這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

運算機會率題目時，盡量不要用「一樣」這個字眼；盡量不要說「因為兩個情況一樣，所以你要將中途答案乘二」這類說話。

例如，問題是：

「

如果擲兩個錢幣，擲到一公一字（1H1T）的機會率是多少？

假設每一個錢幣都是正常的，即是擲到公字的機會均等，也是 1/2。

」

這題很簡單容易，所以用最原始的方法也無妨：

HH
HT
TH
TT

總共有 4 個可能的結果。根據題目的假設，它們每個的發生機會均等，都是 1/4；而中間的兩個可能，都是題目想要的結果，所以，答案是 2/4，即是 1/2。

在解釋這一點時，如果要用「一樣」這個詞語，我可以用兩個完全相反的講法。換而言之，「一樣」會造成混淆。

HH
HT <
TH <
TT

我既可以說，因為中間的兩個案例「一樣」 —— 都是「一公一字」 —— 符合題目的要求，所以兩個案例都要，導致分子是 2，答案是四分之二：

2
_

4

但是，我又可以說，因為中間的兩個案例「不一樣」 —— 一個是「第一個公、第二個字」，而另一個是「第一個字、第二個公」 —— 所以應該視為兩個案例，而不是 1 個。那樣，分子就應該是 2，而不是 1。答案是四分之二：

2
_

4

化簡後是 1/2。

— Me@2013.07.27

2013.07.27 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

二項式係數 5 | Binomial coefficient 5

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

外傳故事：

利用 multinomial coefficient（分組公式）時，有一個情況要額外小心。我們先研究一題例子：

「

如果有 10 個人，要分成兩隊音樂組合，各自有 5 人，那總共有多少個可能？

」

答案表面上是 10_C_5，即是「10 選 5」，因為，你要考慮由那 10 人之中，選 5 人出來組成第一組樂隊，有多少個方法。

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

而我亦多次提過，這題式又可以視為「多項式係數」（multinomial coefficient），意思是「分組公式」 —— 分子是指把 10 人分成兩組；分母則是指，第一組有 5 個人 和 第二組有 5 個人。

但是，實際上，正確的運算方法，應該是

(1/2) 10_C_5 =

1(10!)
——–
2(5!)(5!)

原因是，題目只要求把那 10 人分成，兩組人數相同的樂隊，而題目並沒有要求區分，哪組為之「第一組」、哪組為之「第二組」。例如，

「

由『ABCDEFGHIJ』10 人中，選了『ACEGI』5 人出來，先組成一隊

」

和

「

由『ABCDEFGHIJ』10 人中，選了『BDFHJ』5 人出來，先組成一隊

」，

在這一題上文下理的要求下，應該歸納為同一個「case」（事件可能性），因為，兩者的結果都同樣是：

「

『ACEGI』為之一隊，而『BDFHJ』則為之另一隊。

」

如果題目改為：

「

如果有 10 個人，要抽 5 人出來，組成一隊音樂組合，那總共有多少個可能？

」

答案則是：

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

如果題目改為：

「

如果有 10 個人，要分成兩隊音樂組合，第一組有 5 人，而第二組又有 5 人，那總共有多少個可能？

」

答案都是：

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

明白的話，試一試這題：

「

假設有 10 個友人，要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 5 人，而第二輛的載客量是 5 人。換而言之，那 10 人要分成兩組乘車。那樣，總共有多少個分配方法呢？

」

究竟答案應該是 (1/2) 10_C_5，還是 10_C_5 呢？

— Me@2013.07.19

2013.07.20 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

二項式係數 4.6 | Binomial coefficient 4.6

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人，要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人，而第二輛的載客量是 6 人。換而言之，那 10 人要分成兩組乘車。那樣，總共有多少個分配方法呢？

…

你講得沒有錯，即使在那 10 人中，指定某 4 個人去乘第一輛車，那就已經有（4!）個可能性，即是 24 個那 4 人被抽出來時，可能的先後次序。

而正正是因為那樣，再加上那（4!）個可能性，在題目問法的上文下理之下，被定義為「同一個」case（事件可能性），所以分母才會有一個（4!）的因子，用以減低「事件可能性」的數目。

換而言之，題目只在乎「分配方法」，即是那 10 人之中，哪些人上第一輛車，哪些人去第二輛。

試想想，假設你只懂乘除，而不懂得任何機會率，或者統計學的公式，你會怎樣完成這一題呢？

首先，總共有 10 個坐位，第一輛車有 4 個，而第二輛車有 6 個：

（＿）（＿）（＿）（＿）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

抽第一個人去第一輛車時，有 10 個可能的人：

（10）（＿）（＿）（＿）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

抽第二個人去第一輛車時，有 9 個可能性：

（10）（9）（＿）（＿）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

如此類推：

（10）（9）（8）（7）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

但是，那 4 人也是乘坐第一輛車，題目不想理會他們，被抽出來時的先後次序。而他們「被抽的次序」，總共有 24 個。所以，分母應該要有一個 24 的因子：

24 = 4 x 3 x 2 x 1

（10）（9）（8）（7）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）
————————————————————-
（4）（3）（2）（1）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

然後，我們考慮第二輛車。因為餘下的有 6 個人，抽第一個人去第二輛車時，就有 6 個可能的人：

（10）（9）（8）（7）|（6）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）
————————————————————-
（4）（3）（2）（1）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

抽第二個人去第二輛車時，有 5 人可能性：

（10）（9）（8）（7）|（6）（5）（＿）（＿）（＿）（＿）
————————————————————-
（4）（3）（2）（1）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

如此類推：

（10）（9）（8）（7）|（6）（5）（4）（3）（2）（1）
————————————————————-
（4）（3）（2）（1）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

但是，那 6 人也是去乘坐第二輛車。題目不想理會他們，被抽出來時的先後次序。而他們「被抽的次序」，總共就有 720 個。所以，分母還有一個， 720 的因子：

720 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

（10）（9）（8）（7）|（6）（5）（4）（3）（2）（1）
———————————————————
 （4）（3）（2）（1）|（6）（5）（4）（3）（2）（1）

= 210

在連 factorial（階乘）都不懂的情況下，你就需要用到這個詳細的做法。如果你懂 factorial，即使假設還未學會 n_C_r，你仍然可以用一個，精簡一點的做法：

首先，有 10 個人 10 個位，所以總共有（10!）個排法：

(10!)
——–
(＿)(＿)

但是，第一輛車的那 4 人，內在次序不重要，所以，你要把那（4!）個排法「歸一」：

(10!)
——–
(4!)(＿)

同理，第二輛車的那 6 人，內在次序亦不重要，所以分母再有一個（6!）的因子:

(10!)
——–
(4!)(6!)

= 210

— Me@2013.07.15

2013.07.15 Monday (c) All rights reserved by ACHK

二項式係數 4.5 | Binomial coefficient 4.5

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人，要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人，而第二輛的載客量是 6 人。換而言之，那 10 人要分成兩組乘車。那樣，總共有多少個分配方法呢？

…

言歸正傳，剛才我講過：

「

記住，是否視之為「一個」可能性，並不是跟你的感覺行事。一切要按題目的指示去定義。例如，在這一題中，題目問的是「分法」，而不是「抽法」，或者「坐法」。

」

所以，答案明顯是 10_C_4，即是「10 選 4」，等於 210。結論是，總共有 210 個可能的分配方法。

10_C_4 =

(10!)
——–
(4!)(6!)

而我亦提過，這題式又可以視為「多項式係數」（multinomial coefficient），意思是「分組公式」—— 分子是指把 10 人分成兩組；分母則是指，第一組有 4 個人 和 第二組有 6 個人。因為是「分組」，即是「分成組合」，所以每組內部的次序並不重要。

但是，你剛才又追問：

「

但是，我覺得應該不止有 210 個可能性，因為抽某 4 個人出來時，本身有很多個抽法。假設「甲、乙、丙、丁」四人被抽中，去乘坐第一輛車，「先抽甲出來」和「先抽乙出來」，就已經是兩個不同的可能性。我不太明白，為什麼毋須考慮這一點？

」

那樣，我就會答：

你講得沒有錯，即使在那 10 人中，指定某 4 個人去乘第一輛車，那就已經有（4!）個可能性，即是 24 個那 4 人被抽出來時，可能的先後次序。

而正正是因為那樣，再加上那（4!）個可能性，在題目問法的上文下理之下，被定義為「同一個」case（事件可能性），所以分母才會有一個（4!）的因子，用以減低「事件可能性」的數目。

換而言之，題目只在乎「分配方法」，即是那 10 人之中，哪些人上第一輛車，哪些人去第二輛。

試想想，假設你只懂乘除，而不懂得任何機會率或者統計學的公式，你會怎樣完成這一題呢？

— Me@2013.07.12

2013.07.12 Friday (c) All rights reserved by ACHK

二項式係數 4.4 | Binomial coefficient 4.4

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人，要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人，而第二輛的載客量是 6 人。換而言之，那 10 人要分成兩組乘車。那樣，總共有多少個分配方法呢？

…

換而言之，從 10 人中抽 4 人出來，組成第一隊樂隊，總共有多少個抽法呢？

在這個情況下，次序很明顯不重要。試想想，假設你從那 10 人中，抽了「ABCE」4 人出來。無論抽的先後次序是「ABCE」，還是「ACBE」，他們所組成樂隊都會「一樣」。兩個情況所組成的音樂組合，你都會視之為「同一隊」樂隊。

但是，如果問題改為：

「

從 10 人中抽 4 人出來，去參加一個音樂比賽，而沒有其他參賽者的話，總共有多少個可能的比賽排名結果呢？

」

那樣，被抽了出來的那 4 個人中，不同的人拿冠軍，為之不同的排名，不同的結果。所以，次序需要考慮。運算方面，詳細的版本是:

首先，考慮有「冠、亞、季、殿」軍 4 個空格：

（＿）（＿）（＿）（＿）

因為冠軍寶座有 10 個可能的奪得者，所以，第一格是 10:

（10）（＿）（＿）（＿）

其中 1 人奪得冠軍後，亞軍還有 9 個可能的領獎人士:

（10）（9）（＿）（＿）

如此類推的話，我們就可以推斷到，總共有 5040 個可能的比賽結果:

（10）（9）（8）（7）

= 5040

精簡的版本則是：

題目明確地問，有多少個可能的比賽排名。所以，題目所問的，就相當於：

「

從 10 人中抽 4 人出來，而次序重要的話，總共有多少個抽法呢？

」

那是 permutation（排列）。答案明顯是 10_P_4，即是「10 排 4」，等於 5040。

10_P_4 =

10!
——-
(10-4)!

結論是，總共有 5040 個可能的比賽排名。

— Me@2013.07.08

2013.07.08 Monday (c) All rights reserved by ACHK

二項式係數 4.3 | Binomial coefficient 4.3

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人，要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人，而第二輛的載客量是 6 人。換而言之，那 10 人要分成兩組乘車。那樣，總共有多少個分配方法呢？

…

（CYW：用你這個講法，我好像明白多了一點。但是，如果沿用我剛才的問法，我又確實感覺到，應該考慮「抽哪 4 個人去第一輛車」的不同次序。我暫時還未有信心，可以在考試時準確分辨，哪些時候需要考慮「次序」，哪些時候不需要。）

那就代表了，你仍然不太明白我的解答。或者，你先搞清楚，combination（組合）和 permutation（排列）的分別。

運算方面，毋須考慮次序的，就為之「組合」，公式是「nCr」；必須考慮次序的，就為之「排列」，公式是「nPr」。

而真正困難的，是在運算之前，要準確分辨，需要考慮次序，還是不需要。你只要利用正常的智力，一般的常識，再加上「組合」和「排列」這兩個詞語的輔助，就可以清晰劃分。

意思是，凡是題目明示或者暗示，尋找「組合」數目的，就毋須考慮，各個組合內部的次序，因為那是「組合」這個詞語的意思。例如，假設那 10 人是「ABCDE FGHIJ」，要分成兩隊「音樂組合」，簡稱「樂隊」。如果第一隊有 4 人，第二隊有 6 人，總共有多少個分配隊員方法？

換而言之，從 10 人中抽 4 人出來，組成第一隊樂隊，總共有多少個抽法呢？

在這個情況下，次序很明顯不重要。試想想，假設你從那 10 人中，抽了「ABCE」4 人出來。無論抽的先後次序是「ABCE」，還是「ACBE」，他們所組成樂隊都會「一樣」。兩個情況所組成的音樂組合，你都會視為「同一隊」樂隊。

— Me@2013.07.04

2013.07.04 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

二項式係數 4.2 | Binomial coefficient 4.2

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人，要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人，而第二輛的載客量是 6 人。換而言之，那 10 人要分成兩組乘車。那樣，總共有多少個分配方法呢？

…

答案明顯是 10C4，即是「10 選 4」，等於 210。結論是，總共有 210 個可能的分配方法。

…

結論同樣是，如果第一輛車載 4 名乘客，而第二輛車載 6 名，總共就有 210 個，可能的分配乘客方法。

（CYW：但是，我覺得應該不止有 210 個可能性，因為抽某 4 個人出來時，本身有很多個抽法。假設「甲、乙、丙、丁」四人被抽中，去乘坐第一輛車，「先抽甲出來」和「先抽乙出來」，就已經是兩個不同的可能性。我不太明白，為什麼毋須考慮這一點？）

因為題目並沒有問這一點；那並不是題目所問的問題。那是答非所問也。如果我把你的問題轉一轉化，那就會清晰一些：

「

但是，我覺得應該不止有 210 個可能性，因為抽某 4 個人出來後，例如「甲、乙、兩、丁」四人，他們去乘坐第一輛車時，將會有很多種編配座位的方法。所以，我覺得「甲、乙、兩、丁」並不應視為「一個」可能性。

」

記住，是否視之為「一個」可能性，並不是跟你的感覺行事。一切要按題目的指示去定義。例如，在這一題中，題目問的是「分法」，而不是「抽法」，或者「坐法」。

題目重視的是，10 人之中，分配 4 人去乘第一輛車，有多少個方法。題目並不介意，某 4 人被抽出來時的先後次序，或者在上第一輛車時，有多少個選位方法。

（CYW：用你這個講法，我好像明白多了一點。但是，如果沿用我剛才的問法，我又確實感覺到，應該考慮「抽哪 4 個人去第一輛車」的不同次序。我暫時還未有信心，可以在考試時準確分辨，哪些時候需要考慮「次序」，哪些時候不需要。）

— Me@2013.07.01

2013.07.02 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

二項式係數 4.1 | Binomial coefficient 4.1

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人，要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人，而第二輛的載客量是 6 人。換而言之，那 10 人要分成兩組乘車。那樣，總共有多少個分配方法呢？

你只要用二項式係數（binomial coefficient），就可以立刻知道答案。題目所問的，就相當於

「

如果要從那 10 人之中，抽 4 個出來（去乘坐第一輛車），總共有多少種抽法？

」

答案明顯是 10_C_4，即是「10 選 4」，等於 210。結論是，總共有 210 個可能的分配方法。

10_C_4 =

(10!)
——–
(4!)(6!)

另一個看法是，你直接把這題看成「分組問題」，用「多項式係數」（multinomial coefficient）去運算。

總共有 10 個人，所以分子是 (10!)：

(10!)
——–
(＿＿)

總共有兩組，所以分母有兩個因子：

(10!)
——–
(＿)(＿)

第一組有 4 個人，所以第一個因子是 (4!)：

(10!)
——–
(4!)(＿)

第二組有 6 個人，所以第二個因子是 (6!)：

(10!)
——–
(4!)(6!)

結論同樣是，如果第一輛車載 4 名乘客，而第二輛車載 6 名，總共就有 210 個，可能的分配乘客方法。

（CYW：但是，我覺得應該不止有 210 個可能性，因為抽某 4 個人出來時，本身有很多個抽法。假設「甲、乙、丙、丁」四人被抽中，去乘坐第一輛車，「先抽甲出來」和「先抽乙出來」，就已經是兩個不同的可能性。我不太明白，為什麼毋須考慮這一點？）

— Me@2013.06.29

2013.06.29 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

…

有一個袋子，內裡有十張卡紙。每張卡紙上，都寫上了一個英文字母。那十個字母分別是「AAABBBCCCC」，即是三個 A、三個 B 和 四個 C。你將要抽其中三個字母出來。被抽出來的卡紙，不會放回袋中。

假設整個過程是隨機的，即是各個可能性的機會均等。問題是，你抽中「兩 A 一 B」的機會率是多少？

P 方法：

…

S 方法：

我們先考慮所有可能結果的總數，放於分母；然後，再考慮可以接受的結果有多少，放於分子。

（＿）
（   ）

總共有 10 字母，選 3 個出來，所以共有 10_C_3 個可能。（10_C_3）即是 「10 選 3」，等於 120。

（＿＿＿＿）
（10_C_3）

而眾多可能的結果中，我們接受的，是「兩 A 一 B」的情況。換句話說，即是要從三個 A 中，選兩個出來；從三個 B 中，選一個出來；和從四個 C 中，選零個出來。

（3_C_2）（3_C_1）（4_C_0）
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
          （10_C_3）

   （3）（3）（1）
= ＿＿＿＿＿
      （120）

結論是，抽到三個 A 的機會率是 3/40。

（3）（3）（1）
＿＿＿＿＿
   （120）

= 3/40

答案和 P 方法的結果相同，即是正確的機會很大。

— Me@2013.01.27

致讀者：如發現本文有思考漏洞，或者運算錯誤，請以電郵告知本人。謝謝！

— Me@2012.10.17

2013.01.27 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

初學機會率的其中兩個最大難處是，要釐清「什麼時候要考慮次序」和「怎樣為之『相同情況』」，例如：

…

我們再考慮另一個例子：

有一個袋子，內裡有十張卡紙。每張卡紙上，都寫上了一個英文字母。那十個字母分別是「AAABBBCCCC」，即是三個 A、三個 B 和 四個 C。你將要抽其中三個字母出來。被抽出來的卡紙，不會放回袋中。

假設整個過程是隨機的，即是各個可能性的機會均等。問題是，你抽中「兩 A 一 B」的機會率是多少？

P 方法：

總共要抽三個字母：

（＿）（＿）（＿）

抽第一個時，總共有十個字母，而你想要的 A，則有三個。所以，第一個機會率分數是十分之三（3/10）。

（3/10）（＿）（＿）

抽第二個時，總共餘下九個字母，而你想要的 A，則還有兩個。所以，第二個機會率分數是九分之二（2/9）。

（3/10）（2/9）（＿）

最後，總共餘下八個字母，而你想要的 B，則有三個。所以，第三個機會率分數是八分之三（3/8）。

（3/10）（2/9）（3/8）

暫時的結論是，抽到 A A B 的機會率是 1/40。

（3/10）（2/9）（3/8）

= 1/40

在用「S 方法」驗算前，我們先考慮，我們需不需要，再額外考慮「次序問題」呢？

需要，因為剛才那幾個機會率分數，只包括了 A A B，即是「頭兩個是 A 而最尾一個是 B」的情況。那並不是題目的設定。題目並沒有要求三個之中，哪一個是 B。所以，還有其他情況需要考慮：

（A）（A）（B）

（A）（B）（A）

（B）（A）（A）

（HYC：這一題很明顯是只有三種情況。但是，當題目不是那麼簡單，數字不是那麼小，而是要我選（例如）「四 C 三 A」時，我怎樣保證，可以羅列所有相關的情況，沒有遺漏？）

你可以這樣想：

（＿）（＿）（＿）

三格之中，你要放一個是 B，有多少方法呢？

很明顯，有 3_C_1 種可能。3_C_1 即是「3 選 1」，等於 3。所以，你只要將剛才的中途結果乘以 3，就可以得到最終答案。

（3/10）（2/9）（3/8）3_C_1

=（1/40）3

= 3/40

結論是，抽到「兩 A 一 B」的機會率是 3/40。

（HYC：我明白為何共有 3_C_1 種情況。但是，我不明白，為何只要將 3_C_1 乘上其中一個案例的機會率，就可以得到整體的機會率。）

你的憂慮是合理的。實情是，那 3_C_1 種情況，是三種不同的處境，需要各自計算，然後把它們相加，來得出整體的機會率。

（A）（A）（B）=（＿）（＿）（＿）

（A）（B）（A）=（＿）（＿）（＿）

（B）（A）（A）=（＿）（＿）（＿）

剛才運算過，「（A）（A）（B）」的機會是 1/40。

（A）（A）（B）=（3/10）（2/9）（3/8）= 1/40

（A）（B）（A）=（＿）（＿）（＿）

（B）（A）（A）=（＿）（＿）（＿）

而第二種情況「（A）（B）（A）」，抽到第一張是 A 的機會是 3/10，因為十張卡紙中，有三張是 A；抽第二張是 B 的機會是 3/9，因為餘下的九張卡紙中，有三張是 B；抽第三張是 C 的機會是 2/8，因為餘下的八張卡紙中，還剩兩張是 A。

（A）（A）（B）=（3/10）（2/9）（3/8）= 1/40

（A）（B）（A）=（3/10）（3/9）（2/8）

（B）（A）（A）=（＿）（＿）（＿）

類似地，第三種情況「（B）（A）（A）」的機會是（3/10）（3/9）（2/8）。

（A）（A）（B）=（3/10）（2/9）（3/8）= 1/40

（A）（B）（A）=（3/10）（3/9）（2/8）

（B）（A）（A）=（3/10）（3/9）（2/8）

理論上，三種情況要各自計算，從而會有三道不同的算式。但是實際上，你會發覺三道不同算式，會有相同的結果，都是 1/40。

（A）（A）（B）=（3/10）（2/9）（3/8）= 1/40

（A）（B）（A）=（3/10）（3/9）（2/8）= 1/40

（B）（A）（A）=（3/10）（3/9）（2/8）= 1/40

所以，剛才的講法「只要把『（A）（A）（B）』的機率乘以 3_C_1，就可以得以整體結果」，雖然概念上「有點不負責任」，但實際上，會得到正確的最終答案。

還有，很多時候，那是必須的捷徑。例如，如果題目問你「從『AAABBBCCCC』中，抽出七個字母，抽到『兩 A、兩 B 和 三 C』的機會是多少」，你就總共有 210 種情況要各自考慮、個別運算，除非你願意使用捷徑。

— Me@2013.01.24

致讀者：如發現本文有思考漏洞，或者運算錯誤，請以電郵告知本人。謝謝！

— Me@2012.10.17

2013.01.25 Friday (c) All rights reserved by ACHK

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

初學機會率的其中兩個最大難處是，要釐清「什麼時候要考慮次序」和「怎樣為之『相同情況』」，例如：

有一個袋子，內裡有十張卡紙。每張卡紙上，都寫上了一個英文字母。那十個字母分別是「AAABBBCCCC」，即是三個 A、三個 B 和 四個 C。你將要抽其中三個字母出來。被抽出來的卡紙，不會放回袋中。

假設整個過程是隨機的，即是各個可能性的機會均等。問題是，你抽中三個都是 A 的機會率是多少？

P 方法：

…

S 方法：

我們先考慮所有可能結果的總數，放於分母；然後，再考慮可以接受的結果有多少，放於分子。

（＿）
（   ）

總共有 10 字母，選 3 個出來，所以共有 10_C_3 個可能。（10_C_3）即是 「10 選 3」，等於 120。

（＿＿＿＿）
（10_C_3）

而眾多可能的結果中，我們接受的，是「三個都是 A」的情況。換句話說，即是要從三個 A 中，選三個出來；從三個 B 中，選零個出來；和從四個 C 中，選零個出來。

（3_C_3）（3_C_0）（4_C_0）
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 
          （10_C_3）

   （1）（1）（1）
= ＿＿＿＿＿ 
      （120）

結論是，抽到三個 A 的機會率是 1/120。

（1）（1）（1）
＿＿＿＿＿ 
   （120）

= 1/120

答案和 P 方法的結果相同，即是正確的機會很大。

— Me@2013.01.22

致讀者：如發現本文有思考漏洞，或者運算錯誤，請以電郵告知本人。謝謝！

— Me@2012.10.17

2013.01.22 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

初學機會率的其中兩個最大難處是，要釐清「什麼時候要考慮次序」和「怎樣為之『相同情況』」，例如：

有一個袋子，內裡有十張卡紙。每張卡紙上，都寫上了一個英文字母。那十個字母分別是「AAABBBCCCC」，即是三個 A、三個 B 和 四個 C。你將要抽其中三個字母出來。被抽出來的卡紙，不會放回袋中。

假設整個過程是隨機的，即是各個可能性的機會均等。問題是，你抽中三個都是 A 的機會率是多少？

P 方法：

總共要抽三個字母：

（＿）（＿）（＿）

抽第一個時，總共有十個字母，而你想要的 A，則有三個。所以，第一個機會率分數是十分之三（3/10）。

（3/10）（＿）（＿）

抽第二個時，總共餘下九個字母，而你想要的 A，則有兩個。所以，第二個機會率分數是九分之二（2/9）。

（3/10）（2/9）（＿）

類似地，第三個機會率分數是八分之一（1/8）。

（3/10）（2/9）（1/8）

結論是，抽到三個 A 的機會率是 1/120。

（3/10）（2/9）（1/8）

= 1/120

在用「S 方法」驗算前，我們先考慮，我們需不需要，再額外考慮「次序問題」呢？

（HYC：你的意思是，你只考慮了，抽到「AAA」這個籠統的情況。但是「A」其實有三個，所以會形成六種可能性。

方便起見，我叫第一個 A 做「A1」、第二個 A 做「A2」和 第三個 A 做「A3」。那六種可能的結果是：

（A1）（A2）（A3）

（A1）（A3）（A2）

（A2）（A1）（A3）

（A2）（A3）（A1）

（A3）（A1）（A2）

（A3）（A2）（A1）

那樣，我們需不需要再把，以上的結果乘以 6 呢？）

不需要，因為剛才那幾個機會率分數，其實已內置了次序的考慮：

（3/10）（2/9）（1/8）

正正是因為第一張被抽出來的卡紙，無論是 A1、A2 還是 A3 都可以接受，第一個機會率分數的分子才會是 3。你那六種結果，正正是分子的（3 x 2 x 1）。

（3/10）（2/9）（1/8）

= 6/720

— Me@2013.01.20

致讀者：如發現本文有思考漏洞，或者運算錯誤，請以電郵告知本人。謝謝！

— Me@2012.10.17

2013.01.20 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

有兩個袋。每個袋中都有十張卡紙，而每張卡紙上，都有由 1 到 10 的其中一個數字，沒有重複。現在，甲要由第一個袋中，抽一張卡紙出來。而乙則要在另一個袋中，抽另一張卡紙出來。假設整個過程是隨機的，即是各個可能性的機會均等。

如果甲的數字大過乙，那就為之「甲勝」。如果乙的數字大過甲，那就為之「乙勝」。已知「甲勝」的機會率是 q。問題是，「甲乙打和」的機會是多少？

…

甲乙所面對的情境，完全相同，所以「甲勝」和「乙勝」的機會率，不會有分別。這種「情境相同」的情況，學名叫做「對稱」。

（CYM：為何沒有分別？）

這裡有兩點需要明白。第一點是，何謂「對稱情境」。第二點是，為何「對稱情境」會導致「甲乙的機會率相同」。

第二點「只能意會 不能言傳」。如果你不是立刻感受到，我亦很難透過直接的解釋，令到你明白。我唯有詳細一些，解釋第一點的「何謂對稱情境」，從而間接令你感受到第二點的「為何機會率相同」。

你現在先試試站在甲的立場，體會一下他感受到什麼。他看的是：

自己的袋中有 1 到 10 的十張卡紙。而對方的袋中，又同樣有 1 到 10 的十張卡紙。如果我抽到的卡紙，數字比對方的大，我就獲勝。

然後，你再站在乙的立場，體會一下他又感受到什麼。他看的是：

自己的袋中有 1 到 10 的十張卡紙。而對方的袋中，又同樣有 1 到 10 的十張卡紙。如果我抽到的卡紙，數字比對方的大，我就獲勝。

你會發覺，甲乙的處境一模一樣，隻字不差。同一個處境，就會有同一個結果。（那就是「科學」的意思。）所以，「甲勝」和「乙勝」的機會必定相同。

— Me@2013.01.17

2013.01.17 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

有兩個袋。每個袋中都有十張卡紙，而每張卡紙上，都有由 1 到 10 的其中一個數字，沒有重複。現在，甲要由第一個袋中，抽一張卡紙出來。而乙則要在另一個袋中，抽另一張卡紙出來。假設整個過程是隨機的，即是各個可能性的機會均等。

如果甲的數字大過乙，那就為之「甲勝」。如果乙的數字大過甲，那就為之「乙勝」。已知「甲勝」的機會率是 q。問題是，「甲乙打和」的機會是多少？

整個遊戲只有三個可能的結果 ── 「甲勝」、「乙勝」 或者 「打和」 ── 而它們是互斥事件。所以，

P（甲勝）+ P（打和）+ P（乙勝）= 1

因為「甲勝」的機會是 q，而甲乙所面對的情境，又完全相同，所以「乙勝」的機會和「甲勝」一樣，都是 q。

q + P（打和）+ q = 1

P（打和）= 1 – 2q

結論是，「甲乙打和」的機會率是（1 – 2q）。

— Me@2013.01.13

致讀者：如發現本文有思考漏洞，或者運算錯誤，請以電郵告知本人。謝謝！

— Me@2012.10.17

2013.01.13 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

假設有兩個袋。每個袋中都有十張卡紙，而每張卡紙上，都有一個由 1 到 10 的其中一個數字，沒有重複。現在，你要由每個袋中，隨機抽一張卡紙出來。換句話說，各個可能性的機會均等。問題是，你抽到兩個相同數字的機會率是多少？

P 方法：

總共要抽兩個數字：

（＿）（＿）

第一個數字，什麼也可以接受，所以機會率分是一。

（1）（＿）

第二個數字，則要同第一個數字吻合，而十個數字中，只有一個和第一個相同。所以，第二格的機會率是十分之一（1/10）。

（1）（1/10）

結論是，抽到兩個相同數字的機會率是 1/10。

（1）（1/10）= 1/10

S 方法：

我們先考慮所有可能結果的總數，放於分母；然後，再考慮可以接受的結果有多少，放於分子。

（＿）
（   ）

總共要抽兩個數字。每個數字各自有十個可能性。所以，整體有（10 x 10）個可能結果。

（＿＿＿）
（10）（10）

而眾多可能之中，只有十組是可以接受的，包括（1,1）、（2,2）……（10,10）。所以，分子是十（10）。

　（10）
＿＿＿＿
（10）（10）

結論是，抽到兩個相同數字的機會率是 1/10。

　（10）
＿＿＿＿
（10）（10）

= 1/10

— Me@2013.01.10

致讀者：如發現本文有思考漏洞，或者運算錯誤，請以電郵告知本人。謝謝！

— Me@2012.10.17

2013.01.11 Friday (c) All rights reserved by ACHK