19 | January | 2022 | Physics Town

能量空間版

這段改編自 2021 年 12 月 5 日的對話。

In special relativity, four-momentum is the generalization of the classical three-dimensional momentum to four-dimensional spacetime. Momentum is a vector in three dimensions; similarly four-momentum is a four-vector in spacetime. The contravariant four-momentum of a particle with relativistic energy $E$ and three-momentum $p = (p_x, p_y, p_z) = \gamma m \bf v$ , where $\bf v$ is the particle’s three-velocity and $\gamma$ the Lorentz factor, is

$\displaystyle{p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right).}$

The quantity $m \bf v$ of above is ordinary non-relativistic momentum of the particle and $m$ its rest mass. The four-momentum is useful in relativistic calculations because it is a Lorentz covariant vector. This means that it is easy to keep track of how it transforms under Lorentz transformations.

$\displaystyle{ p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}}$

— Wikipedia on Four-momentum

之前我講，動能（KE）是時間方向的動量（momentum）。

那是錯的。

正確的講法是，動量（momentum）是總能量（total energy ）的空間方向分量。（這裡，總能量（total energy ）的數值，已包含了動能（KE）部分。）

動量（momentum）不是真身，總能量（total energy ）才是。

那都是錯的，因為，這裡有歧義。

在這裡，「動量」（momentum）這個詞語，有三個可能的意思：

1. Newtonian momentum 牛頓動量

$\displaystyle{m \bf v}$

2. Three-momentum 相對論三維動量

$\displaystyle{\mathbf{p} = \gamma m \bf v}$ , $\displaystyle{\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

3. Four-momentum 時空動量（相對論四維動量）

$\displaystyle { p = \left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right) = \left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right) = \left({E \over c},\bf p \right) }$

如果「動量」是指，時空動量 $p$ 的話，總能量 $E$ 的確是，時間方向的分量。（而時空動量 $p$ 的空間分量，則是相對論三維動量 $\bf p$ 。）

留意，這裡的 $E$ 是總能量，而不是動能 KE。

在這個背景下，「動量」和「能量」被統一成「時空動量」。換句話說，動量 $\bf p$ 和能量 $E$ 其實是，時空動量 $p$ 中的，兩個部分。動量 $\bf p$ 就是，時空動量 $p$ 中是「空間動量」；而能量 $E$ ，則是「時間動量」。

但是，如果現在考慮的「動量」，不是指時空動量 $p$ 本身，而是它的數值 $\displaystyle{\| p \|}$ （或稱「向量長度」）的話，則會得到這些公式：

$\displaystyle{ \begin{aligned} \| p \| &= \sqrt{p \cdot p} \\ \\ p \cdot p &= -(p^0)^2 + (p^1)^2 + (p^2)^2 + (p^3)^2 \\ \end{aligned}}$

第零分量 $p^0$ 的平方 $(p^0)^2$ 的平方，之前要加負號的原因是，它並非純空間上的畢氏定理，而是時空版本的畢氏定理。而在這「時空畢氏定理」中，凡是屬於時間方向的，必須加負號。

那樣，時空動量數值平方 $\displaystyle{ p \cdot p }$ ，就會等於：

$\displaystyle{ \begin{aligned} p \cdot p &= -(p^0)^2 + (p^1)^2 + (p^2)^2 + (p^3)^2 \\ &= -(\frac{E}{c})^2 + (p_x)^2 + (p_y)^2 + (p_z)^2 \\ \end{aligned} }$

在這裡，如果沿用剛才，「能量 $E$ 是，時空動量 $\displaystyle{ \begin{aligned} p &= \left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right) \\ \end{aligned} }$ 中，在時間方向的分量」講話風格的話，我們可以把

$\displaystyle{ \begin{aligned} \| p \| &= \sqrt{p \cdot p} &= \sqrt{- \left(\frac{E}{c}\right)^2 + (p_x)^2 + (p_y)^2 + (p_z)^2} \\ \end{aligned} }$

說成：「能量 $E$ 的數值，構成了時空動量 $p$ 的數值 $\| p \|$ 的一部分。」換句話說，時空動量長度 $\| p \|$ ，由能量 $E$ 和三維動量 $\left( p_x, p_y, p_z \right)$ 兩部分組成。

這個講法雖然可以，但有少許弱點。

平時同「構成」或「組成」這字眼時，通常是指貢獻。但是，在 $\| p \|$ 的公式中，能量平方 $E^2$ 之前的，是負號；即是負累，不是貢獻。所以，很多時，物理學家會將該公式，調成

$\displaystyle{ \begin{aligned} \left(\frac{E}{c}\right)^2 &= (p_x)^2 + (p_y)^2 + (p_z)^2 - p \cdot p \\ \left(\frac{E}{c}\right)^2 &= |\mathbf {p} |^{2} - p \cdot p \\ \end{aligned} }$

留意一個有趣的事實：

$\displaystyle{ \begin{aligned} p \cdot p &= -m^{2}c^{2} \\ \end{aligned} }$

時空動量 $p$ 的長度平方 $\| p \|^2$ ，即是 $p \cdot p$ ，在任何情況下，對於任何粒子而言，都等於 $\left(- m^{2}c^{2}\right)$ 。（平方竟然為負數的原因是，這裡的「平方」只是比喻，並非平時數學中的二次方。）

那樣，能量平方 $E^2$ 就去了左邊，成了數式的主角。

$\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{E^2}{c^2} &= \mathbf p \cdot \mathbf p + m^2 c^2 \\ \end{aligned}}$

意思就可以講成：「能量（平方） $E^2$ 由兩個構成部：動態（平方）部分 $\mathbf p \cdot \mathbf p$ 和靜態（平方）部分 $m^2 c^2$ 。」

在這個上文下理中，（相對論版）三維動量，其實就是能量中的動態部分。運動，必在空間中。所以動態部分，就是「空間部分」。

而質量，則是能量中的靜態部分。所以，質量又稱「靜止能」。靜止，代表「不在空間中運動」；可以視為「只在時間方向移動」。所以靜態部分，就是「時間部分」。

概念上，精簡而言，能量是動量的一部分——能量 $E$ 是時間方向的動量（momentum）。精準來說，能量 $E$ 是時空動量 $\displaystyle { p = \left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right)}$ 中，時間方向的分量。

數值上，精簡而言，動量是能量的一部分——動量（momentum）是總能量（total energy ）的空間部分。精準來說，能量 $E$ 是的數值中，包括了（相對論版）三次元動量 $\displaystyle{\mathbf{p}}$ 的貢獻。

$\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{E^2}{c^2} &= \mathbf p \cdot \mathbf p + m^2 c^2 \\ \\ \frac{E}{c} &= \sqrt{|\mathbf p |^2 + m^2 c^2} \\ \end{aligned}}$

留意，暫時從來沒有提及過，動能 KE。剛才只是說，能量平方 $E^2$ 可以分成兩部分——動態部分（空間部分）和靜態部分（時間部分）。

$\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{E^2}{c^2} &= \mathbf p \cdot \mathbf p + m^2 c^2 \\ \end{aligned}}$

但是，暫時從來沒有提及過，要將能量 $E$ 本身，分成兩部分。

$\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{E}{c} &= \dotsb + \dotsb \\ \end{aligned}}$

動能 KE 是我們在，企圖將能量一次方 $E$ ，分成動靜兩部分時，出現的副產物。

剛才提過，因為在能量平方的公式 $\displaystyle{ \left( \frac{E^2}{c^2} = \mathbf p \cdot \mathbf p + m^2 c^2 \right) }$ 中，質量平方 $\displaystyle{ \left( m^2 c^2 \right)}$ 代表靜態部分，所以，質量又名「靜止能」。

而質量可稱為「靜止能」的另一個理據是，如果物體靜止，它的三次元動量 $| \bf p |$ ，就會等於零。那樣，

$\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{E^2}{c^2} &= \mathbf p \cdot \mathbf p + m^2 c^2 \\ &= 0 + m^2 c^2 \\ \end{aligned}}$

亦即是話，

$\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{E^2}{c^2} &= m^2 c^2 \\ \\ E &= m c^2 \\ \end{aligned}}$

所以，「質量 $m c^2$ 是『靜止能』」的意思是，物體靜止時，身上僅有的能量數值，就是質量 $m c^2$ 。

然後，透過這個「靜能」，就可以定義到，所謂的「動能 KE」。

清晰起見，「質量 $mc^2$ 」命名為「靜能 $E_r$ 」：

$\displaystyle{ \begin{aligned} E_r &= m c^2 \\ \end{aligned}}$

總能量 $E$ 是

$\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{E}{c} &= \sqrt{|\mathbf p |^2 + m^2 c^2} \\ \end{aligned}}$ 。

簡化起見，暫只考慮直線（即是一次元空間）上的運動。那樣，三次元動量 $\bf p$ ，就會降級成一次元動量 $p$ ：

$\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{E}{c} &= \sqrt{p^2 + m^2 c^2} \\ \\ E &= c \sqrt{p^2 + m^2 c^2} \\ \end{aligned}}$

然後，我們把總能量 $E$ ，減去靜能 $E_r$ 部分；把餘量命名為 $E_k$ ：

$\displaystyle{ \begin{aligned} E_k &= E - E_r \\ &= \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} - m c^2 \\ \end{aligned}}$

物理量 $E_k$ 的真正全名是「總能量 $E$ 減去靜能 $E_r$ 部分後的餘額」。由於這名字實在太長，我們簡稱它為「動能」；意思是，原本靜止的物體，因為運動而多了出來的能量。

原本靜止的物件，如果要令它，以速度 $v$ 運動，你就需要給予它，動能 $E_k$ 數值的能量。

留意，這個所謂的「動量 $E_k$ 」，是由人工合成，再由後天標籤而成的。

$\displaystyle{ \begin{aligned} E_k &= \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} - m c^2 \\ \end{aligned}}$

運算操作而言，動量 $E_k$ 就是那麼的論盡；並沒有精簡的版本，除非取其近似值。

理論架構來說，動量 $E_k$ 不是主角，只為配角；重要性並不如：

1. Four-momentum 時空動量

$\displaystyle{p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right)}$

2. Total energy 總能量

$\displaystyle{E = p^0 c}$

3. Three-momentum (3-space momentum) 相對論三次元空間動量

$\displaystyle{\mathbf{p} = \left(p^{1},p^{2},p^{3}\right) = \left( p_x, p_y, p_z \right)}$

$\displaystyle{\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v} = \frac{m \mathbf{v}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

這三位主角，各自會守恆不變：

1. 總能量 $\displaystyle{E}$ 會因為，時間的均勻性而守恆。「時間均勻性」的意思是，物理定律不會隨時間改變。

2. 空間動量 $\displaystyle{\mathbf{p}}$ 會因為，空間的均勻性而守恆。「空間均勻性」的意思是，宇宙間任何兩個不同地方，物理定律必為相同。

3. 結果，因為時間分量 $\displaystyle{\frac{E}{c}}$ 和空間分量 $\displaystyle{\mathbf{p}}$ 都守恆，時空動量 $\displaystyle{p=\left({E \over c},\mathbf{p}\right)}$ 作為整體，亦會守恆。

但是，動能 $E_k$ ，則從來沒有，對應的守恆定律，所以用處較少。動能 $E_k$ 作為「未必守恆量」，只能作大配角。

$\displaystyle{\begin{aligned} E_{\text{k}} &= {\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2} \\ &= {\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}} + \dotsb \\ \\ E_{\text{k}} &\approx {\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}} \end{aligned}}$

— Me@2022-01-16 05:39:11 PM

— Me@2022-01-17 01:17:51 PM

I would flip it and say momentum [is] energy in the space-like direction. When at rest (four velocity $u = (c, {\bf 0})$ ), you are moving entirely in the time direction. Four momentum is: