Probability 3.3

Posted on April 13, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 2 日的對話。

15 個錢幣之中，有 3 個是金的。假設你要由那 15 個錢幣之中，抽 4 個出來，抽到 3 個金幣的機會率是多少？

已知整個過程是隨機的，即是抽中各個錢幣的機會均等。

這一題有兩種運算方法。

第一種運算方法，我稱之為「機會率方法」，簡稱「P」。

…

我現在解釋，使用「P 方法」時，為何在那四個分數之後，要乘多一個 4C3。（4C3 即是「4 選 3」，等於 4。）

我剛才考慮，抽到「頭三個是金」和「尾一個非金」的機會率是多少？

（金）（金）（金）（X） = （3/15）（2/14）（1/13）（12/12）

但是，原本的題目並沒有規定 4 個錢幣之中，哪 3 個是金的，所以，我們還要用同樣的方法，思考其他的可能性：

（金）（金）（金）（X） = （3/15）（2/14）（1/13）（12/12）

（金）（金）（X）（金） = （3/15）（2/14）（12/13）（1/12）

（金）（X）（金）（金） = （3/15）（12/14）（2/13）（1/12）

（X）（金）（金）（金） = （12/15）（3/14）（2/13）（1/12）

只要把上面 4 個機會率加在一起，就是你要的最終答案。但是，那樣做會十分費時失事。有沒有快一點的做法呢？

有。只要利用一個簡單的觀察就可以。以上的 4 組數中的每一組，都是由 4 個分數相乘而成。雖然，例如，第一組的四個分數，並不同於第二組的那四個，但是，它們的分子，都是由那四個數「3、2、1、12」相乘而成的。唯一的分別，是次序不同。所以相乘以後，4 組數的數值是相同的。

（金）（金）（金）（X） = （72/32760）

（金）（金）（X）（金） = （72/32760）

（金）（X）（金）（金） = （72/32760）

（X）（金）（金）（金） = （72/32760）

既然是那樣，與其逐個運算，倒不如先計「（金）（金）（金）（X）」的機會率，然後乘以 4，直接獲取最終答案。

（3/15）（2/14）（1/13）（12/12）4 = 0.008791

那樣，為何我們會知道，總共只有 4 個排法？或者說，我們如何保證，沒有漏網之魚呢？

不同排法，代表那 3 個金幣，放於 4 格之中的不同位置。換句話說，你只需要思考，4 格之中放 3 個金幣，總共會有多少個方法。所以，答案是 4C3。 4C3 即是「4 選 3」，等於 4。

（3/15）（2/14）（1/13）（12/12）4C3 = 0.008791

我現在只是令你理解，為何在那四個分數之後，要乘多一個 4C3。到你自己做題目時，毋須思考得那麼詳細。你只需要懂得這樣想就可以：

4 個錢幣中，有 3 個是金的，而題目又沒有規定是哪 3 個，所以，要乘多一個 4C3。

— Me@2012.04.13

Probability 3.2

Posted on April 11, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 2 日的對話。

15 個錢幣之中，有 3 個是金的。假設你要由那 15 個錢幣之中，抽 4 個出來，抽到 3 個金幣的機會率是多少？

已知整個過程是隨機的，即是抽中各個錢幣的機會均等。

這一題有兩種運算方法。

…

第二種運算方法，我稱之為「統計學方法」，簡稱「S」。

這個方法，是直接用一個分數，來獲得答案。

（＿）
（　）

首先，你要想像，總共有多少個抽法：

15 個錢幣中抽 4 個，共有 15_C_4 種抽法，所以分母是 15_C_4。

（＿＿＿）
（15_C_4）

15_C_4 即是「15 選 4」，等於 1365。

然後，你再想一想，在這 1365 個可能之中，有多少個是你想要的結果（其中三個金）：

第一，你要巧合地從那 3 個金幣之中，抽到全部 3 個出來。那共有 3_C_3 種抽法。

第二，你要幸運地從那 12 個非金幣之中，抽到 1 個出來。那共有 12_C_1 個可能性。

所以，分子是〔（3_C_3）（12_C_1）〕。

（3_C_3）（12_C_1）
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ = 0.008791
（15_C_4）

這個方法，是透過幾個「點算數目」來獲得答案，所以，我稱之為「統計學方法 S」。

「點算數目」的意思是，點算有多少個可能的結果，放在分母；然後，再點算眾多可能結果之中，有多少個是你想要的，放在分子。那樣，整個運算過程中，就不會出現多過一個分數。

因為「P 方法」和「S 方法」貌似截然不同，你幾乎沒有可能，錯在同一個地方。如果你用齊這兩個方法，都「竟然」計到同一個答案，你錯的機會就微乎其微。

據我現時所知，同時用 P、S 方法，不單是驗算機會率題目的最佳方法，而且是唯一方法。

機會率題目的好處是，如果你想得通，運算的步驟極少。即使你每一題機會率題目，也同時用這兩個方法運算，也不會花你太多時間。

— Me@2012.04.11

Probability 3.1

Posted on April 9, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 2 日的對話。

15 個錢幣之中，有 3 個是金的。假設你要由那 15 個錢幣之中，抽 4 個出來，抽到 3 個金幣的機會率是多少？

已知整個過程是隨機的，即是抽中各個錢幣的機會均等。

這一題有兩種運算方法。

第一種運算方法，我稱之為「機會率方法」，簡稱「P 」。

P 方法：

首先，假想有四個空格：

（＿）（＿）（＿）（＿）

然後，你要抽四個錢幣出來，逐一填滿那四個空格。為簡便起見，我們暫時先把題目改為：抽到「頭三個是金」和「尾一個非金」的機會率是多少？

（金）（金）（金）（X）

接著，你可以考慮，第一個抽到金幣的機會是多少。因為原本有 15 個錢幣給你抽，所以第一個分數的分母是 15。那 15 個錢幣中，有 3 個是你所要的金幣，所以第一個分數的分子是 3。結論是，第一個分數是 3/15。

（3/15）（金）（金）（X）

到你抽第二個錢幣時，只剩下 14 個，所以第二個分母是 14。那 14 個錢幣中，還有兩個是金的，所以第二個分子是 2。

（3/15）（2/14）（金）（X）

如此類推，你亦可以得到餘下的兩個分數。

（3/15）（2/14）（1/13）（12/12）

但是，原本的題目並沒有規定 4 個錢幣之中，哪 3 個是金的，所以，我們要乘 4C3 於剛才的那個中途答案之上，因為，4 個之中放 3 個金幣，共有 4C3 種放法。4C3 即是「4 選 3」，等於 4。

（3/15）（2/14）（1/13）（12/12）4C3 = 0.008791

這個方法，是透過幾個「機會率分數」的相乘來獲得答案，所以，我稱之為「機會率方法 P」。

— Me@2012.04.09

唔識就飛 9

Posted on March 23, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 26 日的對話。

* This item was deleted.

Note. Figures in brackets indicate the percentages of candidates choosing the correct answers.

General note on item deletion

It is normal for the HKEAA to delete a small number of items from its multiple-choice question papers if they prove unsatisfactory. In practice, there are a number of reasons why this is considered necessary. By far the most common reason for deleting an item is that the item fails to discriminate between weak and able candidates — in other words, the majority of the candidates involved had to rely on guesswork in answering that question. If such an item is retained, the measurement process is rendered less effective. Where items have been deleted in the live papers, they are still included in this series of publications. They are indicated as deleted items. Such items may be discussed in the corresponding examination reports.

— HKEAA

在香港的中學公開試中，間中有一些多項選擇題（multiple choices），會在考試後被考試局刪除。換句話說，那些題目的分數，不會計算在總分之中。

某一題被刪除，其中一個可能的原因是，該題每個答案的選擇人數差不多，都是大概 25%。那就即是話，大部分人也是隨意估計的。那樣，該題就失去了考試的意義，因為它不能再用來，判別考生學問的高低。

對於任何一題，只要在指定時間內想不到，就應該立刻暫時放棄。你應先隨機填一個答案，待完成了其他題目，還有時間剩餘的話，才回來再想。除了我以前講的理由外，現在還多了一個考慮：

某一題所需的思考時間過長，並不一定是因為你的才能不及。那亦可能是該題過深，根本絕大部分其他考生也不懂做。如果你堅持要完成，即使最終得到正確答案，也會得不償失。一來，你已經用了過多的時間，導致自己來不及，妥善完成其他題目。二來，該題最終可能被取消。

留意，即使決定了暫時放棄某一題，你也一定要先隨機填一個答案，才去做下一題。在多項選擇題的答題紙上，留下空格，是極之危險的事情，因為那可能會導致你，往後題目的答案「轉移」，全部填錯位置。

— Me@2012.03.23

Multinomial coefficient

Posted on February 19, 2012 by rpflee

二項式係數 3.2 | Binomial coefficient 3.2

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

假設要把 15 個蘋果分成 3 袋。第一袋有 3 個，第二袋有 2 個，而第三袋有 10 個。那樣，有多少個分配方法呢？

你可以用比「二項式係數」更先進的「多項式係數」（multinomial coefficient）去運算。「多項式係數」公式的結構，和「二項式係數」公式的結構一模一樣。即使你沒有刻意背誦，亦會很容易記得。

{15 \choose 3, 2, 10} =

(15!)
————- =
(3!)(2!)(10!)

30030

分子的「15!」代表總共有 15 個蘋果。分母有三個因子，代表要分成三袋。第一個因子是（3!)，代表第一袋要有 3 個蘋果。第二個因子是（2!)，代表第二袋要有兩個。第三個因子是（10!)，代表第三袋要有 10 個。

${15 \choose 3, 2, 10}= \frac{15!}{3! 2! 10!}$

— Me@2012.02.19

二項式係數 3.1

Posted on February 17, 2012 by rpflee

Binomial coefficient 3.1

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

nCr 的數值代表，如果要從 n 件物件中選 r 件出來，有多少個可能性。例如，從 5 個蘋果中，選 3 個出來的話，有多少種選擇呢？答案是 5C3，即是「5 選 3」，等於 10。

nCr 的另一個詮釋是，如果要把 n 件物件分成兩組，一組有 r 件，而另一組有 (n – r) 件的話，有多少個可能性。例如，假設要把 5 個蘋果分成兩袋。一袋有 3 個，而另一袋有 2 個。那樣，有多少個分配方法呢？答案是 5C3，即是「5 選 3」，等於 10。

只要你把 5C3 的公式寫出來，「分成兩組」的意思會格外明顯。　

5C3 =

(5!)
——–
(3!)(2!)

分子的「5!」代表總共有 5 個蘋果。分母有兩個因子，代表要分成兩袋。第一個因子是（3!)，代表第一袋要有 3 個蘋果。第二個因子是（2!)，代表第二袋要有兩個。

在這個 nCr 的詮釋下，「 nCr = nC(n-r) 」的原因一目了然。

— Me@2012.02.17

二項式係數 2.1

Posted on February 13, 2012 by rpflee

Binomial coefficient 2.1

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

假設，有一個 3 乘 4 的長方形，由 9 個小正方形組成。

A
_ _ _ _
|_|_|_|_|
|_|_|_|_|
|_|_|_|_|
B

如果你要沿著格線，由長方形的左上角（A）走到去右下角（B），總共有多少條可能的路線？

無論你走哪一條路線，你總共要走 7 步。而那 7 步當中，一定有 4 步是水平，3 步垂直的。所以，我們可以把原本的問題化成：7 步當中，要選擇 4 步走水平的話，總共有多少個可能性？

答案明顯是 7C4，即是「7 選 4」，等於 35。結論是，總共有 35 條可能的路線。

— Me@2012.02.13

二項式係數 1.2

Posted on February 11, 2012 by rpflee

Binomial coefficient 1.2

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

其實，你毋須透過任何複雜的運算（例如「數學歸納法」），而單靠簡單的思考推理，都可以嚴謹推導得到，只要你對「二項式定理」和「nCr」的 physical meaning（實質意義）足夠了解便行。

首先，你要知道，因為 (x+y)^4 本身是 4 次方，所以展開以後，每一項也是 4 次方的，即是由 4 個英文字母相乘而成。分別是，每一項的 4 個英文字母之中，x 的數目不同。而 y 的數目，亦會項項不同，因為 y 的數目，等於 4 減 x 的數目。例如，有 3 個 x 相乘的話，該項就同時有 1 個 y 。

那樣，總共有多少項是由 3 個 x 和 1 個 y 相乘而成的呢？

其中一種方法是，直接展開 (x+y)^4，把全部 16 項也列出來：

(x+y)^4

= (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)

= … + xxxy + … + xxyx + … + xyxx + … + yxxx + …

16 項之中，總共有 4 項，是由 3 個 x 和 1 和 y 組成的。結論是，x^3 y 的係數是 4。

更好的方法是，靠簡單的推理：

每一項也是 4 次方，即是有 4 個空格要填。

＿＿＿＿

4 個空格之中，要填 3 個 x，總共有多少個填法呢？

答案明顯是 4C3，即是「4 選 3」，等於 4。結論是，x^3 y 的係數是 4。

— Me@2012.02.11

二項式係數 1.1

Posted on February 9, 2012 by rpflee

Binomial coefficient 1.1

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts.

Binomial theorem（二項式定理）的意思是，例如，

(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4

$(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4$

那些係數（1, 4, 6, 4, 1），為什麼會剛巧等如（4C0, 4C1, 4C2, 4C3, 4C4）呢？

${n \choose r} = C^n_r$

$(x+y)^4 = {4 \choose 0} x^4 + {4 \choose 1}x^3y + {4 \choose 2} x^2 y^2 + {4 \choose 3}x y^3 + {4 \choose 4} y^4$

— Me@2012.02.09

Probability 2.4

Posted on February 3, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

我現在示範一下，如何寫你的那本「魔法筆記」。

第一句：

「P 方法」和「S 方法」的整體意義相同，因為它們是用來計同一道機會率題目的。如果你的運算無誤，它們的答案，會是相同的數值。

第二句：

但是，「P 方法」和「S 方法」的細節不同，因為「P 方法」的分子，並不是「S 方法」的分子；「P 方法」的分母，亦不是「S 方法」的分母。

第三句：

考試時，「P 方法」和「S 方法」中，你先選定其中一個，用來作答。然後，在草稿紙上，再用另一個方法，以作驗算。

第四句：

（這一點是額外的，可以不寫。）在「P 方法」中，分子和分母都是 permutation（排列）。而在「S 方法」中，分子和分母都是 combination（組合）。

第五句：

在「P 方法」中，分子和分母都是 permutation（排列），重視次序。但是，根據這一題的描述，次序並不重要。或者說，題目所要求的，是 combination（組合）。即使是次序不同，凡是「兩紅兩黑」的排列，你都要採納。那樣，有多少個排列，都符合「兩紅兩點」的規定呢？

4C2 （即是「4 選 2」，等於 6。）

所以，在「P 方法」中，在四個「機會率分數」之後，你要再乘以一個「4C2」。

即使是個別的要點，你也未必可以立刻明白。更何況，若要保證自己的機會率運算正確，你要每一點也理解清楚。一般人也不能做到。千萬不要做一般人。

— Me@2012.02.03

Probability 2.3

Posted on February 1, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

在完全熟習 P 方法和 S 方法之前，為免干擾自己的思考，最好不要研究，它們為何可以針對同一題題目，而得到同樣的答案。

在完全熟習之後，如果想研究一下，可以用這個提示：

在 P 方法中，分子和分母都是 permutation（排列）。而在 S 方法中，分子和分母都是 combination（組合）。

— Me@2012.02.01

Probability 2.2

Posted on January 28, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

假設你要由一副撲克牌中，抽四張牌出來，抽到兩張紅色和兩張黑色的機會率是多少？

已知整個過程是隨機的，即是各個可能結果的機會均等。

…

第二種運算方法，我稱之為「統計學方法」，簡稱「S」。

這個方法，是直接用一個分數，來獲得答案。

（＿）
（　）

首先，你要想像，總共有多少個抽法：

52 張牌中抽 4 張，共有 52_C_4 種抽法，所以分母是 52_C_4。

（＿＿＿）
（52_C_4）

52_C_4 即是「52 選 4」，等於 270725。

然後，你再想一想，在這 270725 個可能之中，有多少個是你想要的結果（兩紅兩黑）：

第一，你要巧合地從那 26 張紅牌之中，抽到兩張出來。那共有 26_C_2 種抽法。

第二，你要幸運地從那 26 張黑牌之中，抽到兩張出來。那共有 26_C_2 個可能性。

所以，分子是〔（26_C_2）（26_C_2）〕。

（26_C_2）（26_C_2）
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ = 0.3902
（52_C_4）

這個方法，是透過幾個「點算數目」來獲得答案，所以，我稱之為「統計學方法 S」。

$\frac{{26 \choose 2}{26 \choose 2}}{52 \choose 4} \approx 0.3902$

（CYW: 我不明白，為何有這兩種方法。或者說，我不明白，這兩種方法有什麼關係，為何它們可以得到同樣的答案？

還有，我們在考試作答時，用哪一個方法比較好？）

兩個方法的都要用：你作答時用一個，驗算時用另一個。

如果給我很多時間解釋，經過（例如）五重的「概念翻譯」，我可以明確指出，怎樣由「P 方法」的算式，走到「S 方法」的算式。但這個資料的價值不高，所以我暫時不講。遲一點你還有興趣的話，才再一次問我。

正正是因為「P 方法」和「S 方法」貌似截然不同，你幾乎沒有可能，錯在同一個地方。如果你用齊這兩個方法，都「竟然」計到同一個答案，你錯的機會就微乎其微。

據我現時所知，同時用 P、S 方法，不單是驗算機會率題目的最佳方法，而且是唯一方法。

機會率題目的好處是，如果你想得通，運算的步驟極少。即使你每一題機會率題目，也同時用這兩個方法運算，也不會花你太多時間。

— Me@2012.01.28

Probability 2.1

Posted on January 26, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

假設你要由一副撲克牌中，抽四張牌出來，抽到兩張紅色和兩張黑色的機會率是多少？

已知整個過程是隨機的，即是各個可能結果的機會均等。

這一題有兩種運算方法。

第一種運算方法，我稱之為「機會率方法」，簡稱「P 」。

首先，假想有四個空格：

（＿）（＿）（＿）（＿）

然後，你要抽四張撲克牌出來，逐一填滿那四個空格。為簡便起見，我們暫時先把題目改為：抽到「頭兩張是紅色牌」和「尾兩張是黑色牌」的機會率是多少？

（紅）（紅）（黑）（黑）

接著，你可以考慮，第一張抽到紅牌的機會是多少。因為原本有 52 張牌給你抽，所以第一個分數的分母是 52。那 52 張牌中，有 26 張是你所要的紅色牌，所以第一個分數的分子是 26。結論是，第一個分數是 26/52。

（26/52）（紅）（黑）（黑）

到你抽第二張牌時，只剩下 51 張，所以第二個分母是 51。那 51 張牌中，有 25 張是紅色的，所以第二個分子是 25。

（26/52）（25/51）（黑）（黑）

如此類推，你亦可以得到餘下的兩個分數。

（26/52）（25/51）（26/50）（25/49）

但是，原本的題目並沒有規定四張之中，哪兩張是紅色的，所以，我們要乘 4C2 於剛才的那個中途答案之上，因為，四張之中放兩張紅色牌，共有 4C2 種放法。4C2 即是「4 選 2」，等於 6。

（26/52）（25/51）（26/50）（25/49）4C2 = 0.3902

這個方法，是透過幾個「機會率分數」的相乘來獲得答案，所以，我稱之為「機會率方法 P」。

${4 \choose 2} = 6$

$(\frac{26}{52}) (\frac{25}{51}) (\frac{26}{50}) (\frac{25}{49}) {4 \choose 2} \approx 0.3902$

— Me@2012.01.25

可愛數字

Posted on December 17, 2011 by rpflee

多項選擇題 | Multiple Choices 5.2

這段改編自 2010 年 5 月 19 日的對話。

假設你遇到一題，有關電路（circuit）的多項選擇題。如果你毫無頭緒，你可以試試代實際數值，落那些未知數（unknowns）之中。

例如，題目有一個電池的電壓（voltage）是 V。你可以把 V 的數值，假設是 24 volt。又例如，該題目中有，兩個電阻 R_1 和 R_2；而題目並沒有指明，R_1 和 R_2 的電阻值，是否相等。那就即是話，無論 R_1 和 R_2 是否相等，你都會得到，同一個答案。既然是那樣，你就不妨假設，它們相等，同為 6 ohm。

代數字的好處是，代了數字後，你要面對的，不再是代數符號，而是實際數字，大大簡化了運算。例如，當你見到 x + y 時，你最多只可以把它，「簡化」成 x + y。但是，如果你代（例如）x = 3 和 y = 4，你就可以把 x + y，寫成 7。簡化運算的好處，並不只是「簡化了運算」。隨之而來的是，你既提升之速度，亦增加了準確度。

留意，在電學的多項選擇題中，如果要靠「代數字」，來得到正確答案，就一定要記住三個要點：

第一，你代的數字不可以，違反題目所予的先決條件。例如，如果題目講明 R_1 大過 R_2，你就不要賦予它們，相同的數值。

第二，當你要代數字到，超過一個未知數時，你要保證，你所代的眾多數字，不會自相矛盾。例如，如果有一個電池，和一個電阻串聯在一起，你就有三個未知數 V、I 和 R。假設你代了，電壓 V = 15 volt、電流 I = 3 A 和電阻 = 4 ohm。你小心一點檢查的話，你會發現，這組數值自相矛盾，因為它違反了 V = IR，這個電學中的基本定義。（R = V/I 是電阻值 R 的定義。）

第三，代數字時，你應該盡量選，一些「可愛」的數字，例如 6、12、24 和 36 等。因為它們的因數多，給很多數也除得盡，你運算時出現分數的機會，會小一點。

— Me@2011.12.16