Multinomial coefficient 2.6

二項式係數 4.6 | Binomial coefficient 4.6

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

你講得沒有錯,即使在那 10 人中,指定某 4 個人去乘第一輛車,那就已經有(4!)個可能性,即是 24 個那 4 人被抽出來時,可能的先後次序。

而正正是因為那樣,再加上那(4!)個可能性,在題目問法的上文下理之下,被定義為「同一個」case(事件可能性),所以分母才會有一個(4!)的因子,用以減低「事件可能性」的數目。

換而言之,題目只在乎「分配方法」,即是那 10 人之中,哪些人上第一輛車,哪些人去第二輛。

試想想,假設你只懂乘除,而不懂得任何機會率,或者統計學的公式,你會怎樣完成這一題呢?

首先,總共有 10 個坐位,第一輛車有 4 個,而第二輛車有 6 個:

(_)(_)(_)(_)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

抽第一個人去第一輛車時,有 10 個可能的人:

(10)(_)(_)(_)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

抽第二個人去第一輛車時,有 9 個可能性:

(10)(9)(_)(_)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

如此類推:

(10)(9)(8)(7)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

但是,那 4 人也是乘坐第一輛車,題目不想理會他們,被抽出來時的先後次序。而他們「被抽的次序」,總共有 24 個。所以,分母應該要有一個 24 的因子:

24 = 4 x 3 x 2 x 1

(10)(9)(8)(7)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

然後,我們考慮第二輛車。因為餘下的有 6 個人,抽第一個人去第二輛車時,就有 6 個可能的人:

(10)(9)(8)(7)|(6)(_)(_)(_)(_)(_)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

抽第二個人去第二輛車時,有 5 人可能性:

(10)(9)(8)(7)|(6)(5)(_)(_)(_)(_)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

如此類推:

(10)(9)(8)(7)|(6)(5)(4)(3)(2)(1)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

但是,那 6 人也是去乘坐第二輛車。題目不想理會他們,被抽出來時的先後次序。而他們「被抽的次序」,總共就有 720 個。所以,分母還有一個, 720 的因子:

720 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

(10)(9)(8)(7)|(6)(5)(4)(3)(2)(1)
———————————————————
 (4)(3)(2)(1)|(6)(5)(4)(3)(2)(1)

= 210

在連 factorial(階乘)都不懂的情況下,你就需要用到這個詳細的做法。如果你懂 factorial,即使假設還未學會 n_C_r,你仍然可以用一個,精簡一點的做法:

首先,有 10 個人 10 個位,所以總共有(10!)個排法:

(10!)
——–
(_)(_)

但是,第一輛車的那 4 人,內在次序不重要,所以,你要把那(4!)個排法「歸一」:

(10!)
——–
(4!)(_)

同理,第二輛車的那 6 人,內在次序亦不重要,所以分母再有一個(6!)的因子:

(10!)
——–
(4!)(6!)

= 210

— Me@2013.07.15

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