大地之韻律 3

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物理數學 2

這段改編自 2013 年 12 月 27 日的對話。

（但是物理一定要用到，很多數學技巧。）

那是誤會。我年輕時候，就因為有這個誤會，誤了自己的前途。

我預科時期，主科是 Physics + Pure Maths + Applied Maths（物理、純數學 和 應用數學），所以很自然地，會把它們視為「三科數學」。換而言之，那時，我一直把物理科，當成其中一科數學來讀。後來發現，這個讀物理的態度是錯的。

正確的看法應該是：

1. 「數學」和「物理」的關係，就好像「歌曲」的「歌詞」的關係。它們關係十分密切，但卻是兩樣不同的東西。擅長「作曲」，不一定擅長「作詞」，反之亦然。

2. 「科技」的意義在於，令到很多沒有科學知識的平民百姓，都可以享受到「科學」成果。

以「科技」來比喻的話，物理科之中，如果你的物理老師負責任的話，會教你很多「數學科技」。「數學科技」的意思是，一些物理技巧，會令到一些不懂高深數學的人，都享受到「數學成果」。

3. 所以，如果你做一題物理 past paper（以往公開試） 題目時，竟然需要用到，很多高深數學技巧，即是你想錯了。你缺乏該題所需的「物理知識或技巧」，誤入歧途。

留意，這裡所講，「物理不會運用到，好多數學技巧」，是指「中學物理」。大學或以上程度物理另計。但是，即使大學物理間中需要，用到高深的數學技巧，「數學」在「物理科」之中，仍然只是「配角」。在「物理科」之中，「物理」才是「主角」。

— Me@2014.01.17

2014.01.17 Friday (c) All rights reserved by ACHK

大地之韻律 2

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曲: Mathematics

詞: Physics

Maths ~ Physics

Maths is the language; physics is the content.

— Me@2009.01.16

— Me@2008.10.20

2014.01.16 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.6

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這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

那樣，如果該物理系統，並不處於 A、B、C 狀態，即是不處於任何一個，「能量本徵態」的話，情況又會如何呢？

系統就會處於一個「非本徵態」，又稱「疊加狀態」。「疊加狀態」的意思是，「本徵態的疊加」。例如，系統可能處於

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

的一個狀態。

那樣，你在量度之前，並不會知道，你得到的能量數值是 1J （「本徵態 A」的對應數值），還是 3J （「本徵態 B」的對應數值）。但是，你會知道，你有 1/3 的機會率，會得到 1J； 而亦有 2/3 的機會率，會得到 3J。

換句話說，如果將該物理系統複製成，120 萬個相同系統，然後量度它們各自的能量數值的話，你會發現，將有大概 1/3 的成員，即是 40 萬個，帶有 1J 的能量；另外有大概 2/3 的成員，即是 80 萬個，帶有 3J 的能量。

因為現在不只有一點數據，而是有一大堆的數據，所以我們可以討論，這堆數據的「標準差」（standard deviation）。「標準差」是一個統計學的測量，用來反映一堆數據的分散程度。「標準差」越大，就代表一堆數據越分散；「標準差」越小，就代表一堆數據越集中。

例如，在剛才的例子中，總共有 120 萬個能量數值。當中大概 40 萬個是 1J； 而大概 80 萬個是 3J。如果要找到這堆數據的「標準差」，你就要先運算出它們的「平均值」：

\frac{400000(1J) + 800000(3J)}{1200000}

= 2.333J

有了這個「平均值」後，我們就可以找到「標準差」：

\sqrt{\frac{400000(1-2.333)^2 + 800000(3-2.333)^2}{1200000}}

= 0.9428J

那樣，我們就可以說：

「

處於

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

這個『能量疊加狀態』的一個物理系統，如果複製成很多個相同的系統，然後各自量度能量數值的話，那堆能量數據的分佈，所對應的『標準差』，將等於 0.9428J。  

」

因為這個論述十分費時，所以我們會將它簡化成：

「

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

的『標準差』是 0.9428J。

」

— Me@2014.01.14

2014.01.14 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

First versus Second Order Logic

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Conclusion

So, which logic is superior? It depends to some extent on what we need it for. Anything provable in first order logic can be proved in second order logic, so if we have a choice of proofs, picking the first order one is the better option. First order logic has more pleasing internal properties, such as the completeness theorem, and one can preserve this in second order via Henkin semantics without losing the ability to formally express certain properties. Finally, one needs to make use of set theory and semantics to define full second order logic, while first order logic (and Henkin semantics) get away with pure syntax.

On the other hand, first order logic is completely incapable of controlling its infinite models, as they multiply, uncountable and generally incomprehensible. If rather that looking at the logic internally, we have a particular model in mind, we have to use second order logic for that. If we’d prefer not to use infinitely many axioms to express a simple idea, second-order logic is for us. And if we really want to properly express ideas like “every set has a least element”, “every analytic function is uniquely defined by its power series” – and not just express them, but have them mean what we want them to mean – then full second order logic is essential.

— Completeness, incompleteness, and what it all means: first versus second order logic

— Stuart Armstrong

2014.01.11 Saturday ACHK

Past Tense vs Present Perfect Tense

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這段改編自 2013 年 12 月 18 日的對話。

1. Past Tense 是講現在之前，已知的一點時間，例如：

He ate his breakfast at 8am.

2. Present Perfect Tense 是講 Present 之前的一段時間。至於是現在之前的哪一刻，則沒有提及：

He has eaten his breakfast.

3. Past Perfect Tense 是講 Past 之中，某一點已知的時間，再之前的一段時間。至於是該點時間之前的哪一刻，則沒有提及：

At 9am, he told me that he had already eaten his breakfast.

Tell 用 past tense “told”，因為你知道他在 9am 時跟你說。

而 eat 則用 past perfect tense “had eaten”，因為他沒有告訴你，他在 9am 之前的哪一刻吃早餐。

— Me@2013-12-18 01:52 AM

2014.01.10 Friday (c) All rights reserved by ACHK

Monoid

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A monoid is a set with an associative binary operation that has an identity element. By the same technique as for groups, any monoid “is” a category with exactly one object and any category with exactly one object “is” a monoid.

— Wikibooks on Category Theory/Categories

2014.01.08 Wednesday ACHK

測不準原理 1.5

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這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

一個物理系統，是否正處於「本徵態」，要視乎相對於，哪一個物理量而言。一個物理系統，正處於物理量「甲」的「本徵態」，並不代表它正處於，另一個物理量「乙」的「本徵態」。換句話說，「甲的本徵態」，不一定是「乙的本徵態」。例如，「位置的本徵態」，不一定是「能量的本徵態」。

如果一個物理系統的狀態，有可能同時是物理量「甲」和物理量「乙」的 eigenstate（本徵態），「甲」和「乙」就為之 compatible observables（相容觀察量）。不可能的話，「甲」和「乙」就為之「不相容觀察量」。

你首先記住這一點。然後，我要跳去另一個問題 —— 如果一個物理系統，並不是處於（例如）能量的本徵態，我們會量度到什麼能量數值呢？

其實，你都會度到其中一個本徵態，所對應的數值，簡稱 eigenvalues（本徵值／特徵值）。

（安：什麼意思？

你的講法好像自相矛盾。不在「本徵態」，但又度到「本徵值」？）

無論一個物理系統，是否處於「能量本徵態」，你將會量度到的能量數值，都一定會是「能量本徵值」。

處於「能量本徵態」與否，具體的分別在於，如果系統是處於「能量本徵態」，你在量度之前，就可以知道，你會得到哪一個「能量本徵值」；但是，如果不是處於「能量本徵態」，你在量度之前，並不可能知道，你會得到哪一個「能量本徵值」。你可以知道的，就只是各個可能的「能量本徵值」，對應的出現機會率。

例如，假設一個物理系統，有「能量本徵態」 A、B 和 C，而順序對應的「能量本徵值」是 1J、3J 和 5J。

如果該物理系統正處於「本徵態 A」，你就一定會量度到能量數值 1J。換句話說，只要知道系統正處於「本徵態 A」，即使不用量度，你也知道系統當時，所帶的能量值是 1 焦耳。同理，如果該物理系統正處於「本徵態 B」，你就一定會量度到能量數值 3J；如果該物理系統正處於「本徵態 C」，你則一定會量度到能量數值 5J。

那樣，如果該物理系統，並不處於 A、B、C 狀態，即是不處於任何一個，「能量本徵態」的話，情況又會如何呢？

系統就會處於一個「非本徵態」，又稱「疊加狀態」。「疊加狀態」的意思是，「本徵態的疊加」。例如，系統可能處於

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

的一個狀態。

那樣，你在量度之前，並不會知道，你得到的能量數值是 1J（「本徵態 A」的對應數值），還是 3J（「本徵態 B」的對應數值）。但是，你會知道，你有 1/3 的機會率會得到 1J，有 2/3 的機會率會得到 3J。

— Me@2014.01.07

2014.01.07 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

V 和 U 的分別

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Electric Potential and Electric Potential Energy

請問 Electric Potential and Electric Potential Energy 有咩分別？怎樣分辨？

~~~~~~~~~~

簡單而言，

electric potential = electric potential energy per unit charge

V=\frac{U}{Q}

~~~~~~~~~~

詳細來說，電勢能 electric potential energy (U) 是一個 system（系統）的性質，而電勢 electric potential(V) 則是空間上某一點的性質。

例如，如果有 Q_1 和 Q_2 兩粒 charges（電荷），距離是 r 的話，這兩粒 charges 所組成的 system 就有 electric potential energy：

\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r}

由於 U 是這個 system 的性質，你並不可以問：「那樣，那些 potential energy 儲存在哪裡呢？」；因為 U 根本不是，儲存於空間上任何一點。我最多只能答，那些 electric potential energy 儲存在那個 system 之中。比喻說，你的老師讚你「聰明」。你並不可以問：「那樣，究竟我的智力，儲存在腦中的那一點？」

如果只有一粒 point charge（電荷）Q，就沒有 potential energy 可言，因為根本沒有一個 system 。但它會令到周圍形成一個 potential (V)。至於那個 potential 的數值是多少，則沒有答案，除非你指明，你是想問空間上的哪一點。

如果你想問的那一點，和 Q 位置的距離是 r，那一點（由於 Q 所做成的）potential 就是：

\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r}

記住，electric potential energy (U) 是一個 system 的性質；而 electric potential (V) 則是空間上某一點的性質，不同點有不同的數值，即使對於同一粒 Q 而言。

— Me@2014.01.04

2014.01.05 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.4

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這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

（安：你說「觀察者效應」，並不是「測不準原理」的核心內容。那樣，「測不準原理」的核心內容，又是什麼呢？）

量子力學之中，有些物理量，你是沒有辦法在量度之前，就透過預測，事先知道到它的數値。

（安：什麼意思？）

量子力學中，有一個術語，叫做 eigenstate（本徵態），意思是「本身帶有特徵的狀態」，簡稱「特別態」。例如，如果你正在考慮的物理系統，是一粒粒子，而該粒子正處於一個「位置的本徵態」，那樣，原則上，在量度那粒子之前，你就可以百分百準確地，預測到它在下一刻的位置。或者說，你毋須量度，也可以準確知道，那粒子在下一刻的位置。

但是，如果那粒子並不是，處於一個「位置的本徵態」，那樣，即使只在原則上而言，量子力學也不可以百分百準確地，運算到那粒子在下一刻的位置。量子力學可以運算到的，就只是那粒子在下一刻，在各個可能位置出現，對應的機會率。

一個物理系統，是否正處於「本徵態」，要視乎相對於哪一個物理量而言。一個物理系統，正處於物理量「甲」的「本徵態」，並不代表它正處於，另一個物理量「乙」的「本徵態」。換句話說，「甲的本徵態」，不一定是「乙的本徵態」。例如，「位置的本徵態」，不一定是「能量的本徵態」。

— Me@2013.12.25

2013.12.25 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

Deal only with natural numbers

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Fortunately for us, mathematicians of the twentieth century realized this problem and proposed solutions. In order to focus on the essential problems at hand, we will deal only with natural numbers, and functions on natural numbers. This turns out to not be a serious restriction since natural numbers are robust enough to encode many objects (after all, our modern digital computers work with only zeros and ones).

— Computability Theory

— Joe Mileti

2013.12.25 Wednesday ACHK

Make customers awesome

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1. You’re not a “tech company”—you’re a “make customers awesome” company

People don’t pay you because you have amazing programming skills and can write nginx configurations blindfolded. People pay you money because the product you sell to them saves them time, money, effort and nerves. It’s your job to make your customer more awesome. Every decision you make for your product and business should revolve around that.

— 5 things I’ve learned in 5 years of running a SaaS

— Thomas Fuchs

2013.12.24 Tuesday ACHK

機會率驗算 1.2

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這段改編自 2013 年 12 月 16 日的對話。

（問：在運算機會率題目時，怎樣可以知道，自己的思路有沒有錯呢？）

一方面，你盡量在每一題的機會率題目，也同時使用「P 方法」和「S 方法」，互作驗算。

另一方面，在用「P 方法」時，如果面對的是稍為複雜的題目，你要重點留意的，是畫好 Tree Diagram（樹形圖）。Tree Diagram 雖然是最原始，但同時亦是最有效的，機會率思考工具。

— Me@2013.12.24

2013.12.24 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

李政道

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李政道與楊振寧於1940年代末開始親密而富有成果的合作，兩人共合作發表32篇論文，但這個合作在1960年代初終止。兩人從此分道揚鑣，成為華人學術界的憾事。關於他們個人關係分裂的原因，李楊雙方偶有公開敘述，然而各有說辭，令外界對真實原因依然不得而知。李政道在1986年撰寫的「破缺的宇稱」一文中，對於李楊關係有生動的比喻。「一個陰暗有霧的日子，有兩個小孩在沙灘上玩耍，其中一個說：『喂，你看到那閃爍的光了嗎？』另一個回答說：『看到了，讓我們走近一點看。』兩個孩子十分好奇，他們肩並肩向著光跑去。有的時候一個在前面，有的時候另一個在前面。像競賽一樣，他們竭盡全力，跑得越來越快。他們的努力和速度使他們兩個非常激動，忘掉了一切。

「第一個到達門口的孩子說：『找到了！』他把門打開。另一個沖了進去。他被裡面異常的美麗弄得眼花繚亂，大聲地說：『多麼奇妙！多麼燦爛！』「結果，他們發現了黃色帝國的寶庫。他們的這項功績使他們獲得了重獎，深受人們的羨慕。他們名揚四海。多少年過去，他們老了，變得愛好爭吵。記憶模糊，生活單調。其中一個決定要用金子鐫刻自己的墓誌銘：『這裡長眠着的是那個首先發現寶藏的人。』另一個隨後說道：『可是，是我打開的門。』」

李政道接著說：「我和楊的合作在二十多年前結束了。它的價值，不需要更多的說明，就如我們已發表的科學論文所表現出的那樣，經得起時間的考驗。」

— 維基百科

2013.12.23 Monday ACHK