第三扇」和「房車在第二扇門後面，而主持人打開第三扇」這兩個遊戲中途結果，是不對稱的，因為兩者有著不同的歷程。既然不等價，機會率就自然不同。
（安：我同意這個想法，會得到這個結論。但是，如果我用另一個想法，卻會得出另一個結論。
假設原本的參賽者叫做「甲」，而在遊戲中途，會加入另一位參賽者「乙」。主持人在打開第三扇門後，會改為叫乙，為甲繼續選擇。亦即是話，乙要為甲決定，究竟是選第一道門，還是第二道門。如果乙的選擇可為甲贏得房車，乙自己亦會獲得一千元的獎金。
那樣，對於乙來說，他見到的，就只是一個「二選其一」的「開門抽獎遊戲」。
如果主持人沒有任何提示，乙就只會知道「那裡有兩道門」、「一道有房車」和「另一道有山羊」，而不會掌握任何其他資料。換而言之，乙對第一第二道門，無所偏好。所以，兩道門的中獎機會率，理應相同，都是二分之一。
我這個想法有錯嗎？）
如果乙在兩門選其一時，不知道甲的原本選擇，你的講法就是正確的。兩門的中獎機會相同，都是二分之一。
但是，如果乙知道甲的原選，兩門的歷史，相對乙來說，就會不同。所以，機會率不會均等。
— Me@2012.12.02
2012.12.02 Sunday (c) All rights reserved by ACHK
Monty Hall problem 1.5.3
機會率哲學 4.1.3
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
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| Tree showing the probability of every possible outcome if the player initially picks Door 1
— Wikipedia on Monty Hall problem |
（安：但是，這個樹形圖，好像都是不太容易明白。可不可以再解釋一下？）
參賽者觀察到的事件是，主持人打開了第三扇門打開了，而門後有山羊。對於參賽者來說，有兩個可能的事件歷史，可以導致這個暫時的結果。
第一個可能是，房車在第一扇門後面，而主持人打開第三扇。
那樣，「打開第三扇門」其實只是主持人的兩個可能選擇之一。因為第二扇後面的，都是山羊，主持人選擇「打開第二扇」都可以。
第二個可能是，房車在第二扇門後面，而主持人打開第三扇。
那樣，「打開第三扇門」就是主持人的唯一選擇。因為第二扇後面的是房車，主持人被迫選擇「打開第三扇門」。
主持人選擇先打開哪一扇門，其實受制於參賽者的原初選擇，是否房車。換句話說，「房車在第一扇門後面，而主持人打開第三扇」和「房車在第二扇門後面，而主持人打開第三扇」這兩個遊戲中途結果，是不對稱的，因為兩者有著不同的歷程。既然不等價，機會率就自然不同。
— Me@2012.12.01
2012.12.01 Saturday (c) All rights reserved by ACHK
Monty Hall problem 1.5.2
機會率哲學 4.1.2
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
這個講法的好處是，既容易理解，又剛巧可以得出正確答案。可惜，這個講法的推論過程是錯的，即是詭辯。
推論過程的錯處在於，它忽略了剛才所講，機會率的數值，除了描述客觀的物理系統外，還會反映觀察者的主觀知識狀態。當主持人做了一些動作，而導致遊戲參加者知多了一些資料時，各道門的中獎機會自然有變。例如，假設參賽者的原本選擇是第一道門。當主持人打開第三道門，令到參賽者知道「門後是山羊」時，相對於參賽者來說，第三道門的中獎機會，就立刻變成了零。
同理，當主持人打開第三道門，令到參賽者知道「門後是山羊」時，相對於參賽者來說，另外兩道門的中獎機會，一般而言，都立刻有變。至於會變成什麼新的數值，則要重新運算。
剛才「淺白解釋」的其中一句是：「那樣，在主持人打開另外的其中一道門後，如果你維持原本的選擇，你中獎的機會就仍然只有三分之一。」這一句雖然答案正確，但是跳過了中間幾個必須的運算步驟，所以十分誤導。那個「仍然」，並不是必然的。
第一道門的中獎機會率剛巧不變，並不是必然的，而是有其他特定的原因。換句話說，我們不可以在沒有任何理據的情況下，貿貿然假設，在主持人開了一道門之後，原本選擇的中獎機會率，和之前一樣。同理，我亦不可以妄自宣稱，第三道門一打開了，第二道門就會自動繼承了它的中獎機會，除非有正確的運算支持。
而正確的運算是，使用「條件機率」（conditional probability）。「條件機率」的圖像版，叫做「樹形圖」（tree diagram）。
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| Tree showing the probability of every possible outcome if the player initially picks Door 1
— Wikipedia on Monty Hall problem |
（安：但是，這個樹形圖，好像都是不太容易明白。可不可以再解釋一下？）
— Me@2012.11.28
2012.11.29 Thursday (c) All rights reserved by ACHK
Monty Hall problem 1.5.1
機會率哲學 4.1.1
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
「蒙提霍爾問題」（Monty Hall problem）有一個比較平易近人的解答。
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| This is a public domain image. |
Player’s pick has a 1/3 chance
while the other two doors have 1/3 chance each, for a combined 2/3 chance.
— Wikipedia on Monty Hall problem
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| This is a public domain image. |
With the usual assumptions player’s pick remains a 1/3 chance,
while the other two doors have a combined 2/3 chance:
2/3 for the still unopened one and 0 for the one the host opened.
— Wikipedia on Monty Hall problem
「蒙提霍爾問題」假設了，在遊戲開始時，三扇門「門後有房車」的機會均等。所以，你選定了一道門後，你中獎的機會就是三分之一，而其他門中獎機會率的總和，有三分之二。那樣，在主持人打開另外的其中一道門後，如果你維持原本的選擇，你中獎的機會就仍然只有三分之一。主持人打開了一道沒有車的門，而又容許你改變選擇，就相當於給予你，一次過選擇其他全部門的機會。因此，如果你肯改變選擇，你中獎的機會率，就會由三分之一，躍升至三分二。
如果你仍然不相信，你可以先假想這個遊戲的一個極端版本。假設這個「開門抽獎遊戲」改為有一千道門。其中只有一扇門的後面，有名貴房車。其餘的門後面，都是山羊。跟原本的版本一樣，在遊戲開始時，所有門的中獎機會均等。換句話說，無論那位參賽者選擇哪一扇門，中獎的機會，同是千分之一。
參賽者選了一道門後，主持人就會打開其餘 999 道門中的其中 998 道。那 998 扇門的後面，都各自有一隻山羊。然後，主持人又會問你，要不要更換選擇。你不更換的話，就相當預計了，自己在第一次選擇時一擊即中。那只有千分之一的機會。如果你意會到這一點，你就一定想放棄原選。
這個講法的好處是，既容易理解，又剛巧可以得出正確答案。可惜，這個講法的推論過程是錯的，即是詭辯。
— Me@2012.11.26
2012.11.27 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK
Monty Hall problem 1.4.3
Frequency probability and Bayesian probability, 3.2.3
機會率哲學 3.2.3
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
既然是兩個不同的概念，我們何不索性賦予它們，兩個不同的名字。那就可以避免再混淆。我們可以把「頻率學派」的「機會率」，叫做「頻率機會率」、「客觀機會率」，或者「物理機會率」。然後，我們把「貝葉斯學派」的「機會率」，叫做「貝葉斯機會率」、「主觀機會率」，或者「知識機會率」。
（安：「頻率機會率」和「貝葉斯機會率」的分別作於，「頻率學派」認為，機會率的數值是客觀的，反映著被觀察系統的物理性質；而「貝葉斯學派」則認為，機會率的數值是主觀的，反映著觀察者對一個物理系統的知識多寡。
但是，既然「頻率機會率」和「貝葉斯機會率」都叫做「機會率」，即是它們有著密切的關係，共通的地方。正如，既然「紅蘋果」和「青蘋果」都是「蘋果」，即是它們有著很多相同的性質。那樣，我想問，「頻率機會率」和「貝葉斯機會率」的關係是什麼？有沒有可能把兩者統一起來？或者說，可不可以用同一個架構來處理它們呢？）
你的意思是，可不可以把「頻率機會率」和「貝葉斯機會率」視為，同一樣東西的兩個方面？
對於「機會率真義」這個問題，我的第二個解答，正正是企圖處理這個點。
「頻率機會率」和「貝葉斯機會率」衝突的來源，在於雙方也假設了，對於一個機會率問題，我們可以有把「觀察者」和「被觀察者」，百分百地截然分開。在這裡，「觀察者」即是「機會率使用者」；「被觀察者」即是「外在物理系統」。
如果視「觀察者」和「被觀察者」為兩個互不相干的系統，我們就可以爭論，究竟「機會率」是在描述「被觀察者」的性質，即是「物理性質」；還是在表達「觀察者」的性質，即是「知識多寡」。
但是，如果「可以把『觀察者』和『被觀察系統』完全分開」這個假設，根本不成立，我們就應該把「觀察者」，視為對應機會率系統的一部分。那樣，「觀察者的性質」就化成「系統性質」的一部分。
「觀察者」加「被觀察者」作為一個整體，作為一個單一系統的話，「機會率」就是那個大系統的性質。
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| This work is in the public domain in the United States, and those countries with a copyright term of life of the author plus 100 years or less. |
（安：假設梵高（Van Gogh）的一幅名畫，給一位有錢人甲，用一億元買下來。然後我們問，究竟那幅名畫的「價值」，是那幅畫本身的性質，還是有錢人甲的性質？
一方面，我們不可以說，那一億元的「價值」，純粹是那幅畫的性質，因為對於一個三餐不計的平民來說，「衣食豐足」遠勝過「一幅梵高大作」。甚至，他可能連「梵高」是誰，也不太知道。
另一方面，我們亦不可以說，那一億元的「價值」，純粹是那位有錢人甲的性質，因為對於甲來說，並不是任何一位畫家的任何一幅畫，都價值一億大元。）
— Me@2012.11.25
2012.11.25 Sunday (c) All rights reserved by ACHK
Monty Hall problem 1.4.2
Frequency probability and Bayesian probability, 3.2.2
機會率哲學 3.2.2
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
「頻率學派」和「貝葉斯學派」之中，究竟哪一個正確呢？又或者說，哪一個較為有用呢？
「機會率」既有客觀的成份，又有主觀的成份。留意，這裡「主觀」的意思，並不代表「不正確」。一方面，我們真的使用「機會率」，來描述外在事件；另一方面，「機會率」又真的會反映，一個人對一件外在事件的結果，無知程度的深淺。
「機會率」處理「未知」，但不一定處理「未來」，因為「未知」不一定代表「未來」。例如，剛才的例子中，骰子已擲，而我亦知道了結果，所以不是「未來」。但是，因為你還未看結果，所以相對你來說，那仍然是「未知」。你仍然需要使用「機會率」，來估計結果。大概而言，所有人也不知的，為之「未來」；精確而言，尚未發生的，才為之「未來」。
對於「機會率真義」這個問題，我的第一個解答是，其實「頻率學派」所講的「機會率」，和「貝葉斯學派」所講的「機會率」，根本是兩個不同的概念，有著不同的意思，雖然兩個意思十分相關，相關到會用同一個名字「機會率」，甚至很多時會有相同的數值。
既然是兩個不同的概念，我們何不索性賦予它們，兩個不同的名字。那就可以避免再混淆。我們可以把「頻率學派」的「機會率」，叫做「頻率機會率」、「客觀機會率」，或者「物理機會率」。然後，我們把「貝葉斯學派」的「機會率」，叫做「貝葉斯機會率」、「主觀機會率」，或者「知識機會率」。
— Me@2012.11.23
2012.11.23 Friday (c) All rights reserved by ACHK
Monty Hall problem 1.4.1
Frequency probability and Bayesian probability, 3.2.1
機會率哲學 3.2.1
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
「機會率」這門學問，有兩個主要的學派：「頻率學派」（frequentist probability）和「貝葉斯學派」（Bayesian probability）。兩派對「機會率」的詮釋，有相反的意見。
「頻率學派」認為，機會率的數值是客觀的，反映著被觀察系統的物理性質。例如，你把某一粒骰子擲了六千次。如果每一個數字出現的次數，都大概是一千次的話，你就可以宣稱，那一粒骰子是正常的。對於該粒骰子，你擲到任何一面的機會率，都是六分之一。「頻率學派」認為，「擲到任何一面機會都是六分之一」這句本身，其實間接地描述了，該粒骰子的物理性質，例如「骰子有六面」和「質量均勻分佈，沒有偏袒」等。
「貝葉斯學派」則認為，機會率的數值是主觀的，反映著觀察者對一個物理系統的知識多寡。即使是同一個系統的同一件事件的同一個可能結果，不同觀察者可以運算到，截然不同的機會率，而他們彼此都沒有錯。例如，我擲了一粒公平骰子後，立刻檢查一下結果，但又不給你看。我發現我擲到「三」。然後，我要你估一估計，結果是什麼。相對於我來說，我擲到「三」的機會率是 100%，而其他數字的機會則是 0%，因為我已經知道結果。但是，你卻仍然不知道結果。所以，相對於你來說，我擲到「三」的機會率只是六分之一，而不是 100%。
「頻率學派」和「貝葉斯學派」之中，究竟哪一個正確呢？又或者說，哪一個較為有用呢？
— Me@2012.11.22
2012.11.22 Thursday (c) All rights reserved by ACHK
Monty Hall problem 1.3
Frequency probability and Bayesian probability, 3.1
機會率哲學 3.1
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
除了錯誤使用「機會均等假設」外，思考「蒙提霍爾問題」時，另一個典型錯誤是，一般人不明顯知道，各道門的中獎機會率，在遊戲中途可能有變，即使房車和山羊的位置，都維持原本。
「機會率」除了描述客觀的物理系統外，還會反映觀察者的主觀知識狀態。換句話說，隨著那位遊戲參賽者，對他所觀察的系統，獲得多一點資料，各個機會率就會有變。例如，第三道門原本的中獎機會，相對於參賽者來說，是三分之一。但是，當主持人打開了它，導致參賽者知道「門後是山羊」後，相對於參賽者來說，第三道門中獎機會率，就立刻變成零。
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| This is a public domain image. |
即使外在客觀的系統沒有變，只要觀察者對該系統的主觀知識，有所增加，事件各個可能結果，所對應的機會率，就要全部重新運算。
同理，雖然根據題目的假設，原初每道門的中獎機會均等，都是三分之一，但是，因為參賽者在中途，獲得了多一點資料，餘下兩道門中獎的機會率，未必仍然和對方相同。
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| This is a public domain image. |
而正確的答案是，餘下的兩道門中獎機會，不再均等。原本的被選的那一道，中獎的機會是三分之一；另一道門中獎的機會，則變成了三分之二。
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| This is a public domain image. |
— Me@2012.11.21
2012.11.21 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK
機會率悲劇 1.2
Monty Hall problem 1.2
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
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「機會均等假設」如果胡亂使用，會得到很多荒唐的結論。例如，小明跟媽媽說：「在這次考試，我的成績有兩個可能。要麼我考到全班第一，要麼我考不到全班第一。所以，今次我有一半的機會，考到全班第一。」
媽媽回答：「荒謬！」
小明再解釋：「『考到全班第一』和『考不到全班第一』已經窮盡了，這次考試結果的所有可能。你不會想像到，有第三個情況出現。」
那樣，小明的媽媽，應該如何反駁他呢？
只有兩個可能的結果，並不代表各自的機會率是二分之一。除非題目假設，又或者有以往的實驗數據支持，例如小明在以往的考試中，平次每兩次中，就會有一次考第一；否則，你不能自己假設，機會率會平均分配於各個可能性。
而這個「故亂假設機會均等」的思考錯誤，往往形成塵世間很多悲劇，例如選錯配偶和選錯事業。「我加入這一行，要麼成功，要麼失敗。所以，我成功的機會有一半。」那即使不是顯意識的思考，大概也會是潛意識的想法。
這個錯誤來自，不必要地選擇無知。正當的做法是，先做功課，先做好資料搜集。以自己當時可以得到，最多和最準確的資訊，去評價自己，加入某一行時，成功和失敗的機會率，各佔多少。即使那個機會率不會十分詳細，例如「成功的機會是 57%」，你也至少要有個大概，知道成功的機會較大，還是失敗。如果成功的機會較大，是約略大多少呢？是不是大到，值得你投資未來五年的人生，去作嘗試呢？
雖然，那也不保證一定成功，但是至起碼，即使錯了，也可以問心無愧。而且，如果你是在做足功課的情況下失敗，你吸收到的知識經驗，將會是最豐富的。那將大大提高你，未來成功的機會率。
— Me@2012.11.19
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2012.11.19 Monday (c) All rights reserved by ACHK
機會率悲劇 1.1
Monty Hall problem 1.1
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
（安：「蒙提霍爾問題」（Monty Hall problem）十分有趣。有趣的地方在於，一方面，大部分人都會答錯；另一方面，即使知道了答案及其運算方法，大部分人都仍然接受不到，因為答案嚴重違反一般人的直覺。甚至，很多受過「機會率」正式訓練的人士，都誤墮這個「機會率陷阱」。
「蒙提霍爾問題」的劇情是，有關一個「開門抽獎遊戲」。遊戲的大局是，在一位遊戲參加者的面前，會有三扇門。其中一扇門的後面，有一輛名貴房車。另外兩扇間後面，各有一隻山羊。
首先，主持人會叫那位參賽者，選擇其中一扇門。然後，主持人會打開那一扇門。遊戲的規則是，如果門後的是名貴房車，參賽者就可以得到它。
「蒙提霍爾問題」的第一個假設是，三扇門「門後有房車」的機會均等。換句話說，無論參賽者選擇哪一扇門，中獎的機會，同是三分之一。
「蒙提霍爾問題」的第二個假設是，參賽者選了一扇門後，主持人在第一步，不會打開那扇門，反而，會先打開另外兩扇門的其中一扇。然後，大家會發現，開了的門後面，有一隻山羊。亦即是話，房車位於未開的兩扇門的其中一扇後面。這時，主持人會給予參賽者，一次重新選擇的機會。那位參賽者可以維持選擇，或者改為要另一扇門。
「蒙提霍爾問題」是，這個情況下，參賽者應否改變選擇？又或者說，參賽者如果改變選擇，可不可以提高他中獎的機會率呢？
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| This is a public domain image. |
In search of a new car, the player picks a door, say 1.
The game host then opens one of the other doors, say 3,
to reveal a goat and offers to let the player pick door 2 instead of door 1.
— Wikipedia on Monty Hall problem
一般人的想法是，既然選兩扇門中的任何一個，機會都是二分之一，即使轉換選擇，也不會增加勝算。
但是，答案竟然不是那樣。原來，維持選擇的中獎機會，只有三分之一。改變選擇的中獎機會，卻有三分之二。）
這個結果震撼的地方在於，它違反人們一個根深柢固，但通常也錯的直覺。大部人也以為，各個可能結果的機會均等。如果一件事只有兩個可能的結果，每個結果的機會率，就一定是二分之一。這個「機會均等假設」大錯特錯。
— Me@2012.11.18
2012.11.18 Sunday (c) All rights reserved by ACHK
機會率哲學 2.7.2
The problem of induction 1.7.2 | Paradox 7.2
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
（安：但是，你不能不考慮「機會率」。
例如，你發覺一粒骰子，一百次之中，全部一百次都是擲到「一」。那樣，你會認為，那一粒骰子不正常，不是公平的。你歸納到的規律是，那粒骰子次次也會擲到「一」。所以，你會預測，下次擲骰子的結果都是「一」。正如，因為以往的每天，太陽都由東邊升起，你自然會預期，明天都是那樣。這是一個「完全有規律」的例子。
又例如，你發覺一粒骰子，一百次之中，有九十次都是擲到「一」。你會覺得，「擲到一」的機會率，遠高於其他五個數字。你歸納到的規律是，那粒骰子傾向擲到「一」。所以，你會預測，下次擲骰子的結果都是「一」。這是一個「既不是完全沒有規律，亦不是完全有規律」的例子。一方面，這個事件並不是「完全不可預測」的，因為你相當有信心，骰子會擲到「一」。另一方面，這個事件亦不是「完全可預測」的，因為你的信心並不至於大到，願意用整副身家到擔保。
再例如，你發覺一粒骰子，一百次之中，有大概十六次是擲到「一」，而其他數字的出現次數，也是差不多。那樣，你會認為，那一粒骰子是正常公平的。這是一個「完全沒有規律」的例子。因為骰子對那六個數字，無所偏好，導致你「完全不可預測」，下一次會擲到哪一個數字。
但是，從另一層次看，「無所偏好」即是「隨機」。那樣，你就可以使用「機會率法則」。雖然你不可以預測，下一次會擲到哪一個數字，但是你可以宣稱，下一次擲到任何一個數字的機會率，都是六分之一。換句話說，如果你把骰子擲很多次，每個數字出現的次數，都會佔全部次數的大概六分之一。）
你的意思是，個別事件「完全不可預測」的話，即是在「個別事件層次」，完全沒有規律。那樣，如果提高一個層次，改為觀察「大量個別事件」，就反而會有明顯的規律。完全沒有規律的個別事件，即是「隨機事件」。既為「隨機事件」，就可以用「機會率」去處理。
又或者說，如果個別事件完全沒有「必然定律」，集體事件就會遵守「概然定律」。「概然」即是「大概而然」，亦即「集體而言」。「概然定律」，亦稱「機會率法則」。
— Me@2012.11.17
2012.11.17 Saturday (c) All rights reserved by ACHK
機會率哲學 2.7.1
The problem of induction 1.7.1 | Paradox 7.1
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
（安：Hans Reichenbach 講法的下半段是，如果自然現象根本沒有規律可言，就不會有任何方法，可以找到任何規律。那樣，即使找不到規律，也不是「歸納法」有錯。
這裡我不明白的地方是，何謂「完全沒有規律」呢？
我彷彿想像不到，有一個情況，可以真的「完全沒有規律」。）
你的意思是，「完全沒有規律」本身，都可以視為一個「規律」？
（安：大概是。）
那樣不行。有沒有「規律」，不純粹是感覺。你不可以隨便標籤，因為我們正在討論的「規律」，有明確意思。「有規律」是指「可預測」。如果一件事件是「不可預測的」，你就不可以宣稱它「有規律」。
（安：但是，你不能不考慮「機會率」。）
— Me@2012.11.15
2012.11.15 Thursday (c) All rights reserved by ACHK
機會率哲學 2.6
The problem of induction 1.6
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
任何一個人，即使不是科學家，都需要「預測將來」，除非他毋須做任何決定。所謂「做決定」，就是在眾多「可能未來」中，選定一個。如果沒有一定程度的「預測」，就不能分辨，哪些未來是「可能」，哪些未來是「不可能」。
除非宇宙的本質是「不可預測的」，否則，「歸納法」就一定可以助你，去「預測將來」。
（安：無錯。但是，我還有些地方不明白。
你剛才引述哲學家 Hans Reichenbach 所講，如果有任何其他方法，可以找到自然現象的規律，「歸納法」都可以找到。其實，我不太明白，何謂「其他方法」。
「歸納法」就是指，透過不斷的觀察和實驗，去找出「自然定律」，從而預測將來。我想像不到，還有「觀察」以外的方法，去了解自然世界。）
哲學家們並不是指，現時實際上，「歸納法」以外，還有其他可信可用的方法，去預測將來。他們是指，理論上可以有。
例如，你發覺一粒骰子，一百次之中，有九十次都是擲到「一」。那樣，你會認為，那一粒骰子不正常，不是公平的。你會覺得，「擲到一」的機會率，遠高於其他五個數字。所以，你會預測，下次擲骰子的結果是「一」。那就是「歸納法」的運用。
但是，你可以想像，有一位占卜師，毋須預先把那粒骰子擲一百次，而改為用占卜，就可以知道，那粒骰子傾向出現「一」。
而 Reichenbach 的意思是，如果利用（例如）占卜，就可以找到那粒骰子的規律，「歸納法」都可以找到，只要觀察的時間足夠長，收集的案例足夠多。
（安：跳高一個層次，即使你想求教於占卜，要衡量某位占卜師可不可靠，最終也要觀察他過往的表現。到頭來，又要使用「歸納法」。）
— Me@2012.11.12
2012.11.12 Monday (c) All rights reserved by ACHK
機會率哲學 2.5
The problem of induction 1.5 | 西瓜 6.5
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
即使沒有以上對「歸納法」的幾個辯解，而導致我們不可宣稱「歸納法合乎理性」，我們也不應該對「歸納法」，有不合理的期望，要求一些百分百保證，一定不會錯的預測。我們運用「歸納法」，是想得到一些「描述經驗世界的句子」，即是「綜合句」，而不是「重言句」。凡是「描述經驗世界的句子」，就一定有機會錯，那怕機會是微乎其微。
有些句子有意思，有些句子沒有意思。而有意思的句子之中，可再分成兩類：analytic propositions（重言句／恆真式）和 synthetic propositions（綜合句／經驗句）。
「重言句」只是概念之間的關係（relations of ideas）。例如：
1. 冰箱內有西瓜，或者沒有西瓜。
2. 我爺爺是我爸爸的爸爸。
「重言句」的好處是它絕對準確。不好處是它沒有任何信息內容，對世界沒有任何描述。
「綜合句」是對事實的陳述（matters of facts）。例如：
1. 冰箱內有西瓜。
2. 愛因斯坦是我爸爸的爸爸。
「綜合句」的不好處是有可能錯。好處是它有信息內容，對世界有描述。
— Me@2012.11.10
2012.11.10 Saturday (c) All rights reserved by ACHK
機會率哲學 2.4
The problem of induction 1.4 | 西瓜 6.4
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
過去會發生的事情，即使已重複發生了很多次，也不代表，將來會發生。正正是因為「預測」將來，不一定會百分百準確，我們對「歸納法」，要有所防範。無論是在日常生活，還是專業工作，既要為最好作準備，亦為最壞作打算。
例如，你過去幾十年，從未試過有大病，不代表將來不會有。所以要事先買保險，以防備未來可能突如其來的醫療開支。
又例如，你的電腦在過去五年，從未試過有故障，不保證將來不會有。萬一有損壞，你一大堆重要的資料，會化為烏有。所以要事先定期做好備份，即是任何重要資料，在任何時候，都要有幾份複本，儲存於不同地方的不同電腦，以防備未來可能突如其來的資料損毀。
再例如，科學家發表的研究結果，並不會只是來自一、兩次的實驗，而是會來自輕則數十次，重則成千上萬次的試探，以提防視「偶然」為「必然」，以提防視「特例」為「通則」。
又再例如，一款藥物推出市面前，一定會經歷鉅細無遺、數之不盡的臨床測試，以減低造成人命傷亡的機會率。
— Me@2012.11.09
2012.11.09 Friday (c) All rights reserved by ACHK
機會率哲學 2.3
The problem of induction 1.3 | 西瓜 6.3
這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。
第三種對「歸納法」的辯解，來自哲學家 Hans Reichenbach。
科學家的工作是，透過無數的觀測和實驗，即是「歸納法」，去提煉「自然定律」，用以解釋現有的現象，和預測將來的現象。但是，「歸納法」是沒有「必然性」的。過去會發生的事情，即使已重複發生了很多次，也不代表，將來會發生。之前的一大堆實驗結果，可能只是出於「偶然」，而不是來自什麼特定的「自然定律」。科學家最多只能「預測」，而不能百分百「保證」，下一個實驗結果，會跟之前的相符。
Hans Reichenbach 指出，在這個情況下，我們仍然使用「歸納法」，是因為我們有可能會贏，但不可能會輸。最壞的情況是，打和。
There is everything to win but nothing to lose.
究竟我們可不可以，透過過去的數據，去預測將來，而得到一定程度的準確度呢？那要視乎，這個宇宙有沒有規律。
宇宙有規律 = 世事有常 = 可預測的
宇宙沒有規律 = 世事無常 = 不可預測的
這個宇宙，要麼有規律，要麼沒有規律。有規律的話，使用「歸納法」，就一定可以找到那些規律；沒有規律的話，即使不用「歸納法」，也不會找得到。
換句話說，如果有任何其他方法，可以找到自然現象的規律，「歸納法」都可以找到。但是，如果自然現象根本沒有規律可言，就不會有任何方法，可以找到任何規律。那樣，即使找不到規律，也不是「歸納法」有錯，而是宇宙有病。
這個答法的好處是，它正正化解了人們對 「A. J. Ayer 答法」的質疑，詳細解釋了，究竟「歸納法」這個概念，是如何嵌入「理性」之中。
（安：你記錯了，那是「知識論」科的內容，而不是「哲學分析」科。）
— Me@2012.11.07
2012.11.07 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK
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