Logical arrow of time, 3

And as we have explained many times, the results of this inference – the retrodictions – always depend on our priors. So the knowledge of the present is enough to calculate the future (classically) or to predict the unique probabilities of various states in the future (quantum mechanically). But it is simply never enough to calculate the unique state or unique probabilities of various states in the past.

The reason has been explained many times. But we can say that at least in the macroscopic context (when some microscopic detailed information is being omitted, e.g. because it’s unmeasurable), different initial states “A,B” in the past may evolve into the same final state “C” in the future.

— Logical arrow of time and terminology

— Lubos Motl

2013.07.20 Saturday ACHK

Multinomial coefficient 3

二項式係數 5 | Binomial coefficient 5

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

外傳故事:

利用 multinomial coefficient(分組公式)時,有一個情況要額外小心。我們先研究一題例子:

如果有 10 個人,要分成兩隊音樂組合,各自有 5 人,那總共有多少個可能?

答案表面上是 10_C_5,即是「10 選 5」,因為,你要考慮由那 10 人之中,選 5 人出來組成第一組樂隊,有多少個方法。

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

而我亦多次提過,這題式又可以視為「多項式係數」(multinomial coefficient),意思是「分組公式」 —— 分子是指把 10 人分成兩組;分母則是指,第一組有 5 個人 和 第二組有 5 個人。

但是,實際上,正確的運算方法,應該是

(1/2) 10_C_5 =

1(10!)
——–
2(5!)(5!)

原因是,題目只要求把那 10 人分成,兩組人數相同的樂隊,而題目並沒有要求區分,哪組為之「第一組」、哪組為之「第二組」。例如,

由『ABCDEFGHIJ』10 人中,選了『ACEGI』5 人出來,先組成一隊

由『ABCDEFGHIJ』10 人中,選了『BDFHJ』5 人出來,先組成一隊

」,

在這一題上文下理的要求下,應該歸納為同一個「case」(事件可能性),因為,兩者的結果都同樣是:

『ACEGI』為之一隊,而『BDFHJ』則為之另一隊。

如果題目改為:

如果有 10 個人,要抽 5 人出來,組成一隊音樂組合,那總共有多少個可能?

答案則是:

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

如果題目改為:

如果有 10 個人,要分成兩隊音樂組合,第一組有 5 人,而第二組又有 5 人,那總共有多少個可能?

答案都是:

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

明白的話,試一試這題:

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 5 人,而第二輛的載客量是 5 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

究竟答案應該是 (1/2) 10_C_5,還是 10_C_5 呢?

— Me@2013.07.19

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