能量空間版
這段改編自 2021 年 12 月 5 日的對話。
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In special relativity, four-momentum is the generalization of the classical three-dimensional momentum to four-dimensional spacetime. Momentum is a vector in three dimensions; similarly four-momentum is a four-vector in spacetime. The contravariant four-momentum of a particle with relativistic energy and three-momentum
, where
is the particle’s three-velocity and
the Lorentz factor, is
The quantity of above is ordinary non-relativistic momentum of the particle and
its rest mass. The four-momentum is useful in relativistic calculations because it is a Lorentz covariant vector. This means that it is easy to keep track of how it transforms under Lorentz transformations.
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— Wikipedia on Four-momentum
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之前我講,動能(KE)是時間方向的動量(momentum)。
那是錯的。
正確的講法是,動量(momentum)是總能量(total energy )的空間方向分量。(這裡,總能量(total energy )的數值,已包含了動能(KE)部分。)
動量(momentum)不是真身,總能量(total energy )才是。
那都是錯的,因為,這裡有歧義。
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在這裡,「動量」(momentum)這個詞語,有三個可能的意思:
1. Newtonian momentum 牛頓動量
2. Three-momentum 相對論三維動量
,
3. Four-momentum 時空動量(相對論四維動量)
如果「動量」是指,時空動量 的話,總能量
的確是,時間方向的分量。(而時空動量
的空間分量,則是相對論三維動量
。)
留意,這裡的 是總能量,而不是動能 KE。
在這個背景下,「動量」和「能量」被統一成「時空動量」。換句話說,動量 和能量
其實是,時空動量
中的,兩個部分。動量
就是,時空動量
中是「空間動量」;而能量
,則是「時間動量」。
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但是,如果現在考慮的「動量」,不是指時空動量 本身,而是它的數值
(或稱「向量長度」)的話,則會得到這些公式:
第零分量 的平方
的平方,之前要加負號的原因是,它並非純空間上的畢氏定理,而是時空版本的畢氏定理。而在這「時空畢氏定理」中,凡是屬於時間方向的,必須加負號。
那樣,時空動量數值平方 ,就會等於:
在這裡,如果沿用剛才,「能量 是,時空動量
中,在時間方向的分量」講話風格的話,我們可以把
說成:「能量 的數值,構成了時空動量
的數值
的一部分。」換句話說,時空動量長度
,由能量
和三維動量
兩部分組成。
這個講法雖然可以,但有少許弱點。
平時同「構成」或「組成」這字眼時,通常是指貢獻。但是,在 的公式中,能量平方
之前的,是負號;即是負累,不是貢獻。所以,很多時,物理學家會將該公式,調成
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留意一個有趣的事實:
時空動量 的長度平方
,即是
,在任何情況下,對於任何粒子而言,都等於
。(平方竟然為負數的原因是,這裡的「平方」只是比喻,並非平時數學中的二次方。)
那樣,能量平方 就去了左邊,成了數式的主角。
意思就可以講成:「能量(平方) 由兩個構成部:動態(平方)部分
和靜態(平方)部分
。」
在這個上文下理中,(相對論版)三維動量,其實就是能量中的動態部分。運動,必在空間中。所以動態部分,就是「空間部分」。
而質量,則是能量中的靜態部分。所以,質量又稱「靜止能」。靜止,代表「不在空間中運動」;可以視為「只在時間方向移動」。所以靜態部分,就是「時間部分」。
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概念上,精簡而言,能量是動量的一部分——能量 是時間方向的動量(momentum)。精準來說,能量
是時空動量
中,時間方向的分量。
數值上,精簡而言,動量是能量的一部分——動量(momentum)是總能量(total energy )的空間部分。精準來說,能量 是的數值中,包括了(相對論版)三次元動量
的貢獻。
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留意,暫時從來沒有提及過,動能 KE。剛才只是說,能量平方 可以分成兩部分——動態部分(空間部分)和靜態部分(時間部分)。
但是,暫時從來沒有提及過,要將能量 本身,分成兩部分。
動能 KE 是我們在,企圖將能量一次方 ,分成動靜兩部分時,出現的副產物。
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剛才提過,因為在能量平方的公式 中,質量平方
代表靜態部分,所以,質量又名「靜止能」。
而質量可稱為「靜止能」的另一個理據是,如果物體靜止,它的三次元動量 ,就會等於零。那樣,
亦即是話,
所以,「質量 是『靜止能』」的意思是,物體靜止時,身上僅有的能量數值,就是質量
。
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然後,透過這個「靜能」,就可以定義到,所謂的「動能 KE」。
清晰起見,「質量 」命名為「靜能
」:
總能量 是
。
簡化起見,暫只考慮直線(即是一次元空間)上的運動。那樣,三次元動量 ,就會降級成一次元動量
:
然後,我們把總能量 ,減去靜能
部分;把餘量命名為
:
物理量 的真正全名是「總能量
減去靜能
部分後的餘額」。由於這名字實在太長,我們簡稱它為「動能」;意思是,原本靜止的物體,因為運動而多了出來的能量。
原本靜止的物件,如果要令它,以速度 運動,你就需要給予它,動能
數值的能量。
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留意,這個所謂的「動量 」,是由人工合成,再由後天標籤而成的。
運算操作而言,動量 就是那麼的論盡;並沒有精簡的版本,除非取其近似值。
理論架構來說,動量 不是主角,只為配角;重要性並不如:
1. Four-momentum 時空動量
2. Total energy 總能量
3. Three-momentum (3-space momentum) 相對論三次元空間動量
這三位主角,各自會守恆不變:
1. 總能量 會因為,時間的均勻性而守恆。「時間均勻性」的意思是,物理定律不會隨時間改變。
2. 空間動量 會因為,空間的均勻性而守恆。「空間均勻性」的意思是,宇宙間任何兩個不同地方,物理定律必為相同。
3. 結果,因為時間分量 和空間分量
都守恆,時空動量
作為整體,亦會守恆。
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但是,動能 ,則從來沒有,對應的守恆定律,所以用處較少。動能
作為「未必守恆量」,只能作大配角。
— Me@2022-01-16 05:39:11 PM
— Me@2022-01-17 01:17:51 PM
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I would flip it and say momentum [is] energy in the space-like direction. When at rest (four velocity ), you are moving entirely in the time direction. Four momentum is:
For a observer boosted to velocity :
[Y]our rest mass (energy) now appears as momentum (and the timelike term has kinetic energy added to it).
That last equality may make it clear that when in motion ():
which could be interpreted as “Kinetic energy is momentum in the time-like direction”.
— answered Apr 25 ’18 at 1:13
— JEB
— Physics Stack Exchange
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