二項式係數 5 | Binomial coefficient 5

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

外傳故事：

利用 multinomial coefficient（分組公式）時，有一個情況要額外小心。我們先研究一題例子：

「

如果有 10 個人，要分成兩隊音樂組合，各自有 5 人，那總共有多少個可能？

」

答案表面上是 10_C_5，即是「10 選 5」，因為，你要考慮由那 10 人之中，選 5 人出來組成第一組樂隊，有多少個方法。

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

而我亦多次提過，這題式又可以視為「多項式係數」（multinomial coefficient），意思是「分組公式」 —— 分子是指把 10 人分成兩組；分母則是指，第一組有 5 個人 和 第二組有 5 個人。

但是，實際上，正確的運算方法，應該是

(1/2) 10_C_5 =

1(10!)
——–
2(5!)(5!)

原因是，題目只要求把那 10 人分成，兩組人數相同的樂隊，而題目並沒有要求區分，哪組為之「第一組」、哪組為之「第二組」。例如，

「

由『ABCDEFGHIJ』10 人中，選了『ACEGI』5 人出來，先組成一隊

」

和

「

由『ABCDEFGHIJ』10 人中，選了『BDFHJ』5 人出來，先組成一隊

」，

在這一題上文下理的要求下，應該歸納為同一個「case」（事件可能性），因為，兩者的結果都同樣是：

「

『ACEGI』為之一隊，而『BDFHJ』則為之另一隊。

」

如果題目改為：

「

如果有 10 個人，要抽 5 人出來，組成一隊音樂組合，那總共有多少個可能？

」

答案則是：

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

如果題目改為：

「

如果有 10 個人，要分成兩隊音樂組合，第一組有 5 人，而第二組又有 5 人，那總共有多少個可能？

」

答案都是：

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

明白的話，試一試這題：

「

假設有 10 個友人，要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 5 人，而第二輛的載客量是 5 人。換而言之，那 10 人要分成兩組乘車。那樣，總共有多少個分配方法呢？

」

究竟答案應該是 (1/2) 10_C_5，還是 10_C_5 呢？

— Me@2013.07.19

2013.07.20 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

二項式係數 4.6 | Binomial coefficient 4.6

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人，要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人，而第二輛的載客量是 6 人。換而言之，那 10 人要分成兩組乘車。那樣，總共有多少個分配方法呢？

…

你講得沒有錯，即使在那 10 人中，指定某 4 個人去乘第一輛車，那就已經有（4!）個可能性，即是 24 個那 4 人被抽出來時，可能的先後次序。

而正正是因為那樣，再加上那（4!）個可能性，在題目問法的上文下理之下，被定義為「同一個」case（事件可能性），所以分母才會有一個（4!）的因子，用以減低「事件可能性」的數目。

換而言之，題目只在乎「分配方法」，即是那 10 人之中，哪些人上第一輛車，哪些人去第二輛。

試想想，假設你只懂乘除，而不懂得任何機會率，或者統計學的公式，你會怎樣完成這一題呢？

首先，總共有 10 個坐位，第一輛車有 4 個，而第二輛車有 6 個：

（＿）（＿）（＿）（＿）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

抽第一個人去第一輛車時，有 10 個可能的人：

（10）（＿）（＿）（＿）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

抽第二個人去第一輛車時，有 9 個可能性：

（10）（9）（＿）（＿）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

如此類推：

（10）（9）（8）（7）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

但是，那 4 人也是乘坐第一輛車，題目不想理會他們，被抽出來時的先後次序。而他們「被抽的次序」，總共有 24 個。所以，分母應該要有一個 24 的因子：

24 = 4 x 3 x 2 x 1

（10）（9）（8）（7）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）
————————————————————-
（4）（3）（2）（1）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

然後，我們考慮第二輛車。因為餘下的有 6 個人，抽第一個人去第二輛車時，就有 6 個可能的人：

（10）（9）（8）（7）|（6）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）
————————————————————-
（4）（3）（2）（1）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

抽第二個人去第二輛車時，有 5 人可能性：

（10）（9）（8）（7）|（6）（5）（＿）（＿）（＿）（＿）
————————————————————-
（4）（3）（2）（1）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

如此類推：

（10）（9）（8）（7）|（6）（5）（4）（3）（2）（1）
————————————————————-
（4）（3）（2）（1）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

但是，那 6 人也是去乘坐第二輛車。題目不想理會他們，被抽出來時的先後次序。而他們「被抽的次序」，總共就有 720 個。所以，分母還有一個， 720 的因子：

720 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

（10）（9）（8）（7）|（6）（5）（4）（3）（2）（1）
———————————————————
 （4）（3）（2）（1）|（6）（5）（4）（3）（2）（1）

= 210

在連 factorial（階乘）都不懂的情況下，你就需要用到這個詳細的做法。如果你懂 factorial，即使假設還未學會 n_C_r，你仍然可以用一個，精簡一點的做法：

首先，有 10 個人 10 個位，所以總共有（10!）個排法：

(10!)
——–
(＿)(＿)

但是，第一輛車的那 4 人，內在次序不重要，所以，你要把那（4!）個排法「歸一」：

(10!)
——–
(4!)(＿)

同理，第二輛車的那 6 人，內在次序亦不重要，所以分母再有一個（6!）的因子:

(10!)
——–
(4!)(6!)

= 210

— Me@2013.07.15

2013.07.15 Monday (c) All rights reserved by ACHK

二項式係數 4.5 | Binomial coefficient 4.5

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人，要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人，而第二輛的載客量是 6 人。換而言之，那 10 人要分成兩組乘車。那樣，總共有多少個分配方法呢？

…

言歸正傳，剛才我講過：

「

記住，是否視之為「一個」可能性，並不是跟你的感覺行事。一切要按題目的指示去定義。例如，在這一題中，題目問的是「分法」，而不是「抽法」，或者「坐法」。

」

所以，答案明顯是 10_C_4，即是「10 選 4」，等於 210。結論是，總共有 210 個可能的分配方法。

10_C_4 =

(10!)
——–
(4!)(6!)

而我亦提過，這題式又可以視為「多項式係數」（multinomial coefficient），意思是「分組公式」—— 分子是指把 10 人分成兩組；分母則是指，第一組有 4 個人 和 第二組有 6 個人。因為是「分組」，即是「分成組合」，所以每組內部的次序並不重要。

但是，你剛才又追問：

「

但是，我覺得應該不止有 210 個可能性，因為抽某 4 個人出來時，本身有很多個抽法。假設「甲、乙、丙、丁」四人被抽中，去乘坐第一輛車，「先抽甲出來」和「先抽乙出來」，就已經是兩個不同的可能性。我不太明白，為什麼毋須考慮這一點？

」

那樣，我就會答：

你講得沒有錯，即使在那 10 人中，指定某 4 個人去乘第一輛車，那就已經有（4!）個可能性，即是 24 個那 4 人被抽出來時，可能的先後次序。

而正正是因為那樣，再加上那（4!）個可能性，在題目問法的上文下理之下，被定義為「同一個」case（事件可能性），所以分母才會有一個（4!）的因子，用以減低「事件可能性」的數目。

換而言之，題目只在乎「分配方法」，即是那 10 人之中，哪些人上第一輛車，哪些人去第二輛。

試想想，假設你只懂乘除，而不懂得任何機會率或者統計學的公式，你會怎樣完成這一題呢？

— Me@2013.07.12

2013.07.12 Friday (c) All rights reserved by ACHK

二項式係數 4.4 | Binomial coefficient 4.4

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人，要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人，而第二輛的載客量是 6 人。換而言之，那 10 人要分成兩組乘車。那樣，總共有多少個分配方法呢？

…

換而言之，從 10 人中抽 4 人出來，組成第一隊樂隊，總共有多少個抽法呢？

在這個情況下，次序很明顯不重要。試想想，假設你從那 10 人中，抽了「ABCE」4 人出來。無論抽的先後次序是「ABCE」，還是「ACBE」，他們所組成樂隊都會「一樣」。兩個情況所組成的音樂組合，你都會視之為「同一隊」樂隊。

但是，如果問題改為：

「

從 10 人中抽 4 人出來，去參加一個音樂比賽，而沒有其他參賽者的話，總共有多少個可能的比賽排名結果呢？

」

那樣，被抽了出來的那 4 個人中，不同的人拿冠軍，為之不同的排名，不同的結果。所以，次序需要考慮。運算方面，詳細的版本是:

首先，考慮有「冠、亞、季、殿」軍 4 個空格：

（＿）（＿）（＿）（＿）

因為冠軍寶座有 10 個可能的奪得者，所以，第一格是 10:

（10）（＿）（＿）（＿）

其中 1 人奪得冠軍後，亞軍還有 9 個可能的領獎人士:

（10）（9）（＿）（＿）

如此類推的話，我們就可以推斷到，總共有 5040 個可能的比賽結果:

（10）（9）（8）（7）

= 5040

精簡的版本則是：

題目明確地問，有多少個可能的比賽排名。所以，題目所問的，就相當於：

「

從 10 人中抽 4 人出來，而次序重要的話，總共有多少個抽法呢？

」

那是 permutation（排列）。答案明顯是 10_P_4，即是「10 排 4」，等於 5040。

10_P_4 =

10!
——-
(10-4)!

結論是，總共有 5040 個可能的比賽排名。

— Me@2013.07.08

2013.07.08 Monday (c) All rights reserved by ACHK