功夫傻瓜

Posted on March 12, 2012 by rpflee

中學實驗報告 2 | 間時間表 3.2

這段改編自 2010 年 5 月 26 日的對話。

無論是你過份懶惰，還是你的老師過份勤力，都足以令你欠下功課鉅債。更加不幸的是，很多時，這兩種情況會同時發生。所以，深明「歸還功課」之道，至關重要。歸還功課的有效方法，可參考我「間時間表 2」和「間時間表 3」兩篇文章。

但是，如果考試臨近，就千萬不要期望，自己可以有足夠時間，去「追回」以前所有欠交的功課。

你要記住，做功課的最終目的，並不是「完成功課」。做功課的最終目的，是透過做功課，去奪取最多的學術知識和考試分數，從而升上大學。所以，真正重要的，並不是你完成了多少份功課，而是你入不入到大學。

即使你以前在校內，間中有欠交功課，如果公開試的成績上佳，一定會有大學取錄你。相反，即使你在校內，一份功課也沒有欠，如果公開試的成績不足，大概也沒有大學會取錄你。勤奮做功課，而成績仍然差，就足以證明，你是一個傻瓜。

不做傻瓜的話，你就要懂得權衡輕重，先做成本效益最高的東西。眾多功課之中，令你的考試分數提升得最多的，就是第一要務。如果時間不足，你就千萬不要企圖，去完成「所有」功課的「所有」部分。你真正必須「完成」的，是第一要務。其他功課，無論你有多麼掛念，都應暫時完全拋諸腦後，直到完成第一要務為止。完成了第一要務後，才開始第二要務，如此類推。

— Me@2012.03.12

逃避發問

Posted on March 8, 2012 by rpflee

有東西不明白，就應該盡量立刻發問。千萬不要有一個逃避的心態：

在學校有東西聽不明白，就打算回家才慢慢看教科書；在家裡有東西看不明白，就打算回校才問老師。

結果，被這個循環的邏輯結構鎖死了。不明白的東西，永遠也不明白。

— Me@2012.03.08

反轉意圖

Posted on March 7, 2012 by rpflee

種子論起點 14.3

這段改編自 2010 年 3 月 20 日的對話。

「種子論」的其中一個可能名字，是「paradoxical intention」（反轉意圖）。

（安：什麼意思？）

例如，當我失眠時，如果刻意迫令自己入睡，反而會更加不能入睡。相反，如果我任由自己繼續睡不著，反而會有機會成功入睡。

入睡的意圖，會增添自己的壓力，令自己緊張起來，導致適得其反。放棄入睡的意圖，會去除自己的壓力，令自己放鬆下來，入睡的機會自然會大增。

（安：那只是「放棄意圖」，而不是「反轉意圖」。）

我有「反轉意圖」的版本。

當你失眠時，身體維持住躺在床上的狀態。但是，你要張開眼睛，心裡迫令自己，千萬不要入睡。那樣，你就有很大機會，在不知不覺間睡著。

但是，「反轉意圖」所描述的，只是「種子論」的一個小部分。

— Me@2012.03.07

Enjoy everything, need nothing, 2.2

Posted on February 28, 2012 by rpflee

種子論起點 12.3 | 兩次測驗 2

有心栽花花不香，無心插柳柳成蔭。當你「需要」一樣東西時，你就會失去它。

又例如，當你「需要」得到好成績時，你就會失去它：你的成績即使不太差，亦一定不會是最好。

如果你「需要」有好成績，才會感到有自信的話，每次在學業上遇到挫折時，你都會覺得那是對自身人格和自我價值的一個否定。那樣，溫習時，你會戰戰兢兢，自然不能得心應手；考試時，你會惶惶不安，自然不可揮灑自如。沒有豁達的心靈，就沒有靈活的頭腦。你一定不會是一個一流的學生。

正確的心態是，謀事在人，成事在天。你要知道，沒有人可以控制到，究竟自己拿不拿到好成績，因為影響成績的因素，實在有不少。你唯一可以做，唯一可以「控制」的，就是運用最好的策略，把試前十分有限的溫習時間，發揮至最大的功效，盡量提高「拿到好成績」的機會率。

在考試臨場作答時，你要使用同樣的心理結構。你可以控制的，是盡力作答，拿得一分得一分，從而提高「成功」的機會率。至於最終成不成功，或者最終拿到多少分，則完全不在你的控制範圍以內。

把手緊握什麼都沒有把手放開你得到一切 — 臥虎藏龍

— Me@2012.02.28

Multinomial coefficient

Posted on February 19, 2012 by rpflee

二項式係數 3.2 | Binomial coefficient 3.2

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

假設要把 15 個蘋果分成 3 袋。第一袋有 3 個，第二袋有 2 個，而第三袋有 10 個。那樣，有多少個分配方法呢？

你可以用比「二項式係數」更先進的「多項式係數」（multinomial coefficient）去運算。「多項式係數」公式的結構，和「二項式係數」公式的結構一模一樣。即使你沒有刻意背誦，亦會很容易記得。

{15 \choose 3, 2, 10} =

(15!)
————- =
(3!)(2!)(10!)

30030

分子的「15!」代表總共有 15 個蘋果。分母有三個因子，代表要分成三袋。第一個因子是（3!)，代表第一袋要有 3 個蘋果。第二個因子是（2!)，代表第二袋要有兩個。第三個因子是（10!)，代表第三袋要有 10 個。

${15 \choose 3, 2, 10}= \frac{15!}{3! 2! 10!}$

— Me@2012.02.19

大地之韻律

Posted on February 18, 2012 by rpflee

曲: Mathematics

詞: Physics

2009.01.16 Friday (c) ACHK

二項式係數 3.1

Posted on February 17, 2012 by rpflee

Binomial coefficient 3.1

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

nCr 的數值代表，如果要從 n 件物件中選 r 件出來，有多少個可能性。例如，從 5 個蘋果中，選 3 個出來的話，有多少種選擇呢？答案是 5C3，即是「5 選 3」，等於 10。

nCr 的另一個詮釋是，如果要把 n 件物件分成兩組，一組有 r 件，而另一組有 (n – r) 件的話，有多少個可能性。例如，假設要把 5 個蘋果分成兩袋。一袋有 3 個，而另一袋有 2 個。那樣，有多少個分配方法呢？答案是 5C3，即是「5 選 3」，等於 10。

只要你把 5C3 的公式寫出來，「分成兩組」的意思會格外明顯。　

5C3 =

(5!)
——–
(3!)(2!)

分子的「5!」代表總共有 5 個蘋果。分母有兩個因子，代表要分成兩袋。第一個因子是（3!)，代表第一袋要有 3 個蘋果。第二個因子是（2!)，代表第二袋要有兩個。

在這個 nCr 的詮釋下，「 nCr = nC(n-r) 」的原因一目了然。

— Me@2012.02.17

二項式係數 2.1

Posted on February 13, 2012 by rpflee

Binomial coefficient 2.1

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

假設，有一個 3 乘 4 的長方形，由 9 個小正方形組成。

A
_ _ _ _
|_|_|_|_|
|_|_|_|_|
|_|_|_|_|
B

如果你要沿著格線，由長方形的左上角（A）走到去右下角（B），總共有多少條可能的路線？

無論你走哪一條路線，你總共要走 7 步。而那 7 步當中，一定有 4 步是水平，3 步垂直的。所以，我們可以把原本的問題化成：7 步當中，要選擇 4 步走水平的話，總共有多少個可能性？

答案明顯是 7C4，即是「7 選 4」，等於 35。結論是，總共有 35 條可能的路線。

— Me@2012.02.13

二項式係數 1.2

Posted on February 11, 2012 by rpflee

Binomial coefficient 1.2

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

其實，你毋須透過任何複雜的運算（例如「數學歸納法」），而單靠簡單的思考推理，都可以嚴謹推導得到，只要你對「二項式定理」和「nCr」的 physical meaning（實質意義）足夠了解便行。

首先，你要知道，因為 (x+y)^4 本身是 4 次方，所以展開以後，每一項也是 4 次方的，即是由 4 個英文字母相乘而成。分別是，每一項的 4 個英文字母之中，x 的數目不同。而 y 的數目，亦會項項不同，因為 y 的數目，等於 4 減 x 的數目。例如，有 3 個 x 相乘的話，該項就同時有 1 個 y 。

那樣，總共有多少項是由 3 個 x 和 1 個 y 相乘而成的呢？

其中一種方法是，直接展開 (x+y)^4，把全部 16 項也列出來：

(x+y)^4

= (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)

= … + xxxy + … + xxyx + … + xyxx + … + yxxx + …

16 項之中，總共有 4 項，是由 3 個 x 和 1 和 y 組成的。結論是，x^3 y 的係數是 4。

更好的方法是，靠簡單的推理：

每一項也是 4 次方，即是有 4 個空格要填。

＿＿＿＿

4 個空格之中，要填 3 個 x，總共有多少個填法呢？

答案明顯是 4C3，即是「4 選 3」，等於 4。結論是，x^3 y 的係數是 4。

— Me@2012.02.11

二項式係數 1.1

Posted on February 9, 2012 by rpflee

Binomial coefficient 1.1

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts.

Binomial theorem（二項式定理）的意思是，例如，

(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4

$(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4$

那些係數（1, 4, 6, 4, 1），為什麼會剛巧等如（4C0, 4C1, 4C2, 4C3, 4C4）呢？

${n \choose r} = C^n_r$

$(x+y)^4 = {4 \choose 0} x^4 + {4 \choose 1}x^3y + {4 \choose 2} x^2 y^2 + {4 \choose 3}x y^3 + {4 \choose 4} y^4$

— Me@2012.02.09

避免犯錯

Posted on February 7, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

避免犯錯的方法是，在平時先錯一次。

那樣，考試時，你就不會再犯同一個錯誤。

— Me@2012.02.07

Probability 2.4

Posted on February 3, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

我現在示範一下，如何寫你的那本「魔法筆記」。

第一句：

「P 方法」和「S 方法」的整體意義相同，因為它們是用來計同一道機會率題目的。如果你的運算無誤，它們的答案，會是相同的數值。

第二句：

但是，「P 方法」和「S 方法」的細節不同，因為「P 方法」的分子，並不是「S 方法」的分子；「P 方法」的分母，亦不是「S 方法」的分母。

第三句：

考試時，「P 方法」和「S 方法」中，你先選定其中一個，用來作答。然後，在草稿紙上，再用另一個方法，以作驗算。

第四句：

（這一點是額外的，可以不寫。）在「P 方法」中，分子和分母都是 permutation（排列）。而在「S 方法」中，分子和分母都是 combination（組合）。

第五句：

在「P 方法」中，分子和分母都是 permutation（排列），重視次序。但是，根據這一題的描述，次序並不重要。或者說，題目所要求的，是 combination（組合）。即使是次序不同，凡是「兩紅兩黑」的排列，你都要採納。那樣，有多少個排列，都符合「兩紅兩點」的規定呢？

4C2 （即是「4 選 2」，等於 6。）

所以，在「P 方法」中，在四個「機會率分數」之後，你要再乘以一個「4C2」。

即使是個別的要點，你也未必可以立刻明白。更何況，若要保證自己的機會率運算正確，你要每一點也理解清楚。一般人也不能做到。千萬不要做一般人。

— Me@2012.02.03

Probability 2.3

Posted on February 1, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

在完全熟習 P 方法和 S 方法之前，為免干擾自己的思考，最好不要研究，它們為何可以針對同一題題目，而得到同樣的答案。

在完全熟習之後，如果想研究一下，可以用這個提示：

在 P 方法中，分子和分母都是 permutation（排列）。而在 S 方法中，分子和分母都是 combination（組合）。

— Me@2012.02.01

Probability 2.2

Posted on January 28, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

假設你要由一副撲克牌中，抽四張牌出來，抽到兩張紅色和兩張黑色的機會率是多少？

已知整個過程是隨機的，即是各個可能結果的機會均等。

…

第二種運算方法，我稱之為「統計學方法」，簡稱「S」。

這個方法，是直接用一個分數，來獲得答案。

（＿）
（　）

首先，你要想像，總共有多少個抽法：

52 張牌中抽 4 張，共有 52_C_4 種抽法，所以分母是 52_C_4。

（＿＿＿）
（52_C_4）

52_C_4 即是「52 選 4」，等於 270725。

然後，你再想一想，在這 270725 個可能之中，有多少個是你想要的結果（兩紅兩黑）：

第一，你要巧合地從那 26 張紅牌之中，抽到兩張出來。那共有 26_C_2 種抽法。

第二，你要幸運地從那 26 張黑牌之中，抽到兩張出來。那共有 26_C_2 個可能性。

所以，分子是〔（26_C_2）（26_C_2）〕。

（26_C_2）（26_C_2）
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ = 0.3902
（52_C_4）

這個方法，是透過幾個「點算數目」來獲得答案，所以，我稱之為「統計學方法 S」。

「點算數目」的意思是，點算有多少個可能的結果，放在分母；然後，再點算眾多可能結果之中，有多少個是你想要的，放在分子。那樣，整個運算過程中，就不會出現多過一個分數。

$\frac{{26 \choose 2}{26 \choose 2}}{52 \choose 4} \approx 0.3902$

（CYW: 我不明白，為何有這兩種方法。或者說，我不明白，這兩種方法有什麼關係，為何它們可以得到同樣的答案？

還有，我們在考試作答時，用哪一個方法比較好？）

兩個方法的都要用：你作答時用一個，驗算時用另一個。

如果給我很多時間解釋，經過（例如）五重的「概念翻譯」，我可以明確指出，怎樣由「P 方法」的算式，走到「S 方法」的算式。但這個資料的價值不高，所以我暫時不講。遲一點你還有興趣的話，才再一次問我。

正正是因為「P 方法」和「S 方法」貌似截然不同，你幾乎沒有可能，錯在同一個地方。如果你用齊這兩個方法，都「竟然」計到同一個答案，你錯的機會就微乎其微。

據我現時所知，同時用 P、S 方法，不單是驗算機會率題目的最佳方法，而且是唯一方法。

機會率題目的好處是，如果你想得通，運算的步驟極少。即使你每一題機會率題目，也同時用這兩個方法運算，也不會花你太多時間。

— Me@2012.01.28

Probability 2.1

Posted on January 26, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

假設你要由一副撲克牌中，抽四張牌出來，抽到兩張紅色和兩張黑色的機會率是多少？

已知整個過程是隨機的，即是各個可能結果的機會均等。

這一題有兩種運算方法。

第一種運算方法，我稱之為「機會率方法」，簡稱「P 」。

首先，假想有四個空格：

（＿）（＿）（＿）（＿）

然後，你要抽四張撲克牌出來，逐一填滿那四個空格。為簡便起見，我們暫時先把題目改為：抽到「頭兩張是紅色牌」和「尾兩張是黑色牌」的機會率是多少？

（紅）（紅）（黑）（黑）

接著，你可以考慮，第一張抽到紅牌的機會是多少。因為原本有 52 張牌給你抽，所以第一個分數的分母是 52。那 52 張牌中，有 26 張是你所要的紅色牌，所以第一個分數的分子是 26。結論是，第一個分數是 26/52。

（26/52）（紅）（黑）（黑）

到你抽第二張牌時，只剩下 51 張，所以第二個分母是 51。那 51 張牌中，有 25 張是紅色的，所以第二個分子是 25。

（26/52）（25/51）（黑）（黑）

如此類推，你亦可以得到餘下的兩個分數。

（26/52）（25/51）（26/50）（25/49）

但是，原本的題目並沒有規定四張之中，哪兩張是紅色的，所以，我們要乘 4C2 於剛才的那個中途答案之上，因為，四張之中放兩張紅色牌，共有 4C2 種放法。4C2 即是「4 選 2」，等於 6。

（26/52）（25/51）（26/50）（25/49）4C2 = 0.3902

這個方法，是透過幾個「機會率分數」的相乘來獲得答案，所以，我稱之為「機會率方法 P」。

${4 \choose 2} = 6$

$(\frac{26}{52}) (\frac{25}{51}) (\frac{26}{50}) (\frac{25}{49}) {4 \choose 2} \approx 0.3902$

— Me@2012.01.25

Past papers 25.1

Posted on January 6, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 19 日的對話。

至於需要做多少年的 past paper（歷屆試題），那因人而異，並沒有一定的答案。但是，你至少要做最近五年的題目。

對於按課題（topic by topic）所做的 past paper，什麼年份的都可以做。只要在課程範圍內，即使是「遠古」時候的題目，也可以對你有很大得益。對於按年份（year by year）所做的，大部分人做大概十年左右就足夠。

我建議，最近五年的試題，你暫時不要做。那樣，你就可以在 study leave（試前休假）時，拿它們來做 mock 卷（模擬試題）。

— Me@2012.01.06

學問自傳 1.4

Posted on January 3, 2012 by rpflee

Presentation 基本原理 1.1.3

這段改編自 2010 年 5 月 19 日的對話。

有時，你有些東西不明白。但是，如果你把那些東西教給別人，導致別人明白的話，你自己之後就一定會十分明白，而且會永遠記得。知不知為什麼有這個現象？

原因是，那些知識原本是以別人的語言來表達。教導別人的過程中，無可避免地，你會把那堆知識翻譯成自己的語言。既然是自己創造的東西，你就當然會明白記得。

自己思考和教導別人的最大分別是：自己思考時，往往會因為同一時刻有超過一個意念彈了出來，而導致一片混亂；教導別人時，則要被迫每次只講一個要點。學生明白了一個思考步驟後，你才可以講下一個。所以，教導別人的主要副作用是，自己的思想會「突然」清晰了很多，甚至自己原本不明白的東西都會「無故」明白。

如果沒有同學可以假扮你的學生，你可以自己假扮。或者說，讀書，其實就是一個自己教導自己的過程。製作「魔法筆記」，就是把別人的語言，翻譯成自己的語言。

— Me@2012.01.03

遺失魔法筆記

Posted on December 30, 2011 by rpflee

學問自傳 1.3 | 種子意念 2.3.4

這段改編自 2010 年 5 月 19 日的對話。

記住，人最終只會記得自己的思想。不是自己創造的東西，有如橫財，只會悄悄的來悄悄的去。或者說，別人製作的歸納筆記，只是一本「歸納筆記」；自己製作的歸納筆記，才是一本「魔法筆記」。

所以，即使你的同學偷了你的「魔法筆記」，也會得物無所用。當然，你亦千萬不要遺失自己每科的那一本。遺失了的話，一方面，你借同學的那一本筆記來也沒有大用；另一方面，你亦沒有可能在短時間內，重新建構你的「魔法筆記」。

我建議你在平時就用手提電話的數碼相機，把魔法筆記的每一頁也拍下來。萬一遺失時，你都可以有一個存檔。額外的一個好處是，即使你沒有遺失魔法筆記，你亦可以隨時隨地，拿手提電話中的版本來閱讀背誦。

— Me@2011.12.30

學問自傳 1.2

Posted on December 27, 2011 by rpflee

種子意念 2.3.3

這段改編自 2010 年 5 月 19 日的對話。

試想想，如果只是要一本一般的歸納筆記，你可以在市面上立刻買到。為何我要你花那麼多的時間，自己弄一本出來呢？

別人的歸納筆記，對你來說用處不大，因為你不知那些精華句子背後的上文下理。那樣，你就不知道前因後果：你既不知道它們的重要之處，亦不知道它們的引申內容。

還有，即使是那些精華句子本身，在你的腦中，因為沒有被足夠的上文下理鎖緊，你很快會遺失。

相反，如果一本歸納筆記是你自己製作的，就自然沒有這個問題。例如，你竟然可以將那十頁的課文歸納成只有半頁，你一定是考慮過很多因素，做過很多取捨。經過自己深思熟慮的東西，近乎沒有可能忘記。

記住，人最終只會記得自己的思想。不是自己創造的東西，有如橫財，只會悄悄的來悄悄的去。

— Me@2011.12.27

Physics Town

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