Past papers 26.2

Posted on December 24, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

那你們在下次見我時，就要遞交完成了的 1990 年 past paper。

你練習 past paper 時，記住要「計時間、計分數」，然後還要做改正，記低需要背誦的重點，於「魔法筆記」之中。不懂改正的地方，就正正是下次問我的問題。

你留意，那是頗辛苦的，因為每年的試卷，價值起碼六個小時。

（CPK：六個小時？）

不是嗎？每一年的高考的物理科，都有卷一和卷二。而它們各自的時限，都是三個小時。

（CPK：但是，高考的課程，還有大概有三分之一的課題，學校還未開始教。）

你不可理會這類事件。

（CPK：不理會？）

試想想，如果你要等所有課題，也完成授課，你就要等到明年的二月。到時，距離真正的高考，就只有一至兩個月的時間。那時才開始做 past paper（歷屆試題）的話，你就只有那一兩個月。記住，在那麼短的時間中，你還要有其他科目要處理。結果，每一科，你至多只可以做到，大概三年的 past paper。那和你「奪 A」目標的要求，相去甚遠。

正確的心態是，無論如何，你也先開始執行，做 past paper 的大計；不管怎樣，你也「計時間、計分數」，完成所有你已懂的題目。

如果你在缺少三分一課題的情況下，都仍然可以得到（例如）55% 的分數，你的進度就十分理想。

— Me@2012.12.24

Past papers 26.1

Posted on December 22, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

我先給功課你們。你想拿什麼 grade（成績等級）？

（LMC：可以拿什麼 grade？）

如果要拿到 A 級成績，你就要做足，總共 20 年的 past papers（歷屆試題）。

（CPK：吓？你要我們下次見面前，完成 20 年的 past paper？）

當然不是。我要計一計，你們應哪一年的 past paper 開始做。你們將在 2011 年參加高考。倒數 20 年，即是你應該大概由 1990 年的那一份，開始操練。那你們在下次見我時，就要遞交完成了的 1990 年 past paper。

— Me@2012.12.22

基礎問題

Posted on December 16, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

有時，越「簡單」的問題，反而越難解答。例如，如果有一名小孩問你，為何「3 乘 2 等如 6」，你可以答，因為

3 x 2 = 3 + 3 = 6

但是，如果他問你，為何「1 + 1 = 2」，你又好像不知從何回答。

（CSY：我曾經答，因為一個蘋果加另一個蘋果，等如兩個蘋果。但是，發問者又質疑，那兩個蘋果並不是完全一樣，為何可以將它們加在一起？）

— Me@2012.12.16

機會率哲學 5

Posted on December 9, 2012 by rpflee

Interpretations of probability | Tree diagram 2

For a fraction representing a probability, the denominator is the known.

In a tree diagram, the starting point is the known.

conditional probability

= changing the denominator

= changing the starting point of a tree diagram

— Me@2012.12.07

進步成本估算

Posted on December 8, 2012 by rpflee

這段改編自 2012 年 12 月 6 日的對話。

如果你想數學成績，有明顯的進步，你就要有基本的盤算。你要知道，大概每做多少道練習題目，你才會在考試中進步一分。然後，再問自己，你想進步多少分。　

如果你平均每做二十道題目，就會進步一分，而你想進步的分數是，至少十分的話，你就要在試前，試做和改正，起碼二百道題目。

— Me@2012.12.08

並聯電阻

Posted on December 4, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

計算並聯電路（parallel circuit）等價電阻（equivalent resistance）的公式是

1/R = 1/R_1 + 1/R_2

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

但是，除非有三個或以上的電阻，否則，千萬不要用這一個版本，因為運算太繁複。步驟越多，時間就越長，而犯錯的機會亦會越大。簡言之，費時失事也。

你應改為使用高速版：

R = R_1 R_2 / (R_1 + R_2)

$R = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$

這版本的背誦亦不難，只要你記住「相乘除以相加」便行。

— Me@2012.12.04

第 N 減 1 步

Posted on December 3, 2012 by rpflee

背誦製成品 10

這段改編自 2012 年 12 月 2 日的對話。

…

這一題用這個方法，就可以輕易完成。

（A：真的嗎？好像很難會想得到。）

你覺得很難，正正是因為你以為，需要由自己想得到。但是，現在我並不是要求你自己創作方法，而是要求你記得我教你的方法，然後在考試時見到同類題目時，可以高速拿出來運用。

情形就製作三文治前，我叫你準備材料，例如兩片麵包。如果你問：「真的嗎？好像很難才會弄到一片麵包。試想想，由種小麥開始，到製成一片麵包，有很多工序，很辛苦啊！」

我就會答：「但是，現在我並不是要求你，自己製作麵包，而是要求你，先買兩片麵包回來，然後用來製作三文治。」

記住，正常的考試，並不會要求你，由起點「第一步」開始，走到目的地「第 N 步」。大概而言，考試只會要求你由「第 N – 1 步」，走到「第 N 步」。只要你肯先行背誦，常用的高深方法，你在考試作答題目時，就可以由「第 N – 1 步」開始，輕易走到「第 N 步」。

— Me@2012.12.02

電流電壓 2

Posted on November 30, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

（CPK：那樣，這一點的 voltage 數值是什麼？）

你要小心一點。Voltage（電壓）在這裡是指 potential difference（電勢差）。有兩點的 potential 數值，才會有所謂「difference」。所以，你問「這一點」voltage 數值是什麼，是沒有意思的，除非在事前已經設定好參考點，即是 ground（接地點）。

你應該問，甲點和乙點之間的 voltage 是什麼？又或者，甲乙兩點之中，哪一點的 potential 高一點？

— Me@2012.11.30

機會率悲劇 1.2

Posted on November 19, 2012 by rpflee

Monty Hall problem 1.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

「機會均等假設」如果胡亂使用，會得到很多荒唐的結論。例如，小明跟媽媽說：「在這次考試，我的成績有兩個可能。要麼我考到全班第一，要麼我考不到全班第一。所以，今次我有一半的機會，考到全班第一。」

媽媽回答：「荒謬！」

小明再解釋：「『考到全班第一』和『考不到全班第一』已經窮盡了，這次考試結果的所有可能。你不會想像到，有第三個情況出現。」

那樣，小明的媽媽，應該如何反駁他呢？

只有兩個可能的結果，並不代表各自的機會率是二分之一。除非題目假設，又或者有以往的實驗數據支持，例如小明在以往的考試中，平次每兩次中，就會有一次考第一；否則，你不能自己假設，機會率會平均分配於各個可能性。

而這個「故亂假設機會均等」的思考錯誤，往往形成塵世間很多悲劇，例如選錯配偶和選錯事業。「我加入這一行，要麼成功，要麼失敗。所以，我成功的機會有一半。」那即使不是顯意識的思考，大概也會是潛意識的想法。

這個錯誤來自，不必要地選擇無知。正當的做法是，先做功課，先做好資料搜集。以自己當時可以得到，最多和最準確的資訊，去評價自己，加入某一行時，成功和失敗的機會率，各佔多少。即使那個機會率不會十分詳細，例如「成功的機會是 57%」，你也至少要有個大概，知道成功的機會較大，還是失敗。如果成功的機會較大，是約略大多少呢？是不是大到，值得你投資未來五年的人生，去作嘗試呢？

雖然，那也不保證一定成功，但是至起碼，即使錯了，也可以問心無愧。而且，如果你是在做足功課的情況下失敗，你吸收到的知識經驗，將會是最豐富的。那將大大提高你，未來成功的機會率。

— Me@2012.11.19

機會率悲劇 1.1

Posted on November 18, 2012 by rpflee

Monty Hall problem 1.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：「蒙提霍爾問題」（Monty Hall problem）十分有趣。有趣的地方在於，一方面，大部分人都會答錯；另一方面，即使知道了答案及其運算方法，大部分人都仍然接受不到，因為答案嚴重違反一般人的直覺。甚至，很多受過「機會率」正式訓練的人士，都誤墮這個「機會率陷阱」。

「蒙提霍爾問題」的劇情是，有關一個「開門抽獎遊戲」。遊戲的大局是，在一位遊戲參加者的面前，會有三扇門。其中一扇門的後面，有一輛名貴房車。另外兩扇間後面，各有一隻山羊。

首先，主持人會叫那位參賽者，選擇其中一扇門。然後，主持人會打開那一扇門。遊戲的規則是，如果門後的是名貴房車，參賽者就可以得到它。

「蒙提霍爾問題」的第一個假設是，三扇門「門後有房車」的機會均等。換句話說，無論參賽者選擇哪一扇門，中獎的機會，同是三分之一。

「蒙提霍爾問題」的第二個假設是，參賽者選了一扇門後，主持人在第一步，不會打開那扇門，反而，會先打開另外兩扇門的其中一扇。然後，大家會發現，開了的門後面，有一隻山羊。亦即是話，房車位於未開的兩扇門的其中一扇後面。這時，主持人會給予參賽者，一次重新選擇的機會。那位參賽者可以維持選擇，或者改為要另一扇門。

「蒙提霍爾問題」是，這個情況下，參賽者應否改變選擇？又或者說，參賽者如果改變選擇，可不可以提高他中獎的機會率呢？

This is a public domain image.

In search of a new car, the player picks a door, say 1.

The game host then opens one of the other doors, say 3,

to reveal a goat and offers to let the player pick door 2 instead of door 1.

— Wikipedia on Monty Hall problem

一般人的想法是，既然選兩扇門中的任何一個，機會都是二分之一，即使轉換選擇，也不會增加勝算。

但是，答案竟然不是那樣。原來，維持選擇的中獎機會，只有三分之一。改變選擇的中獎機會，卻有三分之二。）

這個結果震撼的地方在於，它違反人們一個根深柢固，但通常也錯的直覺。大部人也以為，各個可能結果的機會均等。如果一件事只有兩個可能的結果，每個結果的機會率，就一定是二分之一。這個「機會均等假設」大錯特錯。

— Me@2012.11.18

歸納筆記 2.2

Posted on November 16, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

試想想，如果你有在臨考前背誦「魔記筆記」，又怎可能在考試時「臨場遺忘」，內裡記載的常用技巧呢？

你們可能會問：「又怎可能在半小時內，把『魔法筆記』的所有內容，都閱讀一次呢？」

你留意，你現在手上的「魔法筆記」，並不是「真身」，而只是第一個版本。如果你跟足「魔法筆記方法」的劇情，臨考試前「魔法筆記」，一定會很薄。「魔法筆記」的原意，是把課程內容的（例如）四百頁，歸納成二百頁，成為第一個版本。然後，再把那二百頁，歸納成一百頁，成為第二版，如此類推。臨考試前的「魔法筆記」，應該只有少於五十頁。

另外，保證準時的唯一方法，就是大大提早到達。考試當日，正常人也會十分緊張，會提早出門，以防有突發交通事故。如果行程順利，你會在早於開考前的一個小時，就到達試場。所以，可用於背誦筆記的時間，通常也不只半小時那麼少。　

— Me@2012.11.16

歸納筆記 2.1

Posted on November 14, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

…

這個方法，只作「娛樂」之用。考試時，就應該用剛才的速成方法，以節省時間。又或者，兩個方法也用，以作驗算。

（HYC：但是，這一題我只會想到正常的，慢一點的方法。）

那你又毋須要求，自己會發明到那個速成方法。你現在試試用一次，然後把它記載於「魔法筆記」之中，考試時就自然會記得，因為根據「魔法筆記」的設計，你除了在平日要背誦外，在臨考試前的半小時，還要高速瀏覽一次，提一提醒自己。

（CYW：但是，我一到考試臨場緊張時，很多時也會忘記，必須的技巧。有沒有方法可以記得呢？）

我不斷推介的「魔法筆記」方法，正正是要徹底解決這個問題。而這個方法的重點是，必須有系統地，長期反覆背誦，考試必須的知識和技巧。試想想，如果你有在臨考前背誦「魔記筆記」，又怎可能在考試時「臨場遺忘」，內裡記載的常用技巧呢？

你們可能會問：「又怎可能在半小時內，把『魔法筆記』的所有內容，都閱讀一次呢？」

— Me@2012.11.13

至少兩個不同 1.2

Posted on November 11, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

有三個方格，你要填上三個英文字母。

_ _ _

每一格都是由 {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J} 十個字母中，抽其中一個出來。字母可以重複被抽中，例如，第一格是 A 的話，第二格都可能是 A。假設整個過程是隨機的，即是各個可能性的機會均等。那樣，「至少有兩個字母不同」的機會率是多少？

…

（HYC：如果不用你的速成方法，可以怎樣做？）

P（「三個之中，至少有兩個字母不同」）

= P（「三個也不同」或者「其中兩個相同，而餘下的一個不同」）

由於這兩種情況「互斥」，不可能同時發生，所以可以化作加數。

P（「三個之中，至少有兩個字母不同」）

= P（「三個也不同」）+ P（「其中兩個相同，而餘下的一個不同」）

= (1)(9/10)(8/10) + (1)(1/10)(9/10)（3_C_2）

（CYW：為什麼第二項會多了一個「3_C_2」？）

第二項的意思是，

P（「其中兩個相同，而餘下的一個不同」）

= P（「第一、二個相同，而第三個不同」）乘以「三選二」

因為「其中兩個相同」，可以有幾個可能，包括「頭兩個相同」、「尾兩個相同」或者「頭尾相同」。換句話說，三個之中選兩個相同，共有 3_C_2 種方法。「3_C_2」即是「三選二」，等如 3。

結論是

P（「三個之中，至少有兩個字母不同」）

= (1)(9/10)(8/10) + (1)(1/10)(9/10)（3_C_2）

= 0.99

這個方法，只作「娛樂」之用。考試時，就應該用剛才的速成方法，以節省時間。又或者，兩個方法也用，以作驗算。

— Me@2012.11.11

至少兩個不同

Posted on November 8, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

有三個方格，你要填上三個英文字母。

_ _ _

（HYC：好像有很多個可能，例如：AAB、ABB、BBA 和 EFG 等等。）

你可以試試這樣想：「至少兩個不同」即是「不是全部相同」。

P(at least two are different)

= P(not all the same)

= 1 – P(all the same)

你先計「全部相同」的機會率，然後用「一」去減它就可以。　

— Me@2012.11.08

The Divine Michelangelo, 2

Posted on November 4, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

If you knew how much work went into it, you would not call it genius.

如果你知道我付出過多少努力，你就不會再覺得我是天才了。

— Michelangelo Buonarroti

成龍電影的好處是，通常在電影完結後，都會播出該部電影的「NG 鏡頭」，令觀眾知道，電影中的每一個有型動作，都是來自拍攝時，數十次的嘗試。

現實世界中，你所見到的「天才」，其實都是那樣：做事不行時，就繼續試，試到行為止。然後，將那些不行的情節「刪除」，不讓世人知道。那樣，世人就會有個錯覺，以為那些「天才」的成就，真的是來自「一步登天」。

例如，達文西（Leonardo da Vinci）畫一隻手時，要先畫四十幅草稿：一幅畫外形、一幅畫骨骼和一幅畫血管等等。之後，他才會正式畫那一隻手。[1]

又例如，「文藝復興藝術三傑」中的另外一傑，是米高安哲羅（Michelangelo）。他是一位畫家、雕刻家和建築師。他在晚年時，刻意把一生之中的所有草稿燒毀。另外，再把任何未完成或者未臻完善的作品，都一一刪除。他只容許自己最好的一面，留給歷史。那樣，他就為自己，塑造了一個「神人」的形象。

知道這一點後，你們就不要再被人欺騙。如果有一位同學在考試得滿分，而他又宣稱，他不是太用功的話，他大概是在說謊。

— Me@2012.11.04

[1] His continued investigations in this field occupied many pages of notes, each dealing systematically with a particular aspect of anatomy. It appears that the notes were intended for publication, a task entrusted on his death to his pupil Melzi.　

— Wikipedia on Science and inventions of Leonardo da Vinci

機會率應試 1.5

Posted on November 2, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

（CYW：我思考機會率題目時，時常都會數漏了一些 cases（情況/事件的可能性）。那樣 … … 我不知如何問。）

不要緊，我大概估計到，你想問什麼。解決的方法是，你記錄下自己的錯誤，用以提醒將來的自己，不要再犯同一個錯誤。

（CYW：那我豈不是要記錄很多東西？）

無錯。你這個講法非常有見地。考試致勝之道是

always make new mistakes

（不斷犯新錯）

這兒有兩句。你看不看到有兩句？

第一句是「_always_ make new mistakes」。第二句是「always make _new_ mistakes」。要成功，一來要不斷不停地犯錯，二來要保證每個錯誤都是全新的。同一個錯誤，不可犯多過一次。留意，「全新」的意思是，不單是相對於自己來說，而且是相對於「全人類」來說。亦即是話，即使不是自己犯錯的運算錯誤，如果你已經見證過其他同學犯過，那對你來說，都是「舊錯誤」，不容再犯。

「為何那個同學，在考試時不會犯錯呢？」因為他在家裡大量做題目，把考試時人類所有可能犯的錯誤，都事先犯過一次，導致在考試時，對那些錯誤，都有免疫力。當然，他為了塑造一個「神人」的形象，通常也不會給你知道，家中溫習時的慘痛經歷。

情形就好像，「為什麼電視劇中的演員，說話十分暢順，從來沒有口吃的情況呢？」同一個場景，同一個「鏡頭」，同一句對白，電視台會不斷重複拍攝，直到「完成」為止。演員的說話暢順，只不過是電視台把所有「NG 鏡頭」都刪除罷了。

— Me@2012.11.02

機會率應試 1.4

Posted on October 31, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

「基礎類型」就好像是「積木方塊」；而「組合化身」就即是那堆「積木方塊」，所砌成的東西。「砌法」有很多，「積木」有很少。那如何令到自己，清晰看到那些「積木方塊」呢？

最理想是有理想的老師教你，直接給予你那些「積木方塊」。另外，你亦可以透過對比不同題目。例如，這題和那題的外表，雖然大大不同，但是，都同樣要用到「技巧甲」。那樣，「技巧甲」就是其中一塊「重要積木」。

我們之所以要有一雙眼，而不是一隻，是為了在任何時間，都可以在同一時刻，從同一個客觀環境中，接收到兩個稍為不同的主觀影像。從左右影像的差別，腦部可以判斷環境中，各個物件的深度，即是距離自己有多遠。兩隻眼看東西，才會有明顯的立體感。同理，透過對比同一個章節中的不同題目，你可以明確判斷，各個技巧的相對重要程度。亦即是話，哪些是核心？哪些是次要？哪些是技節？哪些是不相干？

你不用太擔心，因為那不算是額外的工作。我提議的「魔法筆記」系統，已經「內置」了「對比題目」的功能。如果你平日會做大量題目，而又習慣了每題收集重點的話，那些機會率題目的「基礎類型」，自然會盡收於你的「魔法筆記」之中。

— Me@2012.10.31

機會率應試 1.3

Posted on October 29, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

或者這樣，你試試不斷收集各種類型的機會率題目，於「魔法筆記」中。當你已經收集了四十類時，如果竟然再發現有第四十一類，你就應該退修這一科。

（CYW：退修這一科，豈不是會浪費了一年？）

浪費一年，總好過浪費兩年。

（HYC：Drop o左佢？！那樣，我會不夠科目升讀大學。）

那是最極端悲觀的情況，當然不易會發生。公開試中的機會率題目，大概不會有四十類那麼多吧。實情可能是有二十多類。如果只有二十多類，對年青人的頭腦來說，不會是困難，一定會記得到。

而且，我所講的「機會率題目類型」中的所謂「類型」，是指「基礎類型」。「基礎類型」即使不多，它們的組合可以千變萬化，可以有各式各樣的化身。換句話說，我要你收集的，是「基礎類型」，而不是它們的「組合化身」，除非是特別常見的「組合化身」。如果你發現往年的公開試中，機會率題目的類型，竟然有超過四十種的話，你大概是誤入歧途，不是真的在收集「基礎類型」。

— Me@2012.10.29

機會率應試 1.2

Posted on October 27, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

所以，你在平日溫習時，要盡量儲備多些案例，尤其是 past paper（歷屆試題）的案例。如果你在考試前，已經儲了二十種類型的機會率題目，而在考試時，竟然出現第二十一類的話，你不用太擔心，因為其他考生也會同樣驚慌失措。

然後，你要小心一點，真正的公開試歷屆試題，或者考試範圍，會不會有超多類型的機會率題目？

（CYW：我也不太清楚。）

— Me@2012.10.27

機會率應試 1.1

Posted on October 25, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

（CYW：這類題目好像真的很難。如果考試遇到這些題目，應該怎麼辦？）

那要視乎你在考試前，即是平日溫習時，有否做過這類題目。做過的話，可以試一試。未做過的話，未必需要做，因為對於機會率題目來說，如果做一類從來未遇過的，通常都會錯。

不信的話，你試想一想一些已經明白的題目類型，回憶第一次見到它們時的感受。其實是一頭霧水的。莫講話要運算到正確答案，有時連題目問什麼，也不是十分清楚。例如，剛才我們討論這一題時，是亂打亂撞，互相提點下完成的。考試時時間倉促，大概不能那麼奢侈。

那你如何知道一題，是否以前遇過類型的題目呢？

你可以嘗試做一做，做到多少得多少，做不到就算。

— Me@2012.10.25

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