測不準原理 1.6

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

那樣,如果該物理系統,並不處於 A、B、C 狀態,即是不處於任何一個,「能量本徵態」的話,情況又會如何呢?

系統就會處於一個「非本徵態」,又稱「疊加狀態」。「疊加狀態」的意思是,「本徵態的疊加」。例如,系統可能處於

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

的一個狀態。

那樣,你在量度之前,並不會知道,你得到的能量數值是 1J (「本徵態 A」的對應數值),還是 3J (「本徵態 B」的對應數值)。但是,你會知道,你有 1/3 的機會率,會得到 1J; 而亦有 2/3 的機會率,會得到 3J。

換句話說,如果將該物理系統複製成,120 萬個相同系統,然後量度它們各自的能量數值的話,你會發現,將有大概 1/3 的成員,即是 40 萬個,帶有 1J 的能量;另外有大概 2/3 的成員,即是 80 萬個,帶有 3J 的能量。

因為現在不只有一點數據,而是有一大堆的數據,所以我們可以討論,這堆數據的「標準差」(standard deviation)。「標準差」是一個統計學的測量,用來反映一堆數據的分散程度。「標準差」越大,就代表一堆數據越分散;「標準差」越小,就代表一堆數據越集中。

例如,在剛才的例子中,總共有 120 萬個能量數值。當中大概 40 萬個是 1J; 而大概 80 萬個是 3J。如果要找到這堆數據的「標準差」,你就要先運算出它們的「平均值」:

\frac{400000(1J) + 800000(3J)}{1200000}

= 2.333J

有了這個「平均值」後,我們就可以找到「標準差」:

\sqrt{\frac{400000(1-2.333)^2 + 800000(3-2.333)^2}{1200000}}

= 0.9428J

那樣,我們就可以說:

處於

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

這個『能量疊加狀態』的一個物理系統,如果複製成很多個相同的系統,然後各自量度能量數值的話,那堆能量數據的分佈,所對應的『標準差』,將等於 0.9428J。  

因為這個論述十分費時,所以我們會將它簡化成:

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

的『標準差』是 0.9428J。

— Me@2014.01.14

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